常微分试题(43)

期终测验考试卷期终测验考试卷 2 一 解下列方程 10 8 80 1 2xylnydx dy 0 2 x 2 y 2 1y 2 6 x dx dy x y 2 y 3 2 y 2 1 2 yx y 4 x y y 22 yx 5 tgydx ctydy 0 6 y x dx xdy 0 2 x 2 y 7 一质量为 m 质点作直线运动 从速度为零的时刻起 有一个和时间成正比 比例系数为 的力作用在 1 k 它上面 此外质点又受到介质的阻力 这阻力和速 度成正比 比例系数为 试求此质点的速度与时 2 k 间的关系 8 已知 f x 1 x 0 试求函数 f x 的一般表达式 x dttf 0 二 证明题 10 2 20 9 试证 在微分方程 Mdx Ndy 0 中 如果 M N 试 同齐次函数 且 xM yN 0 则是该方程的 1 yNxM 一个积分因子 10 证明 如果已知黎卡提方程的一个特解 则可用 初等方法求得它的通解 试题答案 02412 28 1 解解 2xlny 2x 2x 则 故方 M y N y MN yx M 2 ln 2ln xy xyy 1 y 程有积分因子 原方程两边同乘以得dx y 1dy y e 1 y 1 y 2lnxyy y dy 0 是恰当方程 d lny ydy 0 两边积分得方 2 2 2 1y y y x 2 x 2 1y 程的解为lny C 2 x 3 2 12 3 1 y 2 解解 1 y 0 是方程的特解 2 当 y 0 时 令 z 得 1 y z x 这是线性方程 解得它的通解为 z dz dx 6 x 2 6 8 c x x 代回原来的变量 y 得方程解为 y 0 1 y 2 6 8 c x x 3 解解 令 x u 3 y v 2 可将原方程变为 dv du 2 2 v u v 再令 z 得到 z 即 v u dz u u 2 2 1 z z dz u u 2 2 1 1 z z z 分离变量并两端积分得 lnC 2 12 1 dz z z du u 即 ln 2arctgz lnC zln u ln 2arctgz lnC 代回原变量得 v Czu 2 v arctg u e 所以 原方程的解为 y 2 C 2 2 3 y arctg x e 4 解解 将方程改写为 令 u 得到 x x y 2 1 x y x y x y y u u 则 变为 x 变量分离并两边积分得 arcsinu ln dx du u 1u lnC 故方程的解为 arcsin lnCx x y 5 解解 变量分离 ctgxdy tgydx 两边积分得 ln siny ln C xcos 或 sinycosx C 另外 由 tgy 0 或 ctgx 0 得 y k k 0 1 x t t 0 1 也是方程的解 tgy 0 或 ctgx 0 的解是 2 当 C 0 时的特殊情况 故原方程的解为 sinycosx C 6 解解 ydx xdy x dx 0 两边同除以 得 2 x 2 y 2 x 2 y xdx 0 即 d arctg d 0 故原方程的解为 arctg 2 2 ydxxdy y x x y 1 2 2 x C x y 1 2 2 x 7 解解 因为 F ma m 又 F dv dt 1F2F 12 tv kk 即 m v 0 0 即 v 0 0 dv dt 12 tv kk dv dt 12 tv kk 解得 v t 1 2 2 m k k 2t m k e 1 2 k k 2 m k 8 解解 令 f x y 两边求导得 y 1 f x 0 x f t dt 1 y 即 y 即 dx 两边求积得 2x C 1 y y 3 1 dy y 2 1 y 从而 y 故 f x 1 2xC 1 2xC 9 证明证明 如 M N 都是 n 次齐次函数 则因为 x y nM x y nN 故有 xMyMxNyN MN y xMyNx xMyN 2 yyy xMyNM xNy xMyN NMM 2 xxx xMyNN xMy xMyN NNM 2 xxy M xyNN xy xMyN NNM 0 2 M nNN nM xMyN 故命题成立 10 解解 1 先找到一个特解 y y 2 令 y z 化为 n 2 的伯努利方程 y 证明 因为 y 为方程的解 y 所以 P x Q x R x 1 d y dx 2 y y 令 y z 则有 y P x Q x R x