常见递推数列通项公式的求法

寒假专题寒假专题 常见递推数列通项公式的求法常见递推数列通项公式的求法 重 难点 1 重点 递推关系的几种形式 2 难点 灵活应用求通项公式的方法解题 典型例题典型例题 例 1 bkaa nn 1 型 1 1 k 时 1nnn abaa 是等差数列 1 banban 2 1 k 时 设 1 makma nn mkmkaa nn 1 比较系数 bmkm 1 k b m 1 k b an 是等比数列 公比为k 首项为1 1 k b a 1 1 1 1 n n k k b a k b a 1 1 1 1 k b k k b aa n n 例 2 1 nfkaa nn 型 1 1 k 时 1 nfaa nn 若 nf 可求和 则可用累加消项的方法 例 已知 n a 满足 1 1 a 1 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式 解 解 1 11 1 1 1 nnnn aa nn nn aa nn 1 1 1 1 1 1 2 1 21 nn aa nn 2 1 3 1 32 nn aa nn 3 1 2 1 23 aa 2 1 1 12 aa 对这 1 n 个式子求和得 n aan 1 1 1 n an 1 2 2 1 k 时 当 bannf 则可设 1 1 BAnakBnAa nn ABkAnkkaa nn 1 1 1 bABk aAk 1 1 解得 1 k a A 2 1 1 k a k b B BAnan 是以 BAa 1为首项 k为公比的等比数列 1 1 n n kBAaBAna BAnkBAaa n n 1 1 将 A B 代入即可 3 n qnf q 0 1 等式两边同时除以 1 n q 得 qq a q k q a n n n n 1 1 1 令 n n n q a C 则 q C q k C nn 1 1 n C 可归为 bkaa nn 1 型 例 3 nn anfa 1 型 1 若 nf 是常数时 可归为等比数列 2 若 nf 可求积 可用累积约项的方法化简求通项 例 已知 3 1 1 a 1 12 12 nn a n n a 2 n 求数列 n a 的通项 解 解 12 3 5 3 7 5 32 52 12 32 12 12 1 2 2 3 3 2 2 1 1 nn n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n 12 1 12 3 1 nn aan 例 4 1 1 n n n am am ka 型 考虑函数倒数关系有 11 1 1 ma k a nn m k a k a nn 1 11 令 n n a C 1 则 n C 可归为 bkaa nn 1 型 练习 1 已知 n a 满足 3 1 a 12 1 nn aa 求通项公式 解 解 设 2 1 mama nn maa nn 2 1 1 m 1 1 n a 是以 4 为首项 2 为公比为等比数列 1 241 n n a 12 1 n n a 2 已知 n a 的首项 1 1 a naa nn 2 1 Nn 求通项公式 解 解 1 2 1 naa nn 2 2 21 naa nn 3 2 32 naa nn 22 23 aa 12 12 aa nnnaan 2 1 1 21 2 1 2 nnan 3 已知 n a 中 nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式 解 解 1 2 3 1 4 2 2 4 1 32 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n 1 2 1 nna an 1 4 nn an 4 数列 n a 中 n n n n n a a a 1 1 1 2 2 2 1 a 求 n a 的通项 解 解 n n n n n a a a 1 1 1 2 21 1 1 2 111 n nn aa 设 n n a b 1 1 1 2 1 n nn bb n nn bb 2 1 1 n nn bb 2 1 1 1 21 2 1 n nn bb 2 32 2 1 n nn bb 3 23 2 1 bb 2 12 2 1 bb n n bb 2 1 2 1 2 1 32 1 n n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n n b 2 12 2 1 2 1 2 1 12 2 n n n a 5 已知 1 1 a 2 n 时 12 2 1 1 naa nn 求 n a 的通项公式 解 解 设 1 2 1 1 BnAaBAna nn BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得 6 4 B A 364 1 a 64 nan 是以 3 为首项 2 1 为公比的等比数列 1 2 1 364 n n na 64 2 3 1 na n n 模拟试题模拟试题 1 已知 n a 中 3 1 a n nn aa2 1 求 n a 2 已知 n a 中 1 1 a 23 1 nn aa 2 n 求 n a 3 已知 n a 中 1 1 a n nn aa22 1 2 n 求 n a 4 已知 n a 中 4 1 a 1 4 4 n n a a 2 n 求 n a 5 已知 n a 中 1 1 a 其前n项和 n S 与 n a 满足 12 2 2 n n n S S a 2 n 1 求证 1 n S 为等差数列 2 求 n a 的通项公式 6 已知在正整数数列 n a 中 前n项和 n S 满足 2 2 8 1 nn aS 1 求证 n a 是等差数列 2 若 n b 30 2 1 n a 求 n b 的前 n 项和的最小 值 试题答案试题答案 1 解 由 n nn aa2 1 得 1 1 2 n nn aa 1 1 2 n nn aa 2 21 2 n nn aa 2 12 aa 22 21 21 2 1 1 n n n aa 1222 1 nn n aa 2 解 由 23 1 nn aa 得 1 31 1 nn aa 3 1 1 1 n n a a 即 1 n a 是等比数列 1 1 3 1 1 n n aa 13213 1 11 1 nn n aa 3 解 由 n nn aa22 1 得 1 22 1 1 n n n n aa 2 n n a 成等差数列 1 2 1 2 n a n n 1 22 nn n na 4 解 n n n n a a a a 2 24 22 1 2 1 2 1 2 22 1 1 nn n n aa a a 1 n 2 1 2 1 2 1 1 nn aa 1 n 设 2 1 n n a b 即 1 2 1 1 nbb nn n b 是等差数列 22 1 1 2 1 2 1 1 n n aan 2 2 n an 5 解 1 12 2 2 1 n n nn S S SS 11 2 nnnn SSSS 2 11 1 nn SS 1 n S 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 12 1 n Sn 2 12 1 n Sn 2 384 2 1 12 1 2 12 1 2 2 2 n nn n n an 又 1 1 a 2 384 2 11 2 n nn n an 6 解 1 2 111 2 8 1 aSa 2 1 a 2 n 时 2 1 2 1 2 8 1 2 8 1