非线性动力学复习参考

非线性动力学复习参考非线性动力学复习参考 1 1 简述绘制相轨线的原理及其作用 解 单自由度机械系统的自由振动 其动力学方程的一般形式为 1 0 xf x x 引入新的变量 y 表示速度 x 2 则系统的运动状态由位置x及速度y所体现 x和y构成系统的状态变量 方程 1 可写为状态变量的一阶微分方程组 3 xy yf x y 设状态变量的初始条件为 4 方程 3 的满足初始条件 4 的解x t 和y t 完全确定系统的 运动过程 以x和y为直角坐标建立 x y 平面 称为系统的相平面 与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点 系统 的运动过程可以用相点在相平面上的移动过程来描述 相点移动的 轨迹称为相轨迹 不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族 现在我们来推导 如何利用该微分方程组得到相轨迹族 绘制相轨迹线的作用 绘制相轨迹线的作用 相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运 动全貌 当系统是强非线性振动的时候 近似解析法 如小参数摄 动法 多尺度法 不再适用 此时可以采用相轨迹法来研究 相轨迹的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期运动 分析 奇点和极限环的类型可以判断平衡状态和周期运动的稳定性 以及受扰动后可能具有的振动特性 6 简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及其与线性系 统的区别 解 1 非线性保守系统的动力学方程的一般形式为 化为状态方程为 0 xf x 对应的相轨迹微分方程为 2 相轨迹线在平面上 只有当总能量大于势能时 速度才有 实数解 而且 y 关于 X 轴对称 3 相轨迹微分方程决定了相平面上的一个方向场 f x 0 处有水平切线 y 0 时 有竖直切线 当 f x y 同时为零时 相轨线的斜率不定 称这一点为奇点 奇点的速度 加速度都为零 代表了平衡点 其它各点的斜 率都是确定的 称为正常点 所以保守系统的相轨线在正常 点是互不相交的 4 势能函数在局部是单调函数 有孤立的极大值 鞍点 有孤 立的极小值 中心 5 保守系统自由振动的周期 一般情况下随初始条件的不同而 变化 6 保守系统的势能在平衡状态处有非孤立极小值 则平衡状态 不稳定 xy yf x 7 恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例 8 非线性单自由度保守系统自由振动的机械能守恒 非线性系统与线性系统的区别 1 非线性保守系统振动周期随初始条件的不同而变化 而线 性保守系统的振动周期与初始条件无关 2 线性系统 质量不变 弹性力和阻尼力与运动参数成线性 关系 其数学描述为线性常系数常微分方程 而非线性系统不满足 此条件 7 简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点 解 在各种近似解析方法中 谐波平衡法是最简单明了的 其 基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展成傅里叶级数 从 物理意义考虑 为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相 平衡 必须令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等 从而得到包 含未知系数的一系列代数方程 以确定待定的傅里叶级数的系数 非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点 1 2 自由振动的频率随振幅改变 而不同于线性系统的固有频率 3 周期解中除基频为 w 的谐波以外 还有频率为 3w 5w 的高 次谐波存在 是非线性系统区别于线性系统的本质特点 4 振幅突然变化的现象 突跳现象 也是非线性系统特有的 现象之一 5 在非线性系统中 当干扰力频率在派生系统固有频率附近变 化而受迫振动振幅很大时 发生主共振 一定条件下还会发 生超谐共振 亚谐共振 组合共振等非主共振现象 8 简述自激振动产生的主要原因及其特点 解 自激振动靠系统外的来源补充能量 但能源是恒定的 而 不是周期变化的 系统以自己的运动状态作为调节器 以控制能量 的输入 这类系统能自主地从定常的能源汲取能量 调节器的作用 使输入的能量具有交变性 当输入的能量与耗散的能量达到平衡时 系统即可维持等幅振动 自振系统由三部分构成 即 1 恒定的 能源 2 耗散的振动系统 3 受系统运动状态反馈的调节器 自振系统框图自振系统框图 自激振动有以下特征 自激振动有以下特征 1 振动过程中 存在能量的输入与耗散 因此自振系统为非保守 系统 2 能源恒定 能量的输入仅受运动状态 即振动系统的位移和速 度的调节 因此自振系统不显含时间变量 为自治系统 3 振动的特征量 如频率和振幅 由系统的物理参数确定 与初 始条件无关 4 自治的线性系统只能产生衰减自由振动 无耗散时也只能产生 振幅由初始条件确定的等幅自由振动 因此自振系统必为非线性系 统 5 自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系 若振 幅偏离稳态值时 能量的增减能促使振幅回至稳态值 则自激振动 稳定 如图 a 反之 自激振动不稳定 如图 b 自振系统能量 振幅关系曲线 10 简述非线性系统的分叉和混沌现象 解 分岔现象是指振动系统的定性行为随着系统参数的改变而 发生质的变化 它起源于力学失稳现象的研究 在一些应用问题中 有时只需要研究平衡点和闭轨迹附近相轨 迹的变化 即在平衡点或闭轨迹的某个邻域中的分岔 这类分岔问 题称为局部分岔 如果需要考虑相空间中大范围的分岔性态 则称 为全局分岔 显然 系统的 局部 和 全局 性质是密切相关的 局部分岔本身也是全局分岔研究的重要内容 如果只研究平衡点个数和稳定性随参数的变化 则称为静态分 岔 动态分岔是指静态分岔之外的分岔现象 分岔现象的研究主要可以概括为四个方面 1 确定分岔集 即建立分岔的必要条件和充分条件 2 分析分岔的定性性态 即 出现分岔时系统拓扑结构随参数变化情况 3 计算分岔解 尤其是 平衡点和极限环 4 考察不同分岔的相互作用 以及分岔与混沌等 其它动力学现象的关系 分岔理论的重要方面是系统的降维 即将原来需要研究的高维 系统转化为较低维数的系统而保持分岔特性不变 李雅普诺夫施密 特约化 简称 LS 约化 是将高维非线性系统平衡点分岔问题等效地 简化为低维系统问题的一种方法 中心流形方法是非线性系统理论的重要内容 中心流形是线性 系统的中心子空间概念在非线性系统中的推广 在高维非线性系统 非双曲平衡点的邻域内 存在一类维数较低的局部不变流形 当系 统的相轨迹在此流形上时可能存在分岔 而在该流形之外 动力学 行为非常简单 例如以指数方式被吸引到该流形 分岔理论的另一重要问题是降维以后所得到系统的简化 在保 持分岔特性的前提下尽可能转化为较为简单和规范的形式 在分岔 理论中系统的简化主要有两种方法即庞加莱 伯克霍夫范式和奇异 性理论 在分岔研究中 一般只考虑参数在分岔值附近时系统定性性态 的变化 然而 在分岔参数的整个变化范围内 系统可能在不同的 分岔值处相继地出现分岔 这种相继地分岔对于研究系统随参数演 变的全局过程起重要作用 分岔理论的研究不仅揭示了系统的各种运动状态之间的相互联 系和转化 而且与混沌密切相关 成为非线性动力学的重要组成部 分 线性系统与非线性系统存在许多本质差别 非线性振动系统中 的混沌称为混沌振动 也简称为混沌 混沌振动是非线性系统特有的一种振动形式 是产生于确定性 系统的敏感依赖于初始条件的往复性非周期运动 类似于随机振动 而具有长期不可预测性 混沌振动的往复非周期特性可以利用相平面图的几何方法表示出来 周期运动每隔一个周期就要重复以前的运动 即存在常数 T 满足 故周期运动的相轨迹曲线 是闭曲线 混沌不具有周期性 因而混沌振动的相轨迹曲线是不封 闭的曲线 而运动的往复性则反映在相轨迹曲线局限于一有界区域 内 不会发散到无穷远 随着对混沌研究的深入 可以从不同的角度对混沌概念进行拓广 前述混沌概念是针对非线性系统的稳态运动而言 但一些非线 性系统可能具有很长的过渡性动力学行为 最后呈现周期性的稳态 运动 这种相当长的过渡过程若为具有初态敏感性的往复非周期运 动 可称为暂态混沌 在系统达到稳态运动之前 暂态混沌与真正的混沌极难区分 弹性体和流体等分布参数力学系统的自由度数为无穷多 因而称为 无穷维系统 无穷维系统的运动不仅与初值条件有关