2.1.2向量的几何表示

2 1 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 内容要求 1 能结合物理中的力 位移 速度等具体背景认识向量 掌握向量与数量 的区别 重点 难点 2 会用有向线段作向量的几何表示 了解有向线段与向量的联系与区 别 会用字母表示向量 重点 3 理解零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 及向量的模等概念 会辨识图形中这些相关的概念 易错点 知识点 1 向量的定义及表示 1 定义 既有大小 又有方向的量 2 表示 1 有向线段 带有方向的线段 它包含三个要素 起点 方向 长度 2 向量的表示 预习评价 正确的打 错误的打 1 向量就是有向线段 2 如果 那么 AB CD AB CD 3 力 速度 和质量都是向量 提示 1 向量可以用有向线段来表示 但并不能说向量就是有向线段 2 向量的模可以比较大小 但向量不能比较大小 3 质量不是向量 知识点 2 向量的有关概念 向量名称定义 零向量长度为 0 的向量 记作 0 单位向量长度等于 1 个单位 的向量 平行向量 共线向量 方向相同或相反 的非零向量 向量 a b 平行 记作 a b 规定 零向量与任一向量平行 相等向量长度相等 且方向相同 的向量 向量 a b 相等 记作 a b 预习评价 正确的打 错误的打 1 若 a b 都是单位向量 则 a b 2 若 a b 且 a 与 b 的起点相同 则终点也相同 3 零向量的大小为 0 没有方向 提示 1 a 与 b 都是单位向量 则 a b 1 但 a 与 b 方向可能不同 2 若 a b 则 a 与 b 的大小和方向都相同 那么起点相同时 终点必相同 3 任何向量都有方向 零向量的方向是任意的 题型一 向量的有关概念 零向量 单位向量 例 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 1 向量与是共线向量 则 A B C D 四点必在一直线上 AB CD 2 单位向量都相等 3 任一向量与它的相反向量不相等 4 四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB DC 5 一个向量方向不确定当且仅当模为 0 6 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 解 1 不正确 共线向量即平行向量 只要求方向相同或相反即可 并不要求两个 向量 在同一直线上 AB CD 2 不正确 单位向量模均相等且为 1 但方向并不确定 3 不正确 零向量的相反向量仍是零向量 但零向量与零向量是相等的 4 5 正确 6 不正确 如图与共线 虽起点不同 但其终点却相同 AC BC 规律方法 概念性问题的判断方法 对于向量的相关概念问题 关键是把握好概念的内涵与外延 对于一些似是而非的概 念一定要分辨清楚 如有向线段与向量 有向线段是向量的表示形式 并不等同于向量 还有如单位向量 单位向量只是从模的角度定义的 与方向无关 零向量的模为零 方向 则是任意的 训练 1 判断下列命题是否正确 并说明理由 1 若 a b 则 a 一定不与 b 共线 2 若 则 A B C D 四点是平行四边形的四个顶点 AB DC 3 在平行四边形 ABCD 中 一定有 AB DC 4 若向量 a 与任一向量 b 平行 则 a 0 5 若 a b b c 则 a c 6 若 a b b c 则 a c 解 1 两个向量不相等 可能是长度不同 方向可以相同或相反 所以 a 与 b 有共线 的可能 故 1 不正确 2 A B C D 四点可能在同一条直线上 故 2 AB DC 不正确 3 在平行四边形 ABCD 中 与平行且方向相同 故 AB DC AB DC 3 正确 4 零向量的方向是任意的 与任一向量平行 4 正确 5 AB DC a b 则 a b 且 a 与 b 方向相同 b c 则 b c 且 b 与 c 方向相同 则 a 与 c 方向相同 且模相等 故 a c 5 正确 若 b 0 由于 a 的方向与 c 的方向都是任意的 a c 可 能不成立 b 0 时 a c 成立 故 6 不正确 题型二 相等向量与共线向量 例 2 如图所示 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 且 a b c OA OB OC 1 与 a 的长度相等 方向相反的向量有哪些 2 与 a 共线的向量有哪些 3 请一一列出与 a b c 相等的向量 解 1 与 a 的长度相等 方向相反的向量有 OD BC AO FE 2 与 a 共线的向量有 EF BC OD FE CB DO AO DA AD 3 与 a 相等的向量有 与 b 相等的向量有 与 c 相等的向量有 EF DO CB DC EO FA FO ED AB 规律方法 相等向量与共线向量的探求方法 1 寻找相等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量 再确定哪些是同 向共线 2 寻找共线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段 再构造同向与 反向的向量 注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点 起点为终点的向 量 训练 2 如图 已知四边形 ABCD 为 ABCD 则 1 与的模相等的向量有多少个 OA 2 与的模相等 方向相反的向量有哪些 OA 3 写出与共线的向量 AB 解 1 与的模相等的向量有 三个向量 OA AO OC CO 2 与的模相等且方向相反的向量为 OA OC AO 3 与共线的向量有 AB DC CD BA 题型三 向量的表示及应用 例 3 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了 30 n mile 这时接到求救信号 在巡逻 艇的正东方向 40 n mile 处有一艘渔船抛锚需救助 试求 1 巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程 2 巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移 解 如图 由于路程不是向量 与方向无关 所以总的路程为巡逻艇两次路程的和 即为 AB BC 70 n mile 2 巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量 不仅有大小而且有方向 因而 大小为 50 n mile 由于 sin BAC 故方向为北偏东 53 AC AB 2 BC 2 4 5 规律方法 平面向量在实际生活中的应用 生活中很多问题可以归结为向量的问题 如力 速度 位移等 因此运用向量的知识 进行解答可使问题简化 易于求解 解答时 一般先把实际问题用图示表示出来 然后围 绕线段的长度 即向量的模 和方向 求某个角 进行求解 训练 3 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点 然后又改变方向向西 偏北 50 走了 200 km 到达 C 点 最后又改变方向 向东行驶了 100 km 到达 D 点 1 作出向量 AB BC CD 2 求 AD 解 1 向量 如图所示 AB BC CD 2 由题意 易知与方向相反 故与共线 AB CD AB CD 又 AB CD 在四边形 ABCD 中 AB 綊 CD 四边形 ABCD 为平行四边形 200 km AD BC AD BC 课堂达标 1 下列说法错误的是 A 若 a 0 则 a 0B 零向量是没有方向的 C 零向量与任一向量平行D 零向量的方向是任意的 解析 零向量的长度为 0 方向是任意的 它与任何向量都平行 所以 B 是错误的 答案 B 2 下列结论正确的个数是 温度含零上和零下 所以温度是向量 向量的模是一个正实数 向量 a 与 b 不共线 则 a 与 b 都是非零向量 若 a b 则 a b A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错 温度只有大小 没有方向 是标量不是向量 错 0 的模等于 0 正确 错 向量不能比较大小 答案 B 3 如图所示 梯形 ABCD 为等腰梯形 则两腰上的向量与的关系是 AB DC A B AB DC AB DC C D AB DC AB DC 解析 与 表示等腰梯形两腰的长度 故相等 AB DC 答案 B 4 有下列说法 向量和向量长度相等 AB BA 向量 0 0 向量大于向量 AB CD 单位向量都相等 其中 正确的说法是 填序号 解析 序号正误原因 AB AB BA 0 是一个向量 而 0 是一个数量 向量不能比较大小 单位向量的模均为 1 但方向不确定 答案 5 在如图的方格纸上 已知向量 a 每个小正方形的边长为 1 1 试以 B 为起点画一个向量 b 使 b a 2 在图中画一个以 A 为起点的向量 c 使 c 并说出向量 c 的终点的轨迹是什么 5 解 1 根据相等向量的定义 所作向量与向量 a 平行 且长度相等方向相同 作图略 2 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心 为半径的圆 5 作图略 课堂小结 1 向量是既有大小又有方向的量 从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征 因 此借助于向量 我们可以将某些代数问题转化为几何问题 又将几何问题转化为代数问题 故向量能起数形结合的桥梁作用 2 共线向量与平行向量是一组等价的概念 两个共线向量不一定要在一条直线上 当 然 同一直线上的向量也是平行向量 3 注意两个特殊向量 零向量和单位向量 零向量与任何向量都平行 单位向量有 无穷多个 起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆 基础过关 1 下列物理量 质量 速度 位移 力 加速度 路程 其中是向量的 有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 解析 是向量 答案 C 2 下列说法正确的个数为 共线的两个单位向量相等 相等向量的起点相同 若 则一定有直线 AB CD AB CD 若向量 共线 则点 A B C D 必在同一直线上 AB CD A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错 共线的两个单位向量的方向可能方向相反 错 相等向量的起点和终 点都可能不相同 错 直线 AB 与 CD 可能重合 错 AB 与 CD 可能平行 则 A B C D 四点不共线 故选 A 答案 A 3 如图 在四边形 ABCD 中 若 则图中相等的向量是 AB DC A 与 B 与 AD CB OB OD C 与 D 与 AC BD AO OC 解析 四边形 ABCD 是平行四边形 则 AO OC 即 AB DC AO OC 答案 D 4 如图所示 已知正方形 ABCD 的边长为 2 O 为其中心 则 OA 解析 易知 CA 2 OA 1 2 1 222 答案 2 5 给出以下 5 个条件 a b a b a 与 b 的方向相反 a 0 或 b 0 a 与 b 都是单位向 量 其中能使 a b 成立的是 填序号 解析 相等向量一定是共线向量 能使 a b 方向相同或相反的向量一定是共线向 量 能使 a b 零向量与任一向量平行 成立 答案 6 在如图的方格纸 每个小方格的边长为 1 上 已知向量 a 1 试以 B 为起点画一个向量 b 使 b a 2 画一个以 C 为起点的向量 c 使 c 2 并说出 c 的终点的轨迹是什么 解 1 根据相等向量的定义 所作向量 b 应与 a 同向 且长度相等 如图所示 2 由平面几何知识可作满足条件的向量 c 所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以点 C 为圆心 2 为半径的圆 如图所示 7 如图所示 ABC 的三边均不相等 E F D 分别是 AC AB BC 的中点 1 写出与共线的向量 EF 2 写出与的模大小相等的向量 EF 3 写出与相等的向量 EF 解 1 因为 E F 分别是 AC AB 的中点 所以 EF 綊 BC 又因为 D 是 BC 的中点 1 2 所以与共线的向量有 EF FE BD DB DC CD BC CB 2 与模相等的向量有 EF FE BD DB DC CD 3 与相等的向量有 EF 与 DB CD 能力提升 8 若 a 为任一非零向量 b 为模为 1 的向量 下列各式 a b a b a 0 b 1 其中正确的是 A B C D 解析 a 为任一非零向量 故 a 0 答案 B 9 如图 在菱形 ABCD 中 BAD 120 则以下说法错误的是 A 与相等的向量只有一个 不含 AB AB B 与的模相等的向量有 9 个 不含 AB AB C 的模恰为的模的倍 BD DA 3 D 与不共线 CB DA 解析 由于 因此与相等的向量只有 而与的模相等的向量有 AB DC AB DC AB DA 因此选项 A B 正确 而 Rt AOD 中 ADO 30 DC AC CB AD CD CA BC BA 故 因此选项 C 正确 由于 因此与是共线的 DO 3 2 DA DB 3DA CB DA CB DA 故错误的选项是 D 答案 D 10 在四边形 ABCD 中 且 则四边形 ABCD 的形状是 AB CD AB CD 解析 且 AB CD AB CD AB DC 但 AB DC 四边形 ABCD 是梯形 答案 梯形 11 已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中 ABC 60 则 BD 解析 易知 AC BD 且 ABD 30 设 AC 与 BD 交于点 O 则 AO AB 1 在 1 2 Rt ABO 中 易得 2 2 BO 3 BD BO 3 答案 2 3 12 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务 先从 A 地向北偏东 30 方向行驶 2 千米到 D 地 然后从 D 地沿北偏东 60 方向行驶 6 千米到达 C 地 从 C 地又向南偏西 30 方向行驶 2 千米才到达 B 地 1 画出 AD DC CB AB 2 求 B 地相对于 A 地的位置向量 解 1 向量 如图所示 AD DC CB AB 2 由