指数函数复习教案

指数函数指数函数 一 考纲点击一 考纲点击 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理数指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 4 知道指数函数是一类重要的函数模型 二 热点 难点提示二 热点 难点提示 1 指数幂的运算 指数函数的图象 单调性是高考考查的热点 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 考查分类讨论思想和数形结合思想 3 多以选择 填空题形式出现 但若以 e 为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现 1 根式 根式 1 根式的概念 根式的概念根式的概念符号表示符号表示备注备注 如果 那么叫做的次方根 n xa xan1nnN 且 当为奇数时 正数的次方根是一个nn 正数 负数的次方根是一个负数n n a 零的次方根是零n 当为偶数时 正数的次方根有两个 nn 它们互为相反数 0 n a a 负数没有偶次方根 2 两个重要公式 两个重要公式 0 0 nnn an xaaaa an aa 为奇数 为偶数 nnn aaaa 注意必须使有意义 2 有理数指数幂 有理数指数幂 1 幂的有关概念 幂的有关概念 正整数指数幂 n n aa aa nN A A A 个 零指数幂 0 1 0 aa 负整数指数幂 1 0 p p aapN a 正分数指数幂 0 1 m nm n aaamnNn 且 负分数指数幂 11 0 1 m n m nm n aamnNn a a 且 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 注 分数指数幂与根式可以互化 通常利用分数指数幂进行根式的运算 2 有理数指数幂的性质 有理数指数幂的性质 aras ar s a 0 r s Q ar s ars a 0 r s Q ab r arbs a 0 b 0 r Q 3 指数函数的图象与性质 指数函数的图象与性质 y axa 10 a0 时 y 1 x 0 时 0 y0 时 0 y 1 x1 性质 3 在 上是增函数 3 在 上是减函 数 思考 思考 如图所示 是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 如何确定底数 a b c d 与 1 之间的大小关系 提示 在图中作直线 x 1 与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值 即 c1 d1 1 a1 b1 c d 1 a b 即无论在轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 热点难点全析热点难点全析 一 一 幂的运算的一般规律及要求幂的运算的一般规律及要求 1 相关链接 相关链接 1 分数指数幂与根式根据可以相互转化 m mn n aaa0 m nNn1 且 2 分数指数幂中的指数不能随便约分 例如要将 写成等必须认真考查 a 的取值才能决定 如 2 4 a 1 2 a 而无意义 2 2 4 4 111 1 2 11 3 在进行幂的运算时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂为分数指数幂 再利用幂的运 算性质进行运算 4 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的 无括号先做指数运算 先乘除后加减 负指数幂化 成正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数运算性质 指数幂的化简与求值的原则及结果要求指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1 化简原则 化根式为分数指数幂 化负指数幂为正指数幂 化小数为分数 注意运算的先后顺序 注 有理数指数幂的运算性质中 其底数都大于 0 否则不能用性质运算 2 结果要求 若题目以根式形式给出 则结果用根式表示 若题目以分数指数幂的形式给出 则结果用分数指数幂表示 结果不能同时含有根号和分数指数幂 也不能既有分母又有负指数幂 2 例题解析 例题解析 例例 1 1 化简 53 323 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 4 2 24 8 aa aa a b a aabb baa 2 计算 25 0 2 1 2 1 3 2 5 0 3 2 0625 0 32 0 02 0 008 0 9 4 5 8 3 3 分析 分析 1 因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂 先化为分数指数幂以便用法则运算 2 题目中给出的是分数指数幂 先看其是否符合运算法则的条件 如符合用法则进行下去 如不 符合应再创设条件去求 解 解 1 原式 5 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 2 2 2 2 aa aa a ba bbaa baa 2 3 2 3 1 6 1 6 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 aaaa a a ba a baa 2 原式 4 1 3 2 2 1 3 2 10000 625 10 24 50 8 1000 9 49 27 8 9 2 2 2 9 17 2 1 10 24 25 1 25 3 7 9 4 例例 2 已知 11 22 3xx 求 22 33 22 2 3 xx xx 的值 解解 11 22 3xx 11 2 22 9xx 1 29xx 1 7xx 1 2 49xx 22 47xx 又 3311 1 2222 1 3 7 1 18xxxxxx 22 33 22 2472 3 183 3 xx xx 二 二 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用 1 相关链接 相关链接 1 图象的变换 1 yf xyf xa byf xyf x 2 yf xyfx 3 yf xyf x 4 yf xyfx 4 5 yf xyfx 6 yf xyf x 7 yf xyfx 2 从图象看性质 函数的图象直观地反映了函数的基本性质 图象在 x 轴上的投影可得出函数的定义域 图象在 y 轴上的投影可得出函数的值域 从左向右看 由图象的变化得出增减区间 进而得出最值 由图象是否关于原点 或 y 轴 对称得出函数是否为奇 偶 函数 由两个图象交战的横坐标可得方程的解 3 应用指数函数图象研究指数型函数的性质 对指数型函数的图象与性质 单调性 最值 大小比较 零点等 的求解往往利用相应指数函数的图象 通 过平移 对称变换得到其图象 然后数形结合使问题得解 4 利用图象解指数型方程 不等式 一些指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 2 例题解析 例题解析 例例 1 1 已知 f x 2x 1 1 求 f x 的单调区间 2 比较 f x 1 与 f x 的大小 3 试确定函数 g x f x x2零点的个数 方法诠释 1 作出 f x 的图象 数形结合求解 2 在同一坐标系中分别作出 f x f x 1 图象 数形结合求解 3 在同一坐标系中分别作出函数 f x 与 y x2的图象 数形结合求解 解析 1 由 f x 2x 1 可作出函数的图象如图 x x 21 x0 12 x0 因此函数 f x 在 0 上递减 函数 f x 在 0 上递增 2 在同一坐标系中分别作出函数 f x f x 1 的图象 如图所示 由图象知 当时 解得 00 x1x 2121 02 2 xlog 3 两图象相交 从图象可见 当时 f x f x 1 2 2 xlog 3 当时 f x f x 1 2 2 x log 3 当时 f x f x 1 2 2 xlog 3 3 将 g x f x x2的零点转化为函数 f x 与 y x2图象的交点问题 在同一坐标系中分别作出函数 f x 2x 1 和 y x2的图象如图所示 有四个交点 故 g x 有四个零点 例例 2 已知函数 y x 1 1 3 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当 x 取什么值时函数有最值 分析 分析 化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出 x 的取值 解答 1 由已知可得 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 x x x x y x 其图象由两部分组成 一部分是 11 11 0 1 33 xx yxx 向左平移个单位 另一部分是 11 3 0 3 1 xx yxyx 向左平移个单位 图象如图 2 由图象知函数在上是增函数 在上是减函数 1 1 3 由图象知当时 函数有最大值 1 无最小值 1x 三 指数函数的性质及应用三 指数函数的性质及应用 1 相关链接 相关链接 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 求复合函数的定义域 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的 分层逐一求解函数的单调性 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 2 例题解析 例题解析 例 1 1 函数的定义域是 2x 1 1 y3 27 2 函数的单调递减区间为 值域为 1 3 2 x4x 3 f x 3 已知函数 a 0 且 a 1 x x a1 f x a1 求 f x 的定义域和值域 讨论 f x 的奇偶性 讨论 f x 的单调性 方法诠释 根据待求的指数型函数的结构特征 选择恰当的 求函数定义域 值域 最值 单调区间 奇偶性的方法求解 解析 1 由题意知 2x 1 1 30 27 32x 1 3 3 2x 1 3 x 1 即定义域是 1 答案 1 2 令 g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于 g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而 在 R 上为 1 3 t y 单调递减 所以 f x 在 2 上单调递减 又 g x x 2 2 7 7 77 1 f x3 3 答案 2 3 7 3 f x 的定义域是 R 令得 ax x x a1 y a1 y1 y1 ax 0 0 解得 1 y 1 f x 的值域为 y 1 y 1 y1 y1 f x 是奇函数 xx xx a11a fxf x a11a x xx a12 2 f x1 a1a1 设 x1 x2是 R 上任意两个实数 且 x1 x2 则 x1 x2 当 a 1 时 12 21 12 xx 12 xx xx 2 aa 22 f xf x a1a1a1a1 从而 1212 xxxx a1 0 a1 0 aa0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 f x 为 R 上的增函数 当 0 a 1 时 12 xx aa0 从而 1212 xxxx a1 0 a1 0 aa0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 f x 为 R 上的减函数 例例 2 如果函数 f x ax ax 3a2 1 a 0 且 a 1 在区间上是增函数 求实数的取值范围 0 分析 先化简 f x 的表达式 利用复合函数的单调性的方法求解 或利用求导的方法来解 解答 由题意得 f x ax 2 3a2 1 ax 令 t ax f t t2 3a2 1 t t 0 当 a 1 时 t ax在上为增函数 则此时 t1 0 而对于 f t 而言 对称轴 t 2 2 31 2 a 故 f x 在上不可能为增函数 当 0 a 1 时 t ax在上为减函数 0 0 此时 0 t0 a 1 2 1 a a 1 判断 f x 的奇偶性 2 讨论 f x 的单调性 3 当 x 1 1 时 f x b 恒成立 求 b 的取值范围 思路分析 思路分析 本题 1 2 问判断 f x 的奇偶性 讨论它的单调性 由于已知函数的解析式 因此用定 义判断或利用导数判断 3 恒成立问题 实质上是探求 f x 的最小值 解答 解答 1 函数的定义域为 R 关于原点对称 f x 为奇函数 2 方法一 设 则 当 a 1 时 0 0 0 2 1 a a f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 此时函数 f x 为增函数 当 0 a 1 时 0 0 2 1 a a f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 此时函数 f x 为增函数 综上可知 函数 f x ax a x a 0 a 1 在定义域上为增函数 2 1 a a 方法二 f x ax a x f x axlna a xlna 2 1 a a 2 1 a a 2 ln 1 xx aa aa a 当 a 1 时 f x 0 此时 f x 为增函数 当 0 a 1 时 f x 0 此时 f x 为增函数 综合可知 f x 为增函数 3 由 2 知 f x 在 R 上是增函数 f x 在区间 1 1 上为增函数 f 1 f x f 1 f x min f 1 a 1 a 2 1 a a 1 2 1 a a 2 1 a a 要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故 b 的取值范围是 1 高考体验 高考体验 1 2012 山东高考文科山东高考文科 15 若函数在 1 2 上的最大值为 4 最小值 0 1 x f xaaa 为 m 且函数在上是增函数 则 a 14 g xmx 0 解析 当时 有 此时 此时为减函数 不合题意 若1a 21 4 aam 1 2 2 am g xx 则 故 检验知符合题意 答案 01a 12 4 aam 11 416 am 1 4 2 2011 山东高考理科山东高考理科 3 若点 a 9 在函数 3xy 的图象上 则的值为 2 tan 6 0 3 3 1 3 精讲精析精讲精析 答案 3 点 a 9 在函数 3xy 的图象上 所以 2 93 a a 所以 3 6 2 tan 3 2011 四川高考文科四川高考文科 4 函数 1 1 2 x y 的图象关于直线 y x 对称的图象大致是 思路点拨思路点拨 法一 先作出 1 0 1 2 x xf x 的图象 再作关于直线 yx 对称的图象 法二 先求出 1 0 1 2 x xf x 时 反函数的解析式 再作反函数的图象 精讲精析精讲精析 选 法一 先由 1 0 2 x f xx 的图象向上平移一个单位 作出 1 0 1 2 x xf x 的图象 再作直线 yx 对称的图象 法二 当 0 x 时 反函数的解析式为 1 1 2 log 1 1 fxxx 由 1 2 log 0yx x 的图象向右平移 1 个单位 即得所需图象 故选 4 2010 辽宁文数 辽宁文数 10 设2 5 ab m 且 11 2 ab 则m 10 10 20 100 解析 解析 选 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 又 0 10 mm 5 2010 广东理数 广东理数 3 若函数 f x 3x 3 x与 g x 3x 3 x的定义域均为 R 则 f x 与 g x 均为偶函数 f x 为偶函数 g x 为奇函数 f x 与 g x 均为奇函数 f x 为奇函数 g x 为偶函数 解析 解析 3 33 33 xxxx fxf x gxg x 考点提升训练 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 2012 济南模拟 函数 y 的值域为 2 2x x 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 2 若函数 f x a cosx 是奇函数 则常数 a 的值等于 x 1 e1 1 1 1 2 1 2 3 预测题 若集合 x y x R 集合 y y log2 3x 1 x R 则 x 1 1 2 x 0 x 1 x x 0 x 0 x 1 4 易错题 函数 y 2x 1 在区间 k 1 k 1 内不单调 则 k 的取值范围是 1 1 1 1 0 2 5 2012 烟台模拟 若存在负实数使得方程 2x a 成立 则实数 a 的取值 1 x1 范围是 2 0 0 2 0 1 6 设函数 f x 定义在实数集上 它的图象关于直线 x 1 对称 且当 x 1 时 f x 3x 1 则有 f f f 1 3 3 2 2 3 f f f 2 3 3 2 1 3 f f f 2 3 1 3 3 2 f f f 3 2 2 3 1 3 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 2012 南通模拟 设函数 f x a x a 0 且 a 1 若 f 2 4 则 f 2 与 f 1 的大小关系是 8 2012 三明模拟 若函数 f x ax x a a 0 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 9 设定义在 R 上的函数 f x 同时满足以下条件 f x f x 0 f x f x 2 当 0 x 1 时 f x 2x 1 则 f f 1 f f 2 f 1 2 3 2 5 2 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 2012 福州模拟 已知对任意 x R 不等式恒成立 求实数 m 的取值范围 2 2 2xmx m 4 xx 11 2 2 11 设函数 f x kax a x a 0 且 a 1 是定义域为 R 的奇函数 1 若 f 1 0 试求不等式 f x2 2x f x 4 0 的解集 2 若 f 1 且 g x a2x a 2x 4f x 求 g x 在 1 上的最小值 3 2 探究创新探究创新 16 分 定义在上的函数 f x 如果满足 对于任意 x 存在常数 M 0 都有 f x M 成立 则称 f x 是 上的有界函数 其中 M 称为函数 f x 的上界 已知函数 f x 1 a x x 1 2 1 4 1 当 a 1 时 求函数 f x 在 0 上的值域 并判断函数 f x 在 0 上是否为有界函数 请说明理由 2 若函数f x 在 0 上是以 3 为上界的有界函数 求实数 a 的取值范围 3 试定义函数的下界 举一个下界为 3 的函数模型 并进行证明 答案解析答案解析 1 解析 选 2x x2 x 1 2 1 1 又 y t在 R 上为减函数 1 2 y 1 即值域为 2 2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 2 解析 选 设 g x a t x cosx x 1 e1 t x cosx 为偶函数 而 f x a cosx 为奇函数 g x a 为奇函数 又 g x x 1 e1 x 1 e1 a a x 1 e1 x x e 1 e a a 对定义域内的一切实数都成立 解得 a x x e 1 e x 1 e1 1 2 3 解题指南 保证集合中的函数解析式有意义 同时注意对数函数成立的条件 解析 选 x 1 2 x 1 0 x x 1 0 x 1 x 1 y y 0 x 0 x 1 4 解析 选 由于函数 y 2x 1 在 0 内单调递减 在 0 内单调递增 而函数在区间 k 1 k 1 内不单调 所以有 k 1 0 k 1 解得 1 k 1 5 解题指南 转化为两函数 y 与 y 2x a 图象在 0 上有交点求解 1 x1 解析 选 在同一坐标系内分别作出函数 y 和 y 2x a 1 x1 的图象知 当 a 0 2 时符合要求 6 解析 选 由已知条件可得 f x f 2 x f f f f 1 3 5 3 2 3 4 3 又 x 1 时 f x 3x 1 在 1 上递增 f f f 5 3 3 2 4 3 即 f f f 1 3 3 2 2 3 方法技巧 比较具有对称性 奇偶性 周期性函数的函数值大小的方法 1 单调性法 先利用相关性质 将待比较函数值调节到同一单调区间内 然后利用该函数在该区间上 的单调性比较大小 2 图象法 先利用相关性质作出函数的图象 再结合图象比较大小 7 解析 由 f 2 a 2 4 解得 a 1 2 f x 2 x f 2 4 2 f 1 答案 f 2 f 1 8 解析 f x ax x a 有两个零点 即方程 ax x a 有两个实数根 即函数 y ax与 y x a 有两个不 同的交点 结合图象知 a 1 答案 1 9 解题指南 根据条件先探究函数的奇偶性 周期性 再将所求函数值转化为已知函数值求解 解析 依题意知 函数 f x 为奇函数且周期为 2 f f 1 f f 2 f 1 2 3 2 5 2 f f 1 f f 0 f 1 2 1 2 1 2 f f 1 f f 0 f 1 2 1 2 1 2 f f 1 f 0 1 2 1 21 1 20 1 1 2 2 2 答案 2 10 解析 由题知 不等式 对 x R 恒成立 22 xx2xmx m 4 11 22 x2 x 2x2 mx m 4 对 x R 恒成立 x2 m 1 x m 4 0 对 x R 恒成立 m 1 2 4 m 4 0 m2 2m 15 0 3 m 5 11 解析 f x 是定义域为 R 的奇函数 f 0 0 k 1 0 k 1 1 f 1 0 a 0 又 a 0 且 a 1 1 a a 1 f x ax a x 而当 a 1 时 y ax和 y a x在 R 上