小学数学解题方法解题技巧之集合法

第一章 小学数学解题方法解题技巧之集合法 我们在研究一些问题时 可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合 例 如 所有自然数就可以看作是一个集合 在小学一般用画图的方式表示集合 这种 图叫作韦恩图 韦恩是英国数学家 运用集合的思想 利用韦恩图进行解题的方 法叫做集合法 例例 1 1 五年级一班有 48 人 在午后自习时 做完语文作业的有 37 人 做完数学 作业的有 42 人 语文 数学作业都做完的有多少人 适于三年级程度 解 由题意可知 做完语文作业的 37 人中有一部分只做完语文作业 另一部分 既做完语文作业又做完数学作业 做完数学作业的 42 人中也是有一部分只做完数学 作业 另一部分既做完数学作业又做完语文作业 所以 如果我们用 A 圆圈表示做完语文作业的人数 用 B 圆圈表示做完数学作 业的人数 则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文 数学作业都做完的人数 如图 20 1 从图中可以看出 语文 数学作业都做完的人数等于 A 圆圈的人数加上 B 圆圈 的人数减去全班的总人数 37 42 48 31 人 答 语文 数学作业都做完的有 31 人 例例 2 2 有 110 名学生参加书法和绘画比赛 参加书法比赛的有 72 人 既参加书 法比赛又参加绘画比赛的有 24 人 参加绘画比赛的有多少人 适于三年级程度 解 可通过画如图 20 2 的韦恩图来分析题意 A 圆圈表示参加书法比赛的人数 B 圆圈表示参加绘画比赛的人数 两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又 参加绘画比赛的人数 由图可知 参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书 法比赛的人数 而只参加书法比赛的人数等于 A 圆圈的人数减去相交阴影部分的人 数 只参加书法比赛的人数 72 24 48 人 参加绘画比赛的人数 110 48 62 人 答略 适于六年级程度 解 参加径赛的有 根据题意作图 20 3 从图中可以看出 只参加田赛的人数是 276 230 46 人 两种活动都参加的人数是 184 46 138 人 答略 例例 4 4 某班 45 名学生期末考试的成绩如下 语文 90 分以上的有 14 人 数学 90 分以上的有 25 人 语文和数学都不足 90 分的有 17 人 求语文 数学都在 90 分以 上的有多少人 适于五年级程度 解 作图 20 4 由图可看出 语文 数学一门或两门在 90 分以上的人数是 45 17 28 人 只语文在 90 分以上的人数是 28 25 3 人 只数学在 90 分以上的人数是 28 14 14 人 语文 数学都在 90 分以上的人数是 28 14 3 11 人 答略 例例 5 5 学校气象小组有 50 名成员 其中负责观测的有 19 人 负责记录 的有 15 人 既负责观测又负责记录的有 7 人 问 1 只负责记录 不负责观测 的有多少人 2 只负责观测 不负责记录的有多少人 3 气象小组有多少人 负责其他工作 适于高年级程度 解 作图 20 5 用 A 圆圈表示负责观测的人数 用 B 圆圈表示负责记录的人数 则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数 由图 20 5 可知 只负责记录 不负责观测的人数 等于负责记录的人数减去既 负责观测又负责记录的人数 只负责观测 不负责记录的人数 等于负责观测的人 数减去既负责观测又负责记录的人数 气象小组负责其他工作的人数 等于总人数 减去负责观测和负责记录的人数 再加上既负责观测又负责记录的人数 1 只负责记录 不负责观测的人数 15 7 8 人 2 只负责观测 不负责记录的人数为 19 7 12 人 3 负责其他工作的人数为 50 19 15 7 23 人 答略 例例 6 6 某班有 45 名学生 据统计 喜爱足球 篮球 排球这三项运动的各有 26 人 喜爱其中两项运动的分别有 13 14 15 人 三项运动都喜爱的有多少人 适 于高年级程度 解 用 A 圆圈表示喜爱足球的人数 B 圆圈表示喜爱篮球的人数 C 圆圈表示喜 爱排球的人数 则 A B 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数 B C 两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数 A C 两圆圈相交的部分 表示既喜爱足球又喜爱排球的人数 A B C 三个圆圈相交的部分表示三项运动都 喜爱的人数 图 20 6 由图 20 6 可知 三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球 篮 球 排球的人数 再加上既喜爱足球又爱篮球 既喜爱篮球又喜爱排球 既喜爱足 球又喜爱排球的人数 45 26 3 13 14 15 45 78 42 45 42 78 87 78 9 人 答 三项运动都喜爱的有 9 人 例例 7 7 55 名学生中 有 18 人参加合唱队 25 人参加美术组 17 人参加运动队 参加合唱队与美术组的共有 36 人 没有人既参加合唱队又参加运动队 什么组都没 有参加的有 5 人 请回答 1 既参加合唱队又参加美术组的有多少人 2 只参加合唱队的有多少人 3 只参加美术组的有多少人 4 只参加运动队的有多少人 5 既参加运动队又参加美术组的有多少人 适于高年级程度 解 作图 20 7 因为参加合唱队与美术组的共有 36 人 所以 1 既参加合唱队又参加美术 组的人数是 18 25 36 7 人 2 只参加合唱队的人数是 18 7 11 人 现在还不能求出只参加美术组的人数 先求出去掉既参加美术组又参加合唱队 的 7 人 美术组剩下的人数是 25 7 18 人 因为在 55 名学生中 参加美术组 运动队的总人数是 25 17 42 人 只参 加合唱队的有 11 人 什么组都