2006年高考试题——数学理(四川卷)

高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数学 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 到 8 页 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 注意事项 1 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么球是表面积公式 BPAPBAP 2 4 RS 如果事件 A B 相互独立 那么其中 R 表示球的半径 球的体积公式 BPAPBAP 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 3 3 4 RV n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP 1 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知集合则集合 2 A 560 213 x xxBxx AB A B C D 23xx 23xx 23xx 13xx 2 复数的虚部为 3 1 3i A 3 B 3 C 2 D 2 3 已知下面结论正确的是 23 1 2 1 xx f x x A f x 在 x 1 处连续 B f 1 5 C D 1 lim 2 x f x 1 lim 5 x f x 4 已知二面角的大小为 l 0 60mn 为异面直线 mn 且 mn则 所成的角为 A B C D 0 30 0 60 0 90 0 120 5 下列函数中 图像的一部分如右图所示的是 A B sin 6 yx sin 2 6 yx C D cos 4 3 yx cos 2 6 yx 6 已知两定点如果动点 P 满足条件 2 0 A 1 0 B 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于2 PAPB A B C D 4 8 9 7 如图 已知正六边形 下列向量的数量积中最大的是 123456 PP PP PP A B C D 1213 PPPP 1214 PPPP 1215 PPPP 1216 PPPP 8 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为千克 生产乙产品每千克需用 11 ab 原料 A 和原料 B 分别为千克 甲 乙产品每千克可获利润分别为元 月初一 22 ab 12 dd 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 次性购进本月用原料 A B 各千克 要计划本月生产甲 乙两种产品各多少千克才能 12 cc 使月利润总额达到最大 在这个问题中 设全月生产甲 乙两种产品分别为 千克 千 克 月利润总额为 元 那么 用于求使总利润最大的数学模型中 约束条 12 zd xd y 件为 A B C D 121 122 0 0 a xa yc b xb yc x y 111 222 0 0 a xb yc a xb yc x y 121 122 0 0 a xa yc b xb yc x y 121 122 0 0 a xa yc b xb yc x y 9 直线 3 与抛物线交于 A B 两点 过 A B 两点向抛物线的准线作垂线 xy4 2 垂足分别为 P Q 则梯形 APQB 的面积为 A 48 B 56 C 64 D 72 10 已知球O半径为 1 A B C 三点都在球面上 A B 两点和 A C 两点的球面距离都是 B C 两点的球面距离是 则二面角的大小是 4 3 BCOA A B C D 4 3 2 2 3 11 设分别为的三内角所对的边 则是的cba ABC ABC 2 ab bc AB 2 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条 件 12 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数 这个数不能 被 整除的概率为 A B C D 19 54 35 54 38 54 41 60 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 在三棱锥 O ABC 中 三条棱 OA OB OC 两两互相垂直 且 OA OB OC M 是 AB 的中点 则 OM 与平面 ABC 所成角的大小是 用反三角函数表示 14 设离散型随机变量 可能取的值为 1 2 3 4 P k ak b k 1 2 3 4 又 的数学期望 E 3 则 15 如图把椭圆的长轴 AB 分成 8 分 过每个分点 22 1 2516 xy 作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点 1 P 2 P 7 P F 是椭圆的一个焦点 则 127 PFP FP F 16 非空集合 G 关于运算满足 1 对任意的都有 2 存在 a bG abG 都有则称 G 关于运算为 融洽集 现给出下列集合和运算 eG abbaa G 非负整数 为整数的加法 G 偶数 为整数的乘法 G 平面向量 为平面向量的加法 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 G 二次三项式 为多项式的加法 G 虚数 为复数的乘法 其中 G 关于运算为 融洽集 的是 写出所有 融洽集 的序号 三 解答题共 6 个小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 A B C 是三内角 向量ABC 1 3 m cos sin nAA 且1 m n 求角 A 若 22 1 sin2 3 cossin B BB 求t anC 18 本小题满分 12 分 某课程考核分理论与实验两部分进行 每部分考核成绩只记 合格 与 不合格 两部分 考核都 合格 则该课程考核 合格 甲 乙 丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0 9 0 8 0 7 在实验考核中合格的概率分别为 0 8 0 7 0 9 所有考核是否合格相互 之间没有影响 求甲 乙 丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率 求这三人该课程考核都合格的概率 结果保留三位小数 19 本小题满分 12 分 如图 长方体 ABCD 中 E P 分别是 BC 的中点 1111 DCBA 11 A D M N 分别是 AE 的中点 1 CD 11 AD A A a Ab 2 a 求证 11 MN ADD A平面 求二面角的大小 PAED 求三棱锥 P DEN 的体积 20 本小题满分 12 分 已知数列 其中 n a 12 1 3 aa 记数列的 11 2 2 nnn aaan n a 前 n 项和为数列的前 n 项和为 n S ln n S n U 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 求 n U 设 其中为的导函数 2 2 2 N U n n e F xx n n 1 1 n nk i T xFx 1 k Fx k Fx 计算 1 lim n n n T x Tx 21 本小题满分 12 分 已知两定点满足条件的点 P 的轨迹是曲线E 直 1 2 0 F 2 2 0 F212PFPF 线 kx 1 与曲线E交于 A B 两点 如果且曲线E上存在点 C 使6 3 AB 求 OAOBmOC mABC 的值和的面积S 22 本小题满分 14 分 已知函数f x 的导函数是 对任意两个不相等的正 2 2 f x ln 0 xa x x x f x 数 证明 12 xx 当时 0a 1212 22 f xf xxx f 当时 4a 1212 fxfxxx 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 理科数学及参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 题号 123456789101112 答案 CDDBDBACACAB 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中的横线上 13 14 15 16 arctan2 1 10 35 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考察三角函数概念 同角三角函数的关系 两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式 考察应用 分析和计算能力 满分 12 分 解 即1m n 1 3cos sin1AA 3sincos1AA 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 31 2 sincos1 22 AA 1 sin 62 A 5 0 666 AA 66 A 3 A 由题知 整理得 22 12sincos 3 cossin BB BB 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB 或tan2B tan1B 而使 舍去 tan1B 22 cossin0BB tan2B tantanCAB tan AB tantan 1tantan AB AB 23 1 2 3 85 3 11 18 本大题满分 12 分 本小题主要考察相互独立事件 互斥事件 对立事件等概率的计算方法 考察应用概率知 识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 记 甲理论考核合格 为事件 乙理论考核合格 为事件 丙理论考核合 1 A 2 A 格 为事件 记为的对立事件 记 甲实验考核合格 为事件 3 A i A i A1 2 3i 1 B 乙实验考核合格 为事件 丙实验考核合格 为事件 2 B 3 B 记 理论考核中至少有两人合格 为事件 记为的对立事件CCC 解法 1 123123123123 P CP A A AA A AA A AA A A 123123123123 P A A AP A A AP A A AP A A A 0 9 0 8 0 30 9 0 2 0 70 1 0 8 0 70 9 0 8 0 7 0 902 解法 2 1P CP C 123123123123 1P A A AA A AA A AA A A 123123123123 1P A A AP A A AP A A AP A A A 10 1 0 2 0 30 9 0 2 0 30 1 0 8 0 30 1 0 2 0 7 1 0 098 0 902 所以 理论考核中至少有两人合格的概率为0 902 记 三人该课程考核都合格 为事件D 112233 P DPA BABAB 112233 P A BP ABP AB 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 112233 P AP BP AP BP AP B 0 9 0 8 0 8 0 8 0 7 0 9 0 254016 0 254 所以 这三人该课程考核都合格的概率为0 254 19 本大题满分 12 分 本小题主要考察长方体的概念 直线和平面 平面和平面的关系等基础知识 以及空间想 象能力和推理能力 满分 12 分 解法一 证明 取的中点 连结CDK MK NK 分别为的中点 M N K 1 AK CD CD 1 MKAD NKDD 面 面 MK 11 ADD A NK 11 ADD A 面面 面 MNK 11 ADD A MN 11 ADD A 设为的中点FAD 为的中点 面P 11 AD 1 PFD DPF ABCD 作 交于 连结 则由三垂线定理得FHAE AEHPHAEPH 从而为二面角的平面角 PHF PAED 在中 从而Rt AEF 17 2 22 a AFEFa AEa 2 2 2 1717 2 a a AF EFa FH AE a 在中 Rt PFH 1 17 tan 2 DDPF PFH FHFH 故 二面角的大小为PAED 17 arctan 2 1 222 1 1115 4 2444 NEPECD P SSBC CDaaaa 矩形 作 交于 由面得 1 DQCD 1 CDQ 11 AD 11 CDDC 11 ACDQ 面DQ 11 BCD A 在中 1 Rt CDD 1 1 22 55 CD DDa a DQa CDa 1 3 P DEND ENPNEP VVSDQ 2 152 3 45 aa 3 1 6 a 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 方法二 以为原点 所在直线分别为轴 轴 轴 建立直角坐标系 D 1 DA DC DDxyz 则 11 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 A aB aaCaA aaDa 分别是的中点 E P M N 111 BC AD AE CD 3 2 0 0 0 0 2242 aaaa EaPaMaNa 3 0 42 a MNa 取 显然面 0 1 0n n 11 ADD A 0MN n MNn 又面 面MN 11 ADD A MN 11 ADD A 过作 交于 取的中点 则 PPHAE AEHADF 0 0 2 a F 设 则 0H x y 0 22 aa HPxy aHFxy 又 2 0 2 a AEa 由 及在直线上 可得 0AP AE HAE 2 20 42 44 aa xay xya 解得 332 3417 xa ya 即 8282 0 17171717 aaaa HPaHF 0HF AE HFAE 与所夹的角等于二面角的大小HP HF PAED 2 cos 21 HP HF HP HF HPHF 故 二面角的大小为PAED 2 21 arccos 21 设为平面的法向量 则 1111 nx y z DEN 11 nDE nDN 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 又 2 0 0 0 222 aaa DEaDNaDPa 即 可取 11 11 20 2 20 2 a xay a yz 11 11 4 2 xy zy 1 4 1 2n 点到平面的距离为PDEN 1 1 224 16 1421 DP n aaa d n 8 cos 85 DE DN DE DN DEDN 21 sin 85 DE DN 2 121 sin 28 DEN SDEDNDE DNa 3 2 11214 338621 P DENDEN aa VSda 20 本大题满分 12 分 本小题主要考察等差数列 等比数列的基础知识 以及对数运算 导数运算和极限运算的 能力 同时考查分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 由题意 是首项为 公差为的等差数列 n a12 前项和 n 2 1 121 2 n n Snn 2 lnln2ln n Snn 2 ln1 ln2ln2ln n Unn 2 2 22 22 2 2 2 n Un nn n nex Fxxx n n nn n 21n n Fxx 2 2 21 11 2 2 1 01 1 1 1 1 1 n nn k nk kk n xx x x TxFxxnx xx x x 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 2 22 1 2 2 2 1 lim101 1 limlim11 1 1 1 lim1 1 n n n n nn n n n n x x x Txn x Txn x x x x 21 本大题满分 14 分 本小题主要考察双曲线的定义和性质 直线与双曲线的关系 点到直线的距离等知识及解 析几何的基本思想 方法和综合解决问题的能力 满分 12 分 解 由双曲线的定义可知 曲线是以为焦点的双曲线的左支 E 12 2 0 2 0FF 且 易知2 1ca 1b 故曲线的方程为E 22 10 xyx 设 由题意建立方程组 1122 A x yB xy 22 1 1 ykx xy 消去 得y 22 1220kxkx 又已知直线与双曲线左支交于两点 有 A B 解得 2 2 2 12 2 12 2 10 28 10 2 0 1 2 0 1 k kk k xx k x x k 21k 又 2 12 1ABkxx 2 2 1212 14kxxx x 2 2 22 22 14 11 k k kk 22 2 2 12 2 1 kk k 依题意得整理后得 22 2 2 12 26 3 1 kk k 42 2855250kk 或但 2 5 7 k 2 5 4 k 21k 5 2 k 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 故直线的方程为AB 5 10 2 xy 设 由已知 得 cc C xyOAOBmOC 1122 cc x yxymx my 1212 cc xxyy mx my mm 0m 又 12 2 2 4 5 1 k xx k 2 1212 22 22 228 11 k yyk xx kk 点 4 5 8 C mm 将点的坐标代入曲线的方程 得CE 22 8064 1 mm 得 但当时 所得的点在双曲线的右支上 不合题意4m 4m 点的坐标为4m C 5 2 到的距离为CAB 2 2 5 52 1 2 1 3 5 1 2 的面积ABC 11 6 33 23 S 22 本大题满分 14 分 本小题主要考查导数的基本性质和应用 函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析 推理论证的能力 满分 14 分 证明 由 2 2 lnf xxax x 得 1222 1212 12 111 lnln 222 f xf xa xxxx xx 22 12 1212 12 1 ln 2 xx xxax x x x 2 121212 12 4 ln 222 xxxxxx fa xx 而 2 2 2222 12 121212 11 2 242 xx xxxxx x 又 2 22 12121212 24xxxxx xx x 高考试题库 我的高考我作主 版权所有 高考试题库 12 1212 4xx x xxx 12 12 2 xx x x 12 12 lnln 2 xx x x 0a 12 12 lnln 2 xx ax xa 由 得 2 22 1212 121212 1212 14 lnln 22 xxxx xxax xax x x xxx 即 12 12 22 f xf