2019-2020学年九年级数学下册 第1章 解直角三角形 1.1 锐角三角函数教案 （新版）浙教版

第第 1 1 章章 解直角三角形解直角三角形 1 11 1 锐角三角函数 锐角三角函数 1 1 教学目标教学目标 1 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系 2 掌握三角函数定义式 sina cosa 斜边 的对边a 斜边 的邻边a 重点和难点重点和难点 重点 三角函数定义的理解 难点 直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值 教学过程教学过程 一 情境导入 如图是两个自动扶梯 甲 乙两人分别从 1 2 号自动扶梯上楼 谁先到达楼顶 如果 ab 和 a b 相等而 和 大小不同 那么它们的高度 ac 和 a c 相等吗 ab ac bc 与 a b a c b c 与 之间有什么关系呢 c b a c b a 2 1 3米 3米 2米 4米 a 二 新课教学 1 合作探究 1 作 rt abc 2 三角函数的定义 在 rt abc 中 如果锐角 a 确定 那么 a 的对边与斜边的比 邻边 与斜边的比也随之确定 a 的对边与邻边的比叫做 a 的正弦正弦 sine 记作 sina 即 sina 斜边 的对边a tana a的对边 a的邻边 a 的邻边与斜边的比叫做 a 的余弦余弦 cosine 记作 cosa 即 cosa 斜边 的邻边a a 的对边与 a 的邻边的比叫做 a 的正切正切 tangent 记作 tana 即 tana a的对边 a的邻边 锐角 a 的正弦 余弦和正切统称 a 的三角函数三角函数 注意注意 sina cosa tana 都是一个完整的符号 单独的 sin 没有意义 其中 a 前面的 一般省略不写 师 根据上面的三角函数定义 你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗 师 点拨 直角三角形中 斜边大于直角边 生 独立思考 尝试回答 交流结果 明确 0 sina 1 0 cosa 1 巩固练习 课本第 6 页课内练习第 1 题 作业题第 1 2 题 3 例题教学 课本第 5 页中例 1 例 1如图 在 rt abc 中 c 90 ab 5 bc 3 求 a b 的正弦 余弦和正切 分析 由勾股定理求出 ac 的长度 再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系 求出各函数值 师 观察以上计算结果 你发现了什么 明确 sina cosb cosa sinb tana tanb 1 4 课堂练习 课本第 6 页课内练习第 2 3 题 作业题第 3 4 5 6 题 三 课堂小结 谈谈今天的收获 1 内容总结 1 在 rt abc 中 设 c 900 为 rt abc 的一个锐角 则 的正弦 的余弦 斜边 的对边 sin 斜边 的邻边 cos 的正切 的邻边 的对边 tan 2 一般地 在 rt abc 中 当 c 90 时 sina cosb cosa sinb tana tanb 1 2 方法归纳 在涉及直角三角形边角关系时 常借助三角函数定义来解 c c b b a a 1 11 1 锐角三角函数 锐角三角函数 2 2 教学目标教学目标 一 教学知识点 1 经历探索 30 45 60 角的三角函数值的过程 能够进行有关的推理 进一步 体会三角函数的意义 2 能够进行 30 45 60 角的三角函数值的计算 3 能够根据 30 45 60 的三角函数值说明相应的锐角的大小 二 思维训练要求 1 经历探索 30 45 60 角的三角函数值的过程 发展学生观察 分析 发现的 能力 2 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力 三 情感与价值观要求 1 积极参与数学活动 对数学产生好奇心 培养学生独立思考问题的习惯 2 在数学活动中获得成功的体验 锻炼克服困难的意志 建立自信心 教学重点教学重点 1 探索 30 45 60 角的三角函数值 2 能够进行含 30 45 60 角的三角函数值的计算 3 比较锐角三角函数值的大小 教学难点教学难点 进一步体会三角函数的意义 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 问题 为了测量一棵大树的高度 准备了如下测量工具 含 30 和 60 两个锐角的 三角尺 皮尺 请你设计一个测量方案 能测出一棵大树的高度 用多媒体演示上面的问题 并让学生交流各自的想法 生 我们组设计的方案如下 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 b 处 使这位同学拿起三角尺 她的视线 恰好和斜边重合且过树梢 c 点 30 的邻边和水平方向平行 用卷尺测出 ab 的长度 be 的长度 因为 de ab 所以只需在 rt acd 中求出 cd 的长度即可 师 在 rt acd 中 cad 30 ad be be 是已知的 设 be a 米 则 ad a 米 如何求 cd 呢 生 含 30 角的直角三角形有一个非常重要的性质 30 的角所对的边等于斜边的一 半 即 ac 2cd 根据勾股定理 2cd 2 cd2 a2 解得 cd a 则树的高度即可求出 3 3 师 我们前面学习了三角函数的定义 如果一个角的大小确定 那么它的正切 正弦 余弦值也随之确定 如果能求出 30 的正切值 在上图中 tan30 则 cd a cd ad cd atan30 岂不简单 你能求出 30 角的三个三角函数值吗 讲授新课 1 探索 30 45 60 角的三角函数值 师 观察一副三角尺 其中有几个锐角 它们分别等于多少度 生 一副三角尺中有四个锐角 它们分别是 30 60 45 45 师 sin30 等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流 生 sin30 2 1 sin30 表示在直角三角形中 30 角的对边与斜边的比值 与直角三角形的大小无关 我 们不妨设 30 角所对的边为 a 如图所示 根据 直角三角形中 30 角所对的边等于斜边 的一半 的性质 则斜边等于 2a 根据勾股定理 可知 30 角的邻边为 a 所以 sin30 2 1 2 a a 师 cos30 等于多少 tan30 呢 生 cos30 2 3 2 3 a a tan30 3 3 3 1 3 a a 师 我们求出了 30 角的三个三角函数值 还有两个特殊角 45 60 它们的 三角函数值分别是多少 你是如何得到的 生 求 60 的三角函数值可以利用求 30 角三角函数值的三角形 因为 30 角的对边 和邻边分别是 60 角的邻边和对边 利用上图 很容易求得 sin60 2 3 2 3 a a cos60 2 1 2 a a tan60 3 3 a a 生 也可以利用上节课我们得出的结论 一个锐角的正弦等于它余角的余弦 一个锐 角的余弦等于它余角的正弦 可知 sin60 cos 90 60 cos30 cos60 2 3 sin 90 60 sin30 2 1 师生共析 我们一同来求 45 角的三角函数值 含 45 角的直角三角形是等腰直角三 角形 如图 设其中一条直角边为 a 则另一条直角边也为 a 斜边a 由此可求得2 sin45 cos45 tan45 2 2 2 1 2 a a 2 2 2 1 2 a a 1 a a 师 下面请同学们完成下表 用多媒体演示 30 30 45 45 60 60 角的三角函数值角的三角函数值 三角函数 角 sin co tan 30 2 1 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 60 2 3 2 1 3 这个表格中的 30 45 60 角的三角函数值需熟记 另一方面 要能够根据 30 45 60 角的三角函数值 说出相应的锐角的大小 为了帮助大家记忆 我们观察表格中函数值的特点 先看第一列 30 45 60 角 的正弦值 你能发现什么规律呢 生 30 45 60 角的正弦值分母都为 2 分子从小到大分别为 1 随着角度的增大 正弦值在逐渐增大 23 师 再来看第二列函数值 有何特点呢 生 第二列是 30 45 60 角的余弦值 它们的分母也都是 2 而分子从大到小 分别为 余弦值随角度的增大而减小 321 师 第三列呢 生 第三列是 30 45 60 角的正切值 首先 45 角是等腰直角三角形中的一个 锐角 所以 tan45 1 比较特殊 师 很好 掌握了上述规律 记忆就方便多了 下面同桌之间可互相检查一下对 30 45 60 角的三角函数值的记忆情况 相信同学们一定做得很棒 2 例题讲解 多媒体演示 例 1 计算 1 sin30 cos45 2 sin260 cos260 tan45 分析 本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值 今后若无特别说明 用特殊角三角函 数值进行计算时 一般不取近似值 另外 sin260 表示 sin60 2 cos260 表示 cos60 2 解 1 sin30 cos45 2 21 2 2 2 1 2 sin260 cos260 tan 45 2 2 1 2 3 2 1 1 4 3 4 1 0 例 2 一个小孩荡秋千 秋千链子的长度为 2 5 m 当秋千向两边摆动时 摆角恰好为 60 且两边的摆动角度相同 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 结 果精确到 0 01 m 分析 引导学生自己根据题意画出示意图 培养学生把实际问题转化为数学问题的能 力 解 根据题意 如图 可知 bod 60 ob oa od 2 5 m aod 60 30 2 1 oc od cos30 2 5 2 165 m 2 3 ac 2 5 2 165 0 34 m 所以 最高位置与最低位置的高度约为 0 34 m 随堂练习 多媒体演示 1 计算 1 sin60 tan45 2 cos60 tan60 3 sin45 sin60 2cos45 2 2 解 1 原式 1 2 3 2 23 2 原式 2 1 2 321 3 3 原式 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2231 2 某商场有一自动扶梯 其倾斜角为 30 高为 7 m 扶梯的长度是多少 解 扶梯的长度为 14 m 2 1 7 30sin 7 所以扶梯的长度为 14 m 课时小结 本节课总结如下 1 探索 30 45 60 角的三角函数值 sin30 sin45 sin60 2 1 2 2 2 3 cos30 co s45 cos60 2 3 2 2 2 1 tan30 tan45 1 tan60 3 3 3 2 能进行含 30 45 60 角的三角函数值的计算 3 能根据 30 45 60 角的三角函数值 说出相应锐角的大小 课后作业 活动与探究 2003 年甘肃中考 如图为住宅区内的两幢楼 它们的高 ab cd 30 m 两楼问的距离 ac 24 m 现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况 当太阳光与水平线的夹角为 30 时 求甲 楼的影子在乙楼上有多高 精确到 0 1 m 1 41 1 73 23 分析 根据题意 将实际问题转化为数学问题 当光线从楼顶 e 直射到乙楼 d 点 d 点向下便接受不到光线 过点 d 作 db ae 甲楼 在 rt bde 中 bd ac 24 m edb 30 可求出 be 由于甲 乙楼一样高 所以 df be 结果 在 rt bde 中 be db