一道几何概型试题的探究1(1)

1 一道几何概型试题的探究一道几何概型试题的探究 兰州西北中学 730050 问题 在等腰直角 ABC 中 C 90 过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M 求使 AM AC 的概率 解法一 解法一 设事件 D 作射线 CM 使 AM AC 在 AB 上取点 M 使 AM AC 因为 ACM 是等腰三角形 所以 ACM 67 5 A 90 67 5 22 5 90 所以 P D 90 5 22 4 3 MB C A 解法二 解法二 设事件 D 作射线 CM 使 AM AC 在 AB 上取点 M 使 AM AC 因为 ACM 是等腰三角形 所以 AM A AM AB 所以 P D 2 2 AB 2 2 AB AB AM 2 2 两种解法哪种正确 为什么 如果我们把问题中的等腰直角三角形改为 C 90 的扇形 过顶点 C 作射线 CM 交 于 M 求使 AM AC 的概率 AB B C A M 如果我们把问题中的等腰直角三角形改为 C 90 的扇形 过顶点 C 作射线 CM 交 于 M 求使的长大于 AC 的概率 用以上两种解法去解 不难得出答案是一样的 这是 AB AB 为什么呢 如果射线 CM 从 CA 起匀速绕 C 旋转到达 CB M 在上的运动也是匀速的 如果把射线 AB CM 在 ACB 中的每一个位置作为一个基本事件 这些基本事件 是等可能事件 如果把点 2 M 在线段 AB 上的每一个位置作为一个基本事件 这些基本事件也是等可能事件 所以 两 种解法答案是一样的 如果我们把问题中的 等腰直角三角形 改为 A 60 C 90 的直角三角形 MB C A 我们把 AB 的中点记作 M0 ACM0 600 M0CB 300 如果射线 CM 从 0 AMAC CA 起匀速绕 C 旋转到达 CB M 在 AB 上的运动就不是匀速的 可以理解为线段 AM0上的点比 线段 M0B 上的点稠密 此时 用长度比来刻画 AM AC 的概率 显然就错了 2 1 AB AM 因为把 M 在 AB 上的每一个位置作为一个基本事件 这些基本事件不是等可能基本事件 应 该把射线 CM 在 ACB 中的每一个位置作为一个基本事件 这些基本事件就是等可能事件了 显然 P 3 2 90 60 的度数 的度数 ACB ACM 如果 M 是从 A 点起匀速运动到达 B 点 射线 CM 在 ACB 中的每一个位置作为一个基本 事件 这些基本事件 就不是等可能事件了 这个问题也就不能看作几何概型了 自然就 不能用几何概型的方法去解决 应该把点 M 在线段 AB 上的每一个位置作为一个基本事件 这些基本事件就是等可能事件了 这个问题也就是几何概型了 2 1 的长度 的长度 AB AM P 所以 前面提出的问题 理解表述是很关键的 过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M 应理解为射线 CM 从 CA 起匀速绕 C 旋转到达 CB AM AC 的概率应该以角作为测 度 同理如果把 过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M 改为 M 在线段 AB 上 就应该 理解为 M 从 A 点起匀速运动到达 B 点 AM AC 的概率应该以长度作为测度 又例如 O 是正方形 ABCD 的中心 Q 是 CB 的中点 1 以 O 为端点作射线 OP 交正方形的边于 P 求使得 AOP 和 QOP 都不小于的 300概率 2 在折线 ABQ 上任取一点 P 求使得 AOP 和 QOP 都不小于的 300概率 P D A C B Q E F 分析 1 只能以角度作为测度 2 可以用长度和面积为测度 但不能以角度作为测度 3 如果把问题改为 在圆心角为 1350的扇形中 以圆心 O 为起点作射线 OC 求使得 AOC 和 BOC 都不小于的 300概率 此题弧长