17.5实践与探索

反比例函数知识点及练习题 反比例函数问题大致有求函数的表达式 研究函数的图像与性 质 解相关综合题等 本章内容虽说不多 但对知识的理解要求较 高 其中还蕴含着丰富的数学思想和方法 请同学们务必认真体会 下面对整章内容作一梳理 希望对同学们有所帮助 一 知识梳理 1 理解反比例函数的概念应注意两点 1 自变量 x 的次数 是 1 2 比例系数 k 0 2 反比例函数自变量 x 的取值范围是 x 0 因此在画函数图 像时 不要把两个分支连结起来 两个分支都无限接近但永远不 能到达 x 轴和 y 轴 这是由自变量的取值范围所决定的 3 反比例函数的性质可借助下述方法来帮助理解 具有下列条 件之一 可推出其他两点 1 k 0 2 图像的两个分支分别在第一 三象限 3 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 对于 k 0 可作同样的分解帮 助理解 注 1 反比例函数的增 减一定要强调 在每个象限内 这 一前提 因为 k 0 时函数图像的两个分支分别在第一 三象限 若 点 A X1 Y1 在第一象限的图像上 点 B X2 Y2 在第三象限的图像上 虽然 X2 X1 但显然 Y2 Y1 即随着 x 的增大 y 并没有随之变小 2 该性质记忆时应 数形结合 切忌死记硬背 4 双曲线既是中心对称图形 又是轴对称图形 5 一个重要结论 设 A X1 Y1 是反比例函数 y k x k 0 图像上的任意一点 过 点 A 分别作 x 轴 y 轴的垂线 AM AN 则所得矩形 AMON 的面积等于 X1 Y1 X1Y1 K 同理过点 A 向某一坐标轴作垂线 垂足与 A O 构成的三角形的面积等于 1 2 K 二 范例分析 例 1 若点 1 Y1 2 Y2 3 Y3 在函数 y 1 X 的图像上 则下列结论中正确的是 Y1 Y2 Y3 Y1 Y3 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y2 Y1 析解 本题既可将各点的横坐标代入表达式 求出 Y1 Y2 Y3 的值再进行比较 也可以采用数形结合的方法 画出草图 直观进 行比较 草图如图 2 易知选 例 2 已知函数 y k x 的图像经过点 2 3 下列说法正确的是 y 随 x 的增大而减小 函数图像只在第一象限 当 x 0 时必有 y 0 点 2 3 不在此函数图像上 析解 缺少前提 在每个象限内 又因为函数 y k x 的图 像经过点 2 3 所以 k 6 图像在第一 三象限 当 x 2 时 y 3 所以点 2 3 在此函数图像上 所以 错 因为 k 6 0 所以当 x 0 时的图像在第三象限 所以 y 0 故选 例 3 如图 3 B 点是 x 轴正半轴上一动点 过 B 点作 x 轴的垂 线交双曲线 y 1 x 于点 A 连结 OA 当点 B 沿 x 轴正方向运动时 AOB 的面积 逐渐增大 逐渐变小 保持不变 无法确定 析解 无论点 B 运动到何位置 点 A 总在双曲线 y 1 x 上 总 有 AB x 轴 由前面知识分析知 S AOB 1 2 k 1 2 故选 例 4 矩形面积为 21cm 当长 ycm 是宽 xcm 的函数时