2014高中文科数学选修基本概念

高中文科数学选修基本概念 第 1页 命题及其关系 充分条件与必要条件命题及其关系 充分条件与必要条件 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的 叫做命题 其中判断为真的语句叫做真命 题 判断为假的语句叫做假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题 一般地 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论 用p 和q 分别表示 p 和 q 的否定 于是四 种命题的形式就是 原命题 若 p 则 q p q 逆命题 若 q 则 p 否命题 逆否命题 2 四种命题间的关系 3 四种命题的真假性 两个命题互为 命题 它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题 它们的真假性没有关系 3 充分条件与必要条件 若 p q 则 p 叫做 q 的 条件 若 q p 则 p 叫做 q 的 条件 如果 p q 则 p 叫做 q 的 条件 自我检测自我检测 1 集合 A x x 4 x R B x x5 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 a 0 是 a 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 2k k Z 是 cos 2 的 6 1 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 若命题 p 的否命题为 r 命题 r 的逆命题为 s 则 s 是 p 的逆命题 t 的 A 逆否命题 B 逆命题 C 否命题 D 原命题 5 与命题 若 a M 则 bM 等价的命题是 A 若 aM 则 bM B 若 bM 则 a M C 若 aM 则 b M D 若 b M 则 aM 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 1 逻辑联结词 命题中的 叫做逻辑联结词 p 且 q 记作 p 或 q 记作 非 p 记作 高中文科数学选修基本概念 第 2页 2 命题 p q p q p 的真假判断 pq p qp q p 真真 真假 假真 假假 3 全称量词与存在量词 1 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做 量词 并用符号 表示 含有全称量 词的命题 叫做 命题 可用符号简记为 x M p x 它的否定 2 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做 量词 并用符号 表示 含有 存在量词的命题 叫做 命题 可用符号简记为 x M p x 它的否定 自我检测自我检测 1 命题 x R x2 2x 10 C x R x2 2x 1 0 D x R x2 2x 10 B x N x 1 2 0 C x R lg x 1 D x R tan x 2 5 2009 辽宁 下列 4 个命题 p1 x 0 xlog x 1 2 1 3 1 2 1 3 p3 x 0 x log x p4 x 0 x log x 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 其中的真命题是 A p1 p3 B p1 p4 C p2 p3 D p2 p4 导数的概念及运算导数在研究函数中的应用导数的概念及运算导数在研究函数中的应用 1 用定义求函数的导数的步骤 1 求函数的改变量 y 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 x0 x y f 0 lim x x y 2 导数的几何意义和物理意义 几何意义 曲线 f x 在某一点 x0 y0 处的导数是过点 x0 y0 的切线的斜率 物理意义 若物体运动方程是 s s t 在点 P i0 s t0 处导数的意义是 t t0处 的 瞬时速度 3 几种常见函数的导数 为常数 c 0c n x Rn sin x cos x ln x log a x x e x a 4 运算法则 高中文科数学选修基本概念 第 3页 求导数的四则运算法则 uv uv uv u v 0 v 5 函数的单调性与导数的关系 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间内 如果 那么函数在这个区间内单调 如果 a b 0fx yf x 那么函数在这个区间内单调 0fx yf x 6 判别 f x0 是极大 极小值的方法 若满足 且在的两侧的导数 则是的极值点 是极 0 x0 0 x f 0 x xf 0 x xf 0 xf 值 并且如果在两侧满足 左正右负 则是的 点 是 值 如 x f 0 x 0 x xf 0 xf 果在两侧满足 左负右正 则是的 点 是 值 x f 0 x 0 x xf 0 xf 求函数的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数 f x 2 求方程 f x 0 的根 3 用函数的导数为 0 的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查 f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么 f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那 么 f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么 f x 在这个根处无极值 7 求函数最值的步骤 1 求出在上的极值 2 求出端点函数值 f x a b f af b 3 比较极值和端点值 确定最大值或最小值 自我检测自我检测 1 求下列函数的导数 1 2 3 cos x yex 2 tanyxx ln 1 yx 2 如图 函数的图象在点P处的切线方程是 则 xfy 8 xy 5 5 ff 3 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积 1 y x 2 yx x 是 4 4 在处的导数值是 cosyxx 3 x 5 若函数 f x x3 ax2 1 在 0 2 内单调递减 则实数 a 的取值范围是 A a 3 B a 2C a 3D 0 a0 a b 类比推出 若 a b C 则 a b 0 a b 其中类比结论正 确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 在平面上 若两个正三角形的边长比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为 1 2 则它们的体积比为 4 观察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根据上述规律 第五个等 式为 5 一切奇数都不能被 2 整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被 2 整除 其演绎推理的 三段 论 的形式为 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充 数系扩充的脉络是 自然数系 有理数系 实数系 用集合符号表示为 N Q R 实 际上前者是后者的真子集 高中文科数学选修基本概念 第 6页 2 复数的有关概念 1 复数的概念 形如 a bi a b R 的数叫复数 其中 a b 分别是它的 和 若 则 a bi 为 实数 若 则 a bi 为虚数 若 则 a bi 为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a b c d R 3 共轭复数 a bi 与c di 共轭 a b c d R 4 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 叫做实轴 叫做虚轴 实轴上 的点表示实数 除原点外 虚轴上的点都表示 纯虚数 各象限内的点都表示 非纯虚数 复数集 C 和复平面内 所有的点 组成的集合是一一对应的 复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 5 复数的模 向量的模 r 叫做复数 z a bi 的模 记作 z 或 a bi 即 z a bi OZ 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di a c b d I 减法 z1 z2 a bi c di 乘法 z1 z2 a bi c di 除法 c di 0 z1 z2 a bi c di 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 自我检测自我检测 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 复数 1 3 ii 的虚部为 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8i B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8i C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 2 i ii 1 21 1 A i 2 B i 2 C i 2 D i 2 3 使复数为实数的充分而不必要条件是由 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 zz B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 zz C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 z 为实数 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 zz 为实数 4 设 4561245612 12 ziiiiziiii 则 12 z z 的关系是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 zz B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 zz C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 1zz D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 无法确定 5 复数 z i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 2 i 2 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6 复数 z1 3 4i z2 0 z3 c 2c 6 i 在复平面内对应的点分别为 A B C 若 BAC 是钝角 则实数 c 的取值范围为 高中文科数学选修基本概念 第 7页 统计案例统计案例 1 回归分析 1 回归直线 x y b a 一组具有线性相关关系的数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 其回归方程的截距和斜率的最小 二乘估计分别为 其中 称为样本点的中心 a y b x b n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 2 相关系数 r r n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 n i 1 yi y 2 当 r 0 时 表明两个变量 当 r3 841 B K26 635 D K26 635 时 有 99 的把握说事件 A 与 B 有关 6 下列说法中正确的有 若 r 0 则 x 增大时 y 也相应增大 若 r 0 D 2 2 1 1 10 y xx 10 以椭圆 22 1 169144 xy 的右焦点为圆心 且与双曲线 22 1 916 xy 的渐近线相切的圆的方程是 A 22 1090 xyx B 22 1090 xyx C 22 1090 xyx D 22 1090 xyx 11 已知双曲线的两个焦点为 1 10 0 F 2 10 0 F M是此双曲线上的一点 且满足 12 0MF MF 12 2MFMF 则该双曲线的方程是 A 2 2 1 9 x y B 2 2 1 9 y x C 22 1 37 xy D 22 1 73 xy 12 两个正数 a b 的等差中项是 9 2 一个等比中项是2 5 且 b a 则双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的离心 率为 A 5 3 B 41 4 C 5 4 D 41 5 13 设 1 e 2 e 分别为具有公共焦点 1 F 与 2 F 的椭圆和双曲线的离心率 P为两曲线的一个公共点 且 满足 0 21 PFPF 则 2 21 2 2 2 1 ee ee 的值为 A 2 1 B 1 C 2 D 不确定 14 已知 F1 F2 分别是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点 过 F1 且垂直于 x 轴的直线 与双曲线交于 A B 两点 若 ABF2 是锐角三角形 则该双曲线离心率的取值范围是 A 21 B 21 1 C 3 1 D 22 3 高中文科数学选修基本概念 第 14页 抛物线抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l F l 距离 的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的 直线 l 叫做抛物线的 2 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 0 p 标准方程pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 抛物线的标准方程有四种不同的形式 这四种标准方程的联系与区别在于 1 p 的几何意义 参数 p 是焦点到准线的距离 所以 p 恒为正数 2 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向 3 抛物线的焦半径 焦点弦 0 2 2 ppxy 的焦半径 PF 2 P x 0 2 2 ppyx 的焦半径 PF 2 P y 过焦点的所有弦中最短的弦 也被称做通径 其长度为 2p AB 为抛物线 pxy2 2 的焦点弦 则 BAx x 4 2 p BAy y 2 p AB pxx BA 自我检测自我检测 1 抛物线 y 4 2 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 A 16 17 B 16 15 C 8 7 D 0 2 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 111222 P xyP xy 333 P xy 在抛物线上 且 高中文科数学选修基本概念 第 15页 1F P 2F P 3F P 成等差数列 则有 A 321 xxx B 321 yyy C 231 2xxx D 231 2yyy 3 若直线 10axy 经过抛物线 2 4yx 的焦点 则实数a 4 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A B 若 A B 在抛物线准线上的射影为 11 B A 则 11FB A A 45 B 60 C 90 D 120 5 在平面直角坐标系 xOy 中 若抛物线 2 4xy 上的点P到该抛物线焦点的距离为 5 则点 P 的纵坐 标为 A 3 B 4 C 5 D 6 6 抛物线 4 2 Fxy的焦点为 准线为 l l 与 x 轴相交于点 E 过 F 且倾斜角等于 60 的直线与抛物 线在 x 轴上方的部分相交于点 A AB l 垂足为 B 则四边形 ABEF 的面积等于 A 33 B 34 C 36 D 38 7 若双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长 则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 5 D 2 8 已知抛物线 2 axyC a为非零常数 的焦点为F 点P为抛物线c上一个动点 过点P且与抛 物线c相切的直线记为l 1 求F的坐标 2 当点P在何处时 点F到直线l的距离最小 高中文科数学选修基本概念 第 16页 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1 极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O 叫做极点 自极点 O 引一条射线 Ox 叫做 极轴 再选定一个长度单 位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个 极坐标系 设 M 是平面上任一点 极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的 极径 记为 以极轴 Ox 为始 边 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角 记为 有序数对 叫做点 M 的 极坐标 记 作 2 极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点 x 轴的正半轴作为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 设 M 是平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标为 则它们之间的关系为 x cos y 另 一种关系为 2 x2 y2 tan x 0 y x 3 常见曲线的参数方程 1 直线的参数方程 若直线过 x0 y0 为直线的倾斜角 则直线的参数方程为 这是直线的参数方 程 其中参数 t 有明显的几何意义 2 圆的参数方程 若圆心在点 M a b 半径为 R 则圆的参数方程为 0 0 的参数方程为 自我检测自我检测 1 极坐标方程 1 0 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 2 极坐标方程 cos 和参数方程Error t 为参数 所表示的图形分别是 A 圆 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 直线 直线 3 直线 y x 与圆心为 D 的圆Error 0 2 交于 A B 两点 则直线 AD 与 BD 的倾斜角之 3 32 和为 高中文科数学选修基本概念 第 17页 A B C D 7 6 5 4 4 3 5 3 4 在极坐标系中 直线 sin 2 被圆 4 截得的弦长为 4 5 已知圆 C 的参数方程为Error 为参数 以原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 sin 1 则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 6 在极坐标系中 与点 3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是 3 A 3 B 3 C 3 D 3 2 3 3 4 3 5 6 7 在极坐标方程中 曲线 C 的方程是 4sin 过点 4 作曲线 C 的切线 则切线长为 6 A 4 B C 2 D 2 723 8 已知动圆方程 x2 y2 xsin 2 2 ysin 0 为参数 那么圆心的轨迹是 2 4 A 椭圆 B 椭圆的一部分 C 抛物线 D 抛物线的一部分 9 设曲线 C 的参数方程为Error 为参数 直线 l 的方程为 x 3y 2 0 则曲线 C 上到直线 l 距离 为的点的个数为 7 10 10 A 1 B 2 C 3 D 4 10 已知两曲线参数方程分别为Error 0 和Error t R 它们的交点坐标为 命题及其关系 充分条件与必要条件命题及其关系 充分条件与必要条件 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫做真命题 判断为假的语句叫做假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题 一般地 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论 用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定 于是四 种命题的形式就是 原命题 若 p 则 q p q 逆命题 若 q 则 p q p 否命题 若綈 p 则綈 q 綈 p 綈 q 逆否命题 若綈 q 则綈 p 綈 q 綈 p 2 四种命题间的关系 3 四种命题的真假性 高中文科数学选修基本概念 第 18页 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题 它们的真假性没有关系 3 充分条件与必要条件 若 p q 则 p 叫做 q 的充分条件 若 q p 则 p 叫做 q 的必要条件 如果 p q 则 p 叫做 q 的充要 条件 自我检测自我检测 1 集合 A x x 4 x R B x x5 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 A x 4 x 4 若 A B 则 a 4 a 4a 5 但 a 5 a 4 故选 B 2 a 0 是 a 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a 0 a 0 a 0a 0 a 0 是 a 0 的充分不必要条件 3 2k k Z 是 cos 2 的 6 1 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 2k k Z 可得到 cos 2 6 1 2 由 cos 2 得 2 2k k Z k k Z 1 2 3 6 所以 cos 2 不一定得到 2k k Z 1 2 6 4 若命题 p 的否命题为 r 命题 r 的逆命题为 s 则 s 是 p 的逆命题 t 的 A 逆否命题 B 逆命题 C 否命题 D 原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知 s 是 p 的逆命题 t 的否命题 5 与命题 若 a M 则 bM 等价的命题是 A 若 aM 则 bM B 若 bM 则 a M C 若 aM 则 b M D 若 b M 则 aM 答案 D 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题 所以只需写出原命题的逆否命题即可 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 1 逻辑联结词 命题中的或 且 非叫做逻辑联结词 p 且 q 记作 p q p 或 q 记作 p q 非 p 记作p 2 命题 p q p q p 的真假判断 pq p qp q p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 高中文科数学选修基本概念 第 19页 3 全称量词与存在量词 1 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 含有全称量 词的命题 叫做全称命题 可用符号简记为 x M p x 它的否定 x M p x 2 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做存在量词 并用符号 表示 含有存 在量词的命题 叫做特称命题 可用符号简记为 x M p x 它的否定 x M p x 自我检测自我检测 1 命题 x R x2 2x 10 C x R x2 2x 1 0 D x R x2 2x 1 0 答案 C 解析 因要否定的命题是特称命题 而特称命题的否定为全称命题 对 x2 2x 10 B x N x 1 2 0 C x R lg x 1 D x R tan x 2 答案 B 解析 对于 B 选项 x 1 时 x 1 2 0 5 2009 辽宁 下列 4 个命题 p1 x 0 xlog x 1 2 1 3 1 2 1 3 p3 x 0 x log x p4 x 0 x log x 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 其中的真命题是 A p1 p3 B p1 p4 C p2 p3 D p2 p4 答案 D 解析 取 x 则 log x 1 log x log32 1 p2正确 1 2 1 2 1 3 当 x 0 时 x1 p4正确 1 3 1 2 1 3 导数的概念及运算导数在研究函数中的应用导数的概念及运算导数在研究函数中的应用 1 用定义求函数的导数的步骤 1 求函数的改变量 y 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 x0 x y f 0 lim x x y 2 导数的几何意义和物理意义 几何意义 曲线 f x 在某一点 x0 y0 处的导数是过点 x0 y0 的切线的斜率 物理意义 若物体运动方程是 s s t 在点 P i0 s t0 处导数的意义是 t t0处 的 瞬时速度 高中文科数学选修基本概念 第 20页 3 几种常见函数的导数 为常数 c 0c n x 1n nx Rn sin x cos x cos x sin x ln x 1 x log a x 1 logae x x e x e x a ln x aa 4 运算法则 求导数的四则运算法则 uv uv uv uvuv u v 2 uvuv v 0 v 6 函数的单调性与导数的关系 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 a b 0fx yf x 那么函数在这个区间内单调递减 0fx yf x 6 判别 f x0 是极大 极小值的方法 若满足 且在的两侧的导数异号 则是的极值点 是极值 0 x0 0 x f 0 x xf 0 x xf 0 xf 并且如果在两侧满足 左正右负 则是的极大值点 是极大值 如果 x f 0 x 0 x xf 0 xf 在两侧满足 左负右正 则是的极小值点 是极小值 x f 0 x 0 x xf 0 xf 求函数的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数 f x 2 求方程 f x 0 的根 3 用函数的导数为 0 的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查 f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么 f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那 么 f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么 f x 在这个根处无极值 7 求函数最值的步骤 1 求出在上的极值 2 求出端点函数值 f x a b f af b 3 比较极值和端点值 确定最大值或最小值 自我检测自我检测 1 求下列函数的导数 1 2 3 cos x yex 2 tanyxx ln 1 yx 解题思路 按运算法则进行 解析 1 cos cos cos cossin xxxxx yexyexexexex 2 2 2 2 2 sincossin sin tan 2 coscos xxxx yxxyxx xx 高中文科数学选修基本概念 第 21页 2 1 2 cos x x 3 11 1 11 yx xx 2 如图 函数的图象在点P处的切线方程是 则 xfy 8 xy 5 5 ff 解题思路 区分过曲线处的切线与过点的切线的不同 后者的点不一定在曲线上 解析 观PPP 察图形 设 过 P 点的切线方程为 5 5 Pf 即 5 5 5 yffx 5 5 5 5 yfxff 它与重合 比较系数知 8 xy 5 1 5 3ff 故 2 5 5 ff 3 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 1 y x 2 yx x 解析 曲线和在它们的交点坐标是 1 1 两条切线方程分别是 y x 2 和 y 2x 1 x y 1 2 xy 它们与轴所围成的三角形的面积是 x 4 3 4 4 在处的导数值是 cosyxx 3 x 解析 故填 cossinyxxx 13 26 5 若函数 f x x3 ax2 1 在 0 2 内单调递减 则实数 a 的取值范围是 A a 3 B a 2C a 3D 0 a0 恒成立 y x3 x 在 上为增函数 没有减区间 答案 A 7 若函数在处取得极值 则 1 cossin2 2 f xmxx 4 x m 解题思路 若在附近的左侧 右侧 且 那么是的极 0 x 0 fx 0 fx 0 0fx 0 f x f x 高中文科数学选修基本概念 第 22页 大值 若在附近的左侧 右侧 且 那么是的极小值 0 x 0 fx 0 fx 0 0fx 0 f x f x 8 在区间上的最大值为 则 2 23yxx 2 a 15 4 a A B C D 或 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 解析 选 B 在上的最大值为 且在时 2 1 4yx 2 a 15 4 1a xa 解之或 舍去 选 B 2 15 23 4 yaa 最大 1 2 a 3 2 a 1 2 a 9 在区间上的最大值是 32 32f xxx 1 1 A B 0 C 2 D 42 解析 令可得或 2 舍去 当时 2 363 2 fxxxx x 0fx 0 x 210 x 0 当时 0 所以当时 f x 取得最大值为 2 选 C fx 01x fx 0 x 10 已知直线 x 2y 4 0 与抛物线 y2 4x 相交于 A B 两点 O 是坐标原点 P 是抛物线的弧上 求一点 P 当 PAB 面积最大时 P 点坐标为 解析 AB 为定值 PAB 面积最大 只要 P 到 AB 的距离最大 只要点 P 是抛物线的平行于 AB 的切线的切点 设 P x y 由图可知 点 P 在 x 轴下方的图象上 y 2 y kAB x x 1 2 1 2 11 x x 4 代入 y2 4x y 0 得 y 4 P 4 4 11 已知 直线 与函数 的图像都相切 且与 lnf xx 2 17 22 g xxmx 0m l f x g x 函数的图像的切点的横坐标为 1 求直线 的方程及的值 f x lm 解 依题意知 直线 是函数在点处的切线 故其斜率l lnf xx 1 0 高中文科数学选修基本概念 第 23页 1 1 1 1 k f 所以直线 的方程为 l1yx 又因为直线 与的图像相切 所以由l g x 2 2 1 19 1 0 17 22 22 yx xmx yxmx 得 不合题意 舍去 2 1 902mm 4m 1212 设 令 讨论在内的单调性0a 2 1ln2 ln 0 f xxxax x F xxfx F x 0 并求极值 点拨 根据求导法则有 2ln2 10 xa fxx xx 故 于是 2ln20F xxfxxxax 22 10 x F xx xx 列表如下 故知在内是减函数 在内是增函数 F x 0 2 2 所以 在处取得极小值 2x 2 22ln22Fa 13 当 求证0 x 1 x ex 解题思路 先移项 再证左边恒大于 0 解析 设函数 1 x f xex 1 x fxe 当时 故在递增 当时 0 x 0 1 x ee 10 x fxe f x 0 0 x 又 即 故 0 f xf 0 0 1 0 0fe 0f x 1 0 x ex 1 x ex 14 14 分 已知函数 f x x3 3ax 1 a 0 1 求 f x 的单调区间 2 若 f x 在 x 1 处取得极值 直线 y m 与 y f x 的图象有三个不同的交点 求 m 的取值范围 12 解 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 当 a0 当 a0 时 由 f x 0 解得 x a aa 由 f x 0 解得 x0 时 f x 的单调增区间为 a f x 的单调减区间为 aaa 2 f x 在 x 1 处取得极值 f 1 3 1 2 3a 0 a 1 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由 f x 0 解得 x1 1 x2 1 由 1 中 f x 的单调性可知 f x 在 x 1 处取得极大值 f 1 1 在 x 1 处取得极小值 f 1 3 直线 y m 与函数 y f x 的图象有三个不同的交点 结合 f x 的单调性可知 m 的取值范围是 3 1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 1 推理 根据一个或几个事实 或假设 得出一个判断 这种思维方式叫推理 从结构上说 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做前提 一部分是由已知推出的判 断 叫结论 2 合情推理 根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出的推理叫合情推理 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征 推出另一类对象 也具有这些特征的推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理 简言之 演绎推理是由一 般到特殊的推理 三段论是演绎推理的一般模式 它包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 自我检测自我检测 1 观察 x2 2x x4 4x3 cos x sin x 由归纳推理可得 若定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 记 g x 为 f x 的导函数 则 g x 等于 D A f x B f x C g x D g x 2 给出下面类比推理命题 其中Q 为有理数集 R 为实数集 C 为复数集 若 a b R 则 a b 0 a b 类比推出 若 a b C 则 a b 0 a b 若 a b c d R 则复数 a bi c di a c b d 类比推出 若 a b c d Q 则 a b c d a c b d 22 若 a b R 则 a b 0 a b 类比推出 若 a b C 则 a b 0 a b 其中类比结论正 确的个数是 C A 0 B 1 C 2 D 3 3 在平面上 若两个正三角形的边长比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为 1 2 则它们的体积比为 1 8 4 观察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根据上述规律 第五个等 式为 13 23 33 43 53 63 152 5 一切奇数都不能被 2 整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被 2 整除 其演绎推理的 三段 高中文科数学选修基本概念 第 25页 论 的形式为 一切奇数都不能被 2 整除 大前提 2100 1 是奇数 小前提 所以 2100 1 不能被 2 整除 结论 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充 数系扩充的脉络是 自然数系 有理数系 实数系 用集合符号表示为 N Q R 实 际上前者是后者的真子集 2 复数的有关概念 1 复数的概念 形如 a bi a b R 的数叫复数 其中 a b 分别是它的 实部 和虚部 若 b 0 则 a bi 为 实数 若 b 0 则 a bi 为虚数 若 a 0且 b 0 则 a bi 为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a c b d a b c d R 3 共轭复数 a bi 与c di 共轭 a c b d a b c d R 4 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 x 轴 叫做实轴 y 轴 叫做虚轴 实轴上的 点表示实数 除原点外 虚轴上的点都表示 纯虚数 各象限内的点都表示 非纯虚数 复数集 C 和复平面内 所有的点 组成的集合是一一对应的 复数集 C 与复平面内所有以 原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 5 复数的模 向量的模 r 叫做复数 z a bi 的模 记作 z 或 a bi 即 z a bi OZ a2 b2 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 加法 z1 z2 a bi c di a c b d i 减法 z1 z2 a bi c di a c b d i 乘法 z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 除法 z1 z2 a bi c di a bi c di c di c di c di 0 ac bd bc ad i c2 d2 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何 z1 z2 z3 C 有 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 自我检测自我检测 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 复数 1 3 ii 的虚部为 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8i B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8i C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 答案 D 2 1 33333 112 2 8 i iiiii iii 虚部为 8 2 i ii 1 21 1 A i 2 B i 2 C i 2 D i 2 3 使复数为实数的充分而不必要条件是由 高中文科数学选修基本概念 第 26页 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 zz B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 zz C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 z 为实数 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 zz 为实数 答案 B zzzR zzzR 反之不行 例如 2z 2 z 为实数不能推出 zR 例如z i 对于任何z z z 都是实数 4 设 4561245612 12 ziiiiziiii 则 12 z z 的关系是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 zz B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 zz C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 1zz D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 无法确定 答案 A 494 44 5 6 7 1272 12 1 1 1 1 11 iiii zizii ii 5 复数 z i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 D 2 i 2 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6 复数 z1 3 4i z2 0 z3 c 2c 6 i 在复平面内对应的点分别为 A B C 若 BAC 是钝角 则实数 c 的取值范围为 c 且 c 9 49 11 统计案例统计案例 1 回归分析 1 回归直线 一组具有线性相关关系的数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 其回归方程的截距和斜率的最小 二乘估计分别为 a y b x b n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 其中 称为样本点的中心 xy 2 相关系数 r r n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 n i 1 yi y 2 当 r 0 时 表明两个变量 正相关 当 r3 841 B K26 635 D K26 635 时 有 99 的把握说事件 A 与 B 有关 6 下列说法中正确的有 若 r 0 则 x 增大时 y 也相应增大 若 r2 即 k0 0 k 0 D 2 2 1 1 10 y xx 解析 2 BNBMPNPM P点的轨迹是以M N为焦点 实轴长为 2 的双曲线的右支 选 B 10 以椭圆 22 1 169144 xy 的右焦点为圆心 且与双曲线 22 1 916 xy 的渐近线相切的圆的方程是 A 22 1090 xyx B 22 1090 xyx C 22 1090 xyx D 22 1090 xyx 解析 椭圆与双曲线共焦点 焦点到渐近线的距离为 b 选 A 11 已知双曲线的两个焦点为 1 10 0 F 2 10 0 F M是此双曲线上的一点 且满足 12 0MF MF 12 2MFMF 则该双曲线的方程是 A 2 2 1 9 x y B 2 2 1 9 y x C 22 1 37 xy D 22 1 73 xy 解析 由 12 2MFMF 和 40 2 2 2 1 PFPF 得 6 21 PFPF 选 A 12 两个正数 a b 的等差中项是 9 2 一个等比中项是2 5 且 b a 则双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 为 A 5 3 B 41 4 C 5 4 D 41 5 解析 414 5 cba 选 B 13 设 1 e 2 e 分别为具有公共焦点 1 F 与 2 F 的椭圆和双曲线的离心率 P为两曲线的一个公共点 且 满足 0 21 PFPF 则 2 21 2 2 2 1 ee ee 的值为 C 高中文科数学选修基本概念 第 36页 A 2 1 B 1C 2D 不确定 14 已知 F1 F2 分别是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点 过 F1 且垂直于 x 轴的直线 与双曲线交于 A B 两点 若 ABF2 是锐角三角形 则该双曲线离心率的取值范围是 A 21 B 21 1 C 3 1 D 22 3 解析 2101221 2 222 2 eeeacac c a b 选 B 抛物线抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l F l 距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物 线的 焦点 直线 l 叫做抛物线的 准线 2 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 0 p 标准方程pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx 0Ryx 00 yRx0 yRx 对称轴 x轴 y 轴 顶点 0 0 离心率1 e 抛物线的标准方程有四种不同的形式 这四种标准方程的联系与区别在于 1 p 的几何意义 参数 p 是焦点到准线的距离 所以 p 恒为正数 2 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向 3 抛物线的焦半径 焦点弦 0 2 2 ppxy 的焦半径 PF 2 P x 0 2 2 ppyx 的焦半径 PF 2 P y 过焦点的所有弦中最短的弦 也被称做通径 其长度为 2p 高中文科数学选修基本概念 第 37页 AB 为抛物线 pxy2 2 的焦点弦 则 BAx x 4 2 p BAy y 2 p AB pxx BA 自我检测自我检测 1 抛物线 y 4 2 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 A 16 17 B 16 15 C 8 7 D 0 点拨 抛物线的标准方程为 yx 4 1 2 准线方程为 16 1 y 由定义知 点 M 到准线的距离为 1 所 以点 M 的纵坐标是16 15 2 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 111222 P xyP xy 333 P xy 在抛物线上