实验五--种群数量的状态转移——微分方程

开课学院 实验室 开课学院 实验室 通信工程学院通信工程学院 DS1407 实验实验 时间时间 实验项目类型实验项目类型 课程课程 名称名称 数学建模数学建模 实验项目实验项目 名名 称称 实验五 种群数量的状态 转移 微分方程 验证验证演示演示综合综合设计设计其他其他 指导指导 教师教师 成成 绩绩 实验目的 1 归纳和学习求解常微分方程 组 的基本原理和方法 2 掌握解析 数值解法 并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析 3 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令 4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程 基础实验 一 实验内容 1 微分方程及方程组的解析求解法 2 微分方程及方程组的数值求解法 欧拉 欧拉改进算法 3 直接使用 MATLAB 命令对微分方程 组 进行求解 包括解析解 数值解 4 利用图形对解的特征作定性分析 5 建立微分方程方面的数学模型 并了解建立数学模型的全过程 二 实验过程 一般应包括实验原理或问题分析 算法设计 程序 计算 图表等 实验结果及分析 1 求微分方程的解析解 并画出它们的图形 y y 2x y 0 1 0 x 1 实验原理 y dsolve eqn1 eqn2 c1 x 问题分析 y Dy 程序 y dsolve Dy y 2 x x y1 dsolve Dy y 2 x y 0 1 x x 0 0 01 1 y 2 x 2 3 exp x plot x y r xlabel x ylabel y 图表 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 x y 实验结果 y 2 x 2 exp x C1 y1 2 x 2 3 exp x 实验分析 由图表知结果正确 2 用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y y 2x y y 0 1 0 x 1 h 0 1 的数值解 要求编写程序 并比较两种方法的计算结果 说明了什么问题 实验原理 1 向前欧拉公式 y f x y y xn 1 y xn h f xn y xn 迭代式 yn 1 yn h f xn yn 近似式 特点 f x y 取值于区间 xn xn 1 的左端点 2 向后欧拉公式 yn 1 yn h f xn 1 yn 1 特点 f x y 取值于区间 xn xn 1 的右端点 非线性方程 称 隐式公式 问题分析 用不同的方法来求解 用向前欧拉公式时 用 xn 代替 用向后欧拉公式 用 x n 1 程序 x1 1 0 y1 1 1 y2 1 1 for k 1 10 x1 k 1 x1 k 0 1 y1 k 1 y1 k 0 1 y1 k 2 x1 k y1 k y2 k 1 y2 k 0 1 y2 k 1 2 x1 k 1 y2 k 1 end x1 y1 y2 x 0 0 1 1 y sqrt 2 x 1 plot x y x1 y1 k x1 y2 r 图表 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 结果 x1 0 0 1000 0 2000 0 3000 0 4000 0 5000 0 6000 0 7000 0 8000 0 9000 1 0000 y1 1 0000 1 1000 1 1918 1 2774 1 3582 1 4351 1 5090 1 5803 1 6498 1 7178 1 7848 y2 1 0000 1 0811 1 1448 1 1928 1 2273 1 2501 1 2635 1 2694 1 2698 1 2662 1 2604 y 1 0000 1 0954 1 1832 1 2649 1 3416 1 4142 1 4832 1 5492 1 6125 1 6733 1 7321 分析 向前欧拉公式较接近真实结果 向后欧拉公式差距较大 应用实验 或综合实验 一 实验内容 盐水的混合问题盐水的混合问题 一个圆柱形的容器 内装 350 升的均匀混合的盐水溶液 如果纯水以每秒 14 升的速度从容器顶部 流入 同时 容器内的混合的盐水以每秒 10 5 升的速度从容器底部流出 开始时 容器内盐的含量为 7 千克 求经过时间t后容器内盐的含量 二 问题分析 设单位时间为 dt 体积为 t 则含盐量为 v 350 14 dt 10 5 dt 三 数学模型的建立与求解 一般应包括模型 求解步骤或思路 程序放在后面的附录中 列出方程再求解 列出方程再求解 四 实验结果及分析 020040060080010001200 0 1 2 3 4 5 6 7 含盐量随时间而降低 五 附录 程序等 y zeros 1 1001 v 350 y 1 7 dt 1 for i 2 1001 v 350 14 dt 10 5 dt y i y i 1 y i 1 v 10 5 dt end plot 1 1001 y 总结与体会 通过该实验的学