31微分中值定理

第一节 中值定理 教学目的 理解并会用罗尔定理 拉格朗日定理 了解柯西中值定理 教学重点 罗尔定理 拉格朗日定理的应用 教学过程 一 罗尔定理 定理 1 若函数 f x 满足 i f x 在 a b 上连续 ii f x 在 a b 可导 iii f a f b 则在 a b 内至少存在一点 使得 f 0 证明 由 i 知 f x 在 a b 上连续 故 f x 在上必能得最大值 M 和最小值 m 此 时 又有二种情况 1 M m 即 f x 在 a b 上得最大值和最小值相等 从而知 此时 f x 为常数 f x M m 0 因此 可知为 a b 内任一点 都有 f xf 0 2 M m 此时 M 和 m 之中 必有一个不等于 f a 或 f b 不妨设 Mf a 对 mf a 同理证明 这时必然在 a b 内存在一点 使得 f M 即 f x 在点得最大值 下面来证明 f 0 首先由 ii 知 f 是存在的 由定义知 f x Mxf x fxf xx lim lim 因为为最大值 对有 f x Mf x M0 M x 当 x 时 有0 x Mxf x fxf 当 x 时 有0 x Mxf x fxf 又因为 的极限存在 知 极限的左 右极限都存在 且都等于 f 即 然而 又有 fff 0 lim x fxf ff x 和 0 lim x fxf ff x 0 f 注 1 定理中的三个条件缺一不可 否则定理不一定成立 即指定理中的条件是充 分的 但非必要 2 罗尔定理中的点不一定唯一 事实上 从定理的证明过程中不难看出 若 可导函数在点处取得最大值或最小值 则有 xf 0 f 3 定理的几何意义 设有一段弧的两端点的高度相等 且弧长除两端点外 处 处都有不垂直于轴的一切线 到弧上至少有一点处的切线平行于轴 xx 例 1 设多项式的导函数没有实根 证明最多只有一个实根 xp x p xp 二 拉格朗日中值定理 在罗尔定理中 第三个条件为 iii 然而对一般的函数 此条不满 bfaf 足 现将该条件去掉 但仍保留前两个条件 这样 结论相应地要改变 这就是拉 格朗日中值定理 定理 2 若函数满足 i 在上连续 ii 在上可导 则在内 xf ba xf ba ba 至少存在一点 使得 ab afbf f 若此时 还有 可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理 bfaf 0 f 的一个特殊情况 因而用罗尔中值定理来证明之 证明 上式又可写为 1 0 ab afbf f 作一个辅助函数 2 ax ab afbf xfxF 显然 在上连续 在上可导 且 xF ba ba afaa ab afbf afaF afab ab afbf bfbF 所以由罗尔中值定理 在内至少存在一点 使得 bFaF ba 又 0 F ab afbf xfxF 或 0 ab afbf f ab afbf f 注 1 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广 2 定理中的结论 可以写成 此式也称为 abfafbf ba 拉格朗日公式 其中可写成 10 aba 3 ababafafbf 若令 4 hhafafhafhab 3 若 定理中的条件相应地改为 在上连续 在内可导 ba xf ab ab 则结论为 也可写成 bafbfaf abfafbf 可见 不论哪个大 其拉格朗日公式总是一样的 这时 为介于之间的ba ba 一个数 4 中的不论正负 只要满足条件 4 就成立 h xf 4 设在点处有一个增量 得到点 在以和为端点的区间上xx xx xxx 应用拉格朗日中值定理 有 xxxfxfxxf 10 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系 故xxxfy y x 该定理又称为微分中值定理 5 几何意义 如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线 xfy y 则曲线上至少存在一点 该点的切线平行于两端点的联线 由定理还可得到下列结论 推论 1 如果在区间上的导数恒为 0 则在上是一个常数 xfy I xfI 证明 在中任取一点 然后再取一个异于的任一点 在以 为端点的I 0 x 0 xx 0 xx 区间 上 满足 i 连续 ii 可导 从而在内部存在一点 使得J xfJ 又在上 从而在上 00 xxfxfxf I0 x fJ 0 x f 所以 0 f0 0 xfxf 0 xfxf 可见 在上的每一点都有 常数 xfI 0 xfxf 三 柯西中值定理 定理 3 若满足 xFxf i 在上连续 xFxf ba ii 在内可导 xFxf ba iii 在内恒不为 0 x F ba iv bFaF 则在内至少存在一点 使得 ba aFbF afbf F f 证明 令 显然 在上连续 且在 xfxF aFbF afbf x x ba x 内可导 更进一步还有 事实上 ba ba afaF aFbf afbf bfbF aFbF afbf ab 0 afbfaFbF aFbF afbf 所以满足罗尔定理的条件 故在内至少存在一点 使得 x ba 0 又 xfxF aFbF afbf x 0 fF aFbF afbf 因为 0 F aFbF afbf F f 注 1 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 事实上 令 就得到拉xxF 格朗日中值定理 2 几何意义 若用 表示曲线 则其几何意义同前 xFY xfX bxa c 一个 例 1 若函数在内具有二阶导数 且 其中 xf ba 321 xfxfxf 证明在内至少有一点 使得 bxxxa 321 21 xx 0 f 例 2 若 证明 0 xxx x x 1ln 1 证明 对 取 0 0 x 1 1 0 xba xxfln 不难验证 满足拉格朗日中值定理的条件 故在内至少存在一 xf 1 1 0 x 点 使满足 即 1 f 11 1 1ln 1ln 00 xx 1 1ln 0 0 x x 11 0 x 1 1 1 1 0 x 0 0 0 0 1 x x x x 由的任意性 知本题成立 00 0 0 1ln 1 xx x x 0 x 注 条件 可改为 结论仍成立 0 x1 x 例 3 证明 baba sinsin 例 4 证明 若在上可导 且存在 则 xf a lim limxfkxf xx 0 lim xf x 例 5 证明 2 arccosarcsin xx11 x 证 令 xxxfarccosarcsin 0 1 1 1 1 22 xx xf 由推论知 f x 常数 再由 故 2 0 f 2 arccosarcsin xx 例 6 若方程有一个正根 0 1 1 10 xaxaxa n nn 0 xx 证明方程必有一个小于的正根 0 1 1 2 1 1 0 n nn axnanxa 0 x 证明 令