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高等数学高等数学 试卷试卷 中值定理与导数的应用 中值定理与导数的应用 A A 卷 卷 班级 学号 姓名 成绩 一 填空题 10 3 30 1 曲线在点 处的切线与连接曲线上 0 1 1 e 两点的弦平行 x ey 2 在区间 单调减少 在区间 单调增加 x 8 x2y 0 x 3 罗尔定理 若函数满足 1 2 3 在区 x f 间 的端点处的函数值相等 即 则在 a b 内至少存在一点 使 b a a f b f 得 0 f 4 当时 求函数的二阶泰勒公式 1x0 x 1 x f 5 线在区间 上是凸的 在区间 上是凹的 拐点为 x1ln y 2 6 求曲线的水平渐近线是 垂直渐近线是 2 3 bx a cy 二 用洛必达法则求下列极限 6 5 30 1 x2tanln x7tanln lim 0 x 2 xcosxx xsinx lim 0 x 3 xsin 0 x xlim 4 xln 1 1x x lim 1x 5 1x x2 1x 1x x2 lim 三 设 在 1 x 处可导 求a和b 7 分 1x b x 1x b 2 1x xaln x f 2 四 求函数 的极值 7 分 5x9x3x x f 23 四 当时 证明 7 分 1x exex 五 要造一个圆柱形油罐 体积为 V 问底半径 r 和高 h 等于多少时 才能使表面积最小 9 分 六 求在上的最大值和最小值 10 分 14x12x3x2 x f 23 4 3 答案 第四章 A 卷 一填空 1 ln1 1ee 2 22 22 22 22 3 在闭区间上连续 在开区间内可导 a b a b 4 2 23 11 1 xx xx 5 或 1 11 1 1 1 6 yc xb 二极限 1 2 7 2 1 3 3 1 4 1 2 5 1 2 e 三解 由题意得 即 11 lim lim 1 2 xx f xxbfb 1b 即 2 11 lim limlnln12 xx f xaxa 2 1ae 四解令得驻点为和 3 2 3690fxxx 1x 在上故单调递增 1 0fx f x 在上故单调递减 1 3 0fx f x 在上故单调递增 即在取得极大值 10 在处 3 0fx f x f x1x 3x 取得极小值 22 五证 因为函数在区间上符合拉格郎日中值定理的条件 t f te 1 x 故 使 因为 所以 即 所以当 1 x 1 x ee fe x 1x ee 1 x ee e x 时 1x x eex 六解 设底半径为 R 高 H 则表面积 令解得唯一驻点 22 2 2 v srrhr r 0s 且时 时 在区间内只有一个极小值 3 v r 3 v r 0s 3 v r 0s s 0 点 故该极小值是函数的极小值 所以当 表面积最小 3 v r 七解 令 得驻点或 1 给定区间内没有不可导点 0fx 2x 因为
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