第三章33向量组的秩ppt课件.ppt

线性代数 答疑时间 星期二晚上18 00 20 30星期四晚上18 00 20 30答疑地点 J4 102Email 第三章向量组的线性相关性 3 1向量的概念和运算 3 2向量组的线性相关性 3 3向量组的秩 3 4向量空间 3 3向量组的秩 3 3 1向量组的秩与极大线性无关组 3 3 2向量组的等价 3 3 1向量组的秩与极大线性无关组 定义3 3 1如果向量组 1 2 m的 线性表出 的一个极大线性无关组 一个非零向量组必有极大线性无关组一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是向量组本身 例3 3 1求向量组 1 1 1 0 2 0 1 2 3 2 3 2 的极大线性无关组 解由于 1 2线性无关 3 2 1 2 所以 1 2是该向量组的的一个极大线性无关组 显然 1 3与 2 3也是这个向量组的极大线性无关组 一个线性相关的非零向量组 一定存在极大线性无关组线性相关的非零向量组的极大线性无关组不是唯一的 定理3 3 1如果向量组 1 2 m中的每一个向量均可由向量组 1 2 r线性表出 并且m r 那么向量组线性相关 证设 由条件 以这两个向量组的向量为行向量 m r n矩阵C 然后对矩阵C作做初等行变换 得到 于是R C R C1 设A 1 2 m T 则R A R C R C1 r m 由定理3 2 3 向量组 1 2 m线性相关 证毕 推论如果向量组 1 2 m中的每一个向量均可由向量组 1 2 r线性表出 并且 1 2 m线性无关 那么m r 定理3 3 2一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等 证设向量组 1 2 m的两个极大线性无关组分别为 要证s r 由于 线性无关 由定理3 3 2 的推论 r s 同理可证 s r 于是 s r 定义 3 3 2向量组 1 2 m的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩 记为R 1 2 m 全由零向量组成的向量组的秩规定为零 线性无关的向量组的秩等于向量组中所含向量的个数 若向量组的秩小于向量组中所含向量的个数 则向量组必然线性相关 例3 3 2设向量组 1 2 m的秩为r 试证 1 2 m中任意r个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组 证设 任意r个线性无关的向量 只需证明 1 2 m中任意一向量 可由 线性表出即可 事实上 若存在该向量组中某一个向量 1 i0 m 使 线性无关 那么R 1 2 m r 1此 为向量组 1 2 m的一 个极大线性无关组 与题设矛盾 因此 对于任 i 1 i m 对于向量组 1 2 m 求它的极大线性无关组的 扩充 法 首先取向量 1 如果 1 0 可保留 1 其次取向量 2 如果 1与 2线性无关 删去 2 否则保留 2 接着再取向量 3 若 1 2 3线性相关 删去 3若它们线性无关 则保留下来 接下去取向量 4 如此这般一直进行下去 直到把向量组中所有向量考察一遍 即可得到该向量组的一个极大线性无关组 例3 3 3设向量组 1 0 0 1 1 2 1 1 1 0 3 2 2 1 1 4 1 1 0 0 求它的一个极大线性无关组及该向量组的秩 删去 3 最后考察 4 显然 1 2 4线性无关 保留 4 于是 1 2 4就是该向量组的一个极大线性无关组 且向量组的秩等于3 解由于 1 0 保留 1 又 2 k 1 即 1与 2线性无关 保留 2 因 3 2 2 1 故 1 2 3线性相关 3 3 2向量组的等价 定义3 3 3设向量组 若向量组 中的每一个向量可由向量组 线性表出 同时向量组 中的每一个向量可由向量组 线性表出 亦即它们可以互相线性表出 则称向量组 与向量组 等价 等价向量组具有如下性质 1 自反性任何一个向量组都与它自身等价 2 对称性若向量组 与向量组 等价 则向量组 也与向量组 等价 3 传递性若向量组 与向量组 等价 向量组 也与向量组 等价 则向量组 也与向量组 等价 由向量组等价的定义 定理3 3 1和定理3 3 2 容易得到等价向量组的下列性质 性质1向量组都与它的任一极大线性无关组等价 性质3任何两个等价的向量组的秩相等 性质2任何两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同 定理3 3 3若向量组 可由向量组 线性表出 且向量组 的秩为p 向量组 的秩为q 则p q 证设向量组 和 的极大线性无关组分别为 因为向量组 可由 线性表出 向量组 可由 线性表出 而已知向量组 可由 线性表出 故向量组 可由 线性表出 由定理3 3 1的推论 p q 证毕 例3 3 4证明n维向量组 1 2 n线性无关的充要条件是n维基本单位向量组 1 2 n 可由 1 2 n线性表出 证必要性设 1 2 n线性无关 对任一 i 1 i n 1 2 n i为n 1个n维向量组成的向量组 必然线性相关 而 1 2 n线性无关 由定理3 2 2 i可由 1 2 n线性表出 由 i的任意性 1 2 n可由 1 2 n线性表出 充分性已知向量组 1 2 n可由 1 2 n线性表出 由定理3 3 3 R 1 2 n R 1 2 n 而R 1 2 n n R 1 2 n n 于是R 1 2 n n 故 1 2 n线性无关 关于向量组的秩和矩阵的秩的关系 我们有如下定理 定理3 3 4矩阵A的秩等于它的行向量组的秩 也等于它的列向量组的秩 证先证明矩阵A的秩等于其行向量组的秩 设 且 若r m 则 1 2 n线性无关 由定理3 2 3的推论1 R A m 若r m 则向量组 1 2 n的任一极大线性无关组中只含有r个向量 不妨设为 1 2 r 那么矩阵A的前r行中必有一个r阶子式不等于零 由于向量组 1 2 n中任意r 1个向量线性相关 则矩阵A中所有的r 1阶子式都等于零 因此R A r 注意到 R A R AT 矩阵AT的行秩 A的列秩 即知矩阵A的秩等于它的列向量组的秩 证毕 例3 3 5求向量组 的秩及它的一个极大线性无关组 解以向量 1 2 3 4为列组成矩阵A对其进行初等行变换 则 所以R 1 2 3 4 R A R B 3 由B容易看出 1 2 4为向量组的一个极大线性无关组 例3 3 6设A是m k矩阵 B是k s矩阵 则 证设A的列向量组为A1 A2