一 二维形式的柯西不等式.ppt

新课导入 类比不等式a2 b2 2ab的推导过程 通过乘法及配方 研究关于它的不等关系 分析 把该式首先展开 再用配方法 问题就可以解决 解 展开乘积得 a2 b2 c2 d2 a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 由于a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 ac bd 2 ad bc 2 即 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 ad bc 2 而 ad bc 2 0 因此 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 提示 上式 1 是本节课所要研究的柯西不等式 3 1二维形式的柯西不等式 教学目标 知识与能力 1 认识二维柯西不等式的代数和向量形式 理解二维柯西不等式的几何意义 3 掌握柯西不等式的应用 2 通过探究 思考和讨论 使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系 过程与方法 1 通过探究 从式子变形的角度证出柯西不等式 从而认识其代数形式 2 借助平面向量 从数量积的角度推出二维柯西不等式的向量形式 从而给出几何意义 情感态度与价值观 锻炼学生分析问题 解决问题的能力 并培养其审美观 教学重难点 重点 难点 定理 1 和定理 2 数形结合认识 1 与 2 两式的等价关系 结论 定理1 二维形式的柯西不等式 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当且仅当ad bc时 等号成立 分析 你能否证明 结论 讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释 往往要借助直观的几何背景 讨论柯西不等式的几何意义 设在平面直角坐标系xoy中有向量 a b c d 与之间的夹角为 0 如图 根据向量数量积的定义 有 cos 用平面向量的坐标表示不等式 2 得 所以 cos 因为 cos 1 所以 结论 定理2 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量或存在实数k 使 k 时 等号成立 试从不等式 1 推导不等式 2 再进行反方向的推导 从数形结合的角度体会两者的等价关系 观察 如图 在平面直角坐标系中 设点P1 P2的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 根据 oP1P2的边长关系 你能发现这四个实数x1 y1 x2 y2蕴含着何种大小关系吗 结论 定理3 二维形式的三角不等式 能用柯西不等式证明吗 x12 y12 2 x1x2 y1y2 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1y2 x22 y22 x12 2x1x2 x22 y12 2y1y2 y22 x1 x2 2 y1 y2 2 分析 不等式 3 对于任何实数都成立 于是可以得到 请结合平面直角坐标系 解释不等式 4 的几何意义 分析 虽然可以作乘法展开上式的两边 然后在比较它们的大小 但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性 既可以避免繁杂了 已知a b为实数 试证 a4 b4 a2 b2 a3 b3 根据柯西不等式 有 a4 b4 a2 b2 a2a b2b 2 a3 b3 2 反思 在证明不等式时 联系经典不等式 既可以启发证明思路 又可以简化运算 分析 利用不等式解决极值问题 通常设法在不等式一边得到一个常数 并寻找不等式取等号的条件 这个函数的解析式是两部分的和 若能化成ac bd的形式 就能利用柯西不等式求其最大值 分析 问题中a b 1这个条件 由于常数1的特殊性 用a b去乘任何数或式子 都不会改变它们的值 课堂小结 1 二维形式的柯西不等式的代数形式 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当且仅当ad bc时 等号成立 2 二维形式的柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量或存在实数k 使 k 时 等