动能定理和机械能守恒

动能定理和机械能守恒动能定理和机械能守恒 题型一 应用动能定理时的过程选取问题题型一 应用动能定理时的过程选取问题 解决这类问题需要注意 对多过程问题可采用分段法和整段法 处理 解题时可灵活处理 通常用整段法解题往往比较简洁 例例 2 2 如图 4 1 所示 一质量 m 2Kg 的铅球从离地面 H 2m 高处自由下落 陷入沙坑 h 2cm 深处 求沙子对铅球的平均阻力 g 取 10m s2 解析 解析 方法一 分段法列式 设小球自由下落到沙面时的速度为 v 则 mgH mv2 2 0 设铅球在沙坑中受到的阻力为 F 则 mgh Fh 0 mv2 2 代入数据 解得 F 2020N 方法二 整段法列式 全过程重力做功 mg H h 进入沙坑中阻力阻力做功 Fh 从全过程来看动能变化为 0 得 mg H h Fh 0 代入数值 得 F 2020N 变式训练 变式训练 1 1 一个物体从斜面上高 h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距 离后停止 测得停止处对开始运动处的水平距离为 S 如图 4 2 不考虑物体滑至斜面底端 的碰撞作用 并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同 求动摩擦因数 h s h s 题型二题型二 运用动能定理求解变力做功问题运用动能定理求解变力做功问题 解决这类问题需要注意 恒力做功可用功的定义式直接求解 变力做功可借助动能定理 并利用其它的恒力做功进行间接求解 例 例 3 3 如图 4 3 所示 AB 为 1 4 圆弧轨道 BC 为水平轨道 圆弧的半径为 R BC 的长度也是 R 一质量为 m 的物体 与两个轨 道间的动摩擦因数都为 当它由轨道顶端 A 从静止开始下落时 恰好运动到 C 处停止 那么物体在 AB 段克服摩擦力所做的功为 A mgR 2 B mgR 2 C mgR D 1 mgR 解析 解析 设物体在 AB 段克服摩擦力所做的功为 WAB 物体由 A 到 C 全过程 由动能定理 有 mgR WAB mgR 0 所以 WAB mgR mgR 1 mgR 答案为 D 变式训练 变式训练 2 2 质量为m的小球用长为L的轻绳悬于O点 如 右图 4 4 所示 小球在水平力F作用下由最低点P缓慢地移到Q 点 在此过程中F做的功为 B B A FLsin B mgLcos C mgL 1 cos D FLtan 题型三题型三 动能定理与图象的结合问题动能定理与图象的结合问题 解决这类问题需要注意 挖掘图象信息 重点分析图象的坐标 切线斜率 包围面积的物理意义 例 例 4 4 静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块 在水平拉力F作用下 沿x轴方向运动 拉力F随物块 所在位置坐标x的变化关系如图 4 5 所示 图线为半 圆 则小物块运动到 x0处时的动能为 A 0 B C D 0 2 1 xFm 0 4 xFm 2 0 4 x 解析 解析 由于水平面光滑 所以拉力 F 即为合外力 F 随位移 X 的变化图象包围的面积即为 F 做的功 设 x0处 h H 图 4 1 F N x m x0 O F m x F O x0 图 4 2 A C B 图 4 3 图 4 4 图 4 5 的动能为 EK由动能定理得 EK 0 答案 C 0 4 xFm 2 0 8 x 2 2 m F 变式训练变式训练 3 3 在平直公路上 汽车由静止开始作匀加速运 动 当速度达到 vm后立 即关闭发动机直到停止 v t 图像如图 4 6 所示 设汽车的牵引力为 F 摩擦力为 f 全过 程中牵引力做功 W1 克服摩擦力做功 W2 则 BCBC A F f 1 3 B F f 4 1 C W1 W2 1 1 D W1 W2 l 3 题型四题型四 机械能守恒定律的灵活运用机械能守恒定律的灵活运用 解决这类问题需要注意 灵活运用机械能守恒定律的三种表 达方式 1 初态机械能等于末态机械能 2 动能增加量等于势能 减少量 3 一个物体机械能增加量等于另一个物体机械能减少 量 后两种方法不需要选取零势能面 例 例 5 5 如图 4 7 所示 粗细均匀的U形管内装有总长为 4L的水 开始时阀门K闭合 左右支管内水面高度差为L 打 开阀门K后 左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大 管的内部横截面很小 摩擦阻力忽略不计 解析 解析 由于不考虑摩擦阻力 故整个水柱的机械能守恒 从初始状态到左右支管水面 相平为止 相当于有长L 2 的水柱由左管移到右管 系统的重力势能减少 动能增加 该 过程中 整个水柱势能的减少量等效于高L 2 的水柱降低L 2 重力势能的减少 不妨设水 柱总质量为 8m 则 得 2 8 2 1 2 vm L mg 8 gL v 变式训练变式训练 4 4 如图 4 8 所示 游乐列车由许多节车厢组成 列车全长为L 圆形轨道 半径为R R远大于一节车厢的高度h和长度l 但L 2 R 已知列车的车轮是卡在导轨 上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动 在轨道的任何地方都不能脱轨 试问 在没有任 何动力的情况下 列车在水平轨道上应具有多大初速度v0 才能使列车通过圆形轨道而运 动到右边的水平轨道上 L g Rv 2 0 题型五题型五 系统机械能守恒的问题系统机械能守恒的问题 例 例 6 6 如图所示 轻杆长为 3L 在杆的 A B 两端分别固定质量均 为 m 的球 A和球 B 杆上距球 A 为 L 处的点 O 装在光滑的水平转动轴 上 杆和球在竖直面内转动 已知球 B 运动到最高点时 球 B 对杆恰好 无作用力 求 1 球 B 在最高点时 杆对水平轴的作用力大小 2 球 B 转到最低点时 球 A 和球 B 对杆的作用力分别是多大 方 向如何 解 1 球 B 在最高点时速度为 v0 有 得 L v mmg 2 2 0 gLv2 0 图 4 6 图 4 7 K 此时球 A 的速度为 设此时杆对球 A 的作用力为 FA 则gLv2 2 1 2 1 0 5 1 2 2 0 mgF L v mmgF AA A 球对杆的作用力为 5 1 mgFA 水平轴对杆的作用力与 A 球对杆的作用力平衡 再据牛顿第三定律知 杆对水平轴的 作用力大小为 F0 1 5 mg 2 设球 B 在最低点时的速度为 取 O 点为参考平面 据机械能守恒定律有 B v 2 2 20 2 0 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 B B v mmgLmvLmg v mmgLmvLmg 解得 gLvB 5 26 对 A 球有 L v mmgF B 2 1 2 解得杆对 A 球的作用力 mgF3 0 1 对 B 球有 L v mmgF B 2 2 2 解得杆对 B 球的作用力 mgF6 3 2 据牛顿第三定律可知 A 球对杆的作用力大小为 0 3mg 方向向上 B 对杆的作用力大 小为 3 6mg 方向向下 变式训练变式训练5 如图所示 质量为 M 的小球被一根长为 L 的可绕 O 轴自由转动的轻质杆固定在其端点 同时又通过长绳跨过光滑定滑轮与质量为 m 的小球相连 忽略 M 和滑轮体积 认为 O 点 到滑轮距离为 L 1 若装置平衡时 轻杆与竖直方向夹角 30 求 m M 2 若将 M 由杆呈水平状态开始释放 不计摩擦 竖直绳 足够长 则当杆转动到竖直位置时 m 的速度是多大 注 不要使用 1 中的结论 答案保留 M 和 m 解 1 2 分 30cos 2 mg Mg 3 m M 2 杆转动到竖直位置时 m 上升 由速度分解L2 mM vv2 M m L O 得 22 2 1 2 1 2 mM mvMvLmgMgL mM gLmM vm 2 2 2 题型七题型七 弹簧类问题弹簧类问题 例 例 7 7 质量为 m 的小球 B 用一根轻质弹簧连接 现把它们放置在竖直 固定的内壁光滑的直圆筒内 平衡时弹簧的压缩量为 x0 如图所示 小球 A 从小球 B 的正上方距离为 3 x0的 P 处自由落下 落在小球 B 上立刻与小球 B 粘在一起向下运动 它们到达最低点后又向上运动 并恰能回到 O 点 设 两个小球直径相等 且远小于 x0 略小于直圆筒内径 已知弹簧的弹性势 能为 其中 k 为弹簧的劲度系数 为弹簧的形变量 求 2 2 1 xk x 1 小球 A 的质量 2 小球 A 与小球 B 一起向下运动时速度的最大值 解 1 由平衡条件得 mg k x0 设球 A 的质量为 m 与球 B 碰撞前的速度为 v1 由 机械能守恒定律得 2 10 2 1 3mvmgx 设球 A B 结合后的速度为 由动量守恒定律得 1 v 0 1 1 6gx mm m v 由于球 A B 恰能回到 O 点 根据动能定理得 2 11 2 001 2 1 0 2 1 vmmkxgxmm 解之得 mm 1 2 由 B 点向下运动的距离为 x1时速度最大 加速度为零 即 因为 所以 由机械能守恒得 0111 xxkgxmm 0 kxmg mm 101 xx 2 01 2 1 2 0 2 1111 2 1 2 1 2 1 2 1 xxkvmmkxvmmgxmm m 0 2gxvm 变式训练变式训练 6 一个质量为 m 0 20 kg 的小球系于轻质弹簧的一端 且套在光竖直的圆 环上 弹簧固定于环的最高点 A 环的半径 R 0 50 m 弹簧原长 L0 0 50 m 劲度系数为 4 8 N m 如图所示 若小球从图示位置 B 点由静止开始滑到最低 点 C时 弹簧的弹性势能 0 60J 求 1 小球到 C 点时的速度 弹 E vC的大小 2 小球在 C 点时对环的作用力 g 10 m S2 解 小球由 B 点滑到 C 点 由动能定理得 JWmvWRRmg C 60 0 2 1 60cos 2 0 弹力弹力 得 vC 3 m s 2 在 C 点时有 NlRkF4 2 2 0 弹 设环对小球作用力为 N 方向指向圆心 则 NN R v mmgNF2 3 2 弹 弹 小球对环作用力为 N NNN2 3 动能定理练习动能定理练习 巩固基础巩固基础 一 不定项选择题 每小题至少有一个选项 1 下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系 下列说法中正确的是 A 如果物体所受合外力为零 则合外力对物体所的功一定为零 B 如果合外力对物体所做的功为零 则合外力一定为零 C 物体在合外力作用下做变速运动 动能一定发生变化 D 物体的动能不变 所受合力一定为零 2 下列说法正确的是 A 某过程中外力的总功等于各力做功的代数之和 B 外力对物体做的总功等于物体动能的变化 C 在物体动能不变的过程中 动能定理不适用 D 动能定理只适用于物体受恒力作用而做加速运动的过程 3 在光滑的地板上 用水平拉力分别使两个物体由静止获得相同的动能 那么可以肯定 A 水平拉力相等 B 两物块质量相等 C 两物块速度变化相等 D 水平拉力对两物块做功相等 4 质点在恒力作用下从静止开始做直线运动 则此质点任一时刻的动能 A 与它通过的位移 s 成正比 B 与它通过的位移 s 的平方成正比 C 与它运动的时间 t 成正比 D 与它运动的时间的平方成正比 5 一子弹以水平速度 v 射入一树干中 射入深度为 s 设子弹在树中运动所受的摩擦阻力 是恒定的 那么子弹以 v 2 的速度射入此树干中 射入深度为 A s B s 2 C D s 42 s 6 两个物体 A B 的质量之比 mA mB 2 1 二者动能相同 它们和水平桌面的动摩擦因 数相同 则二者在桌面上滑行到停止所经过的距离之比为 A sA sB 2 1 B sA sB 1 2 C sA sB 4 1 D sA sB 1 4 7 质量为 m 的金属块 当初速度为 v0时 在水平桌面上滑行的最大距离为 L 如果将金 属块的质量增加到 2m 初速度增大到 2v0 在同一水平面上该金属块最多能滑行的距离为 A L B 2L C 4L D 0 5L 8 一个人站在阳台上 从阳台边缘以相同的速率 v0 分别把三个质量相同的球竖直上抛 竖直下抛 水平抛出 不计空气阻力 则比较三球落地时的动能 A 上抛球最大 B 下抛球最大 C 平抛球最大 D 三球一样大 9 在离地面高为 h 处竖直上抛一质量为 m 的物块 抛出时的速度为 v0 当它落到地面时 速度为 v 用 g 表示重力加速度 则此过程中物块克服空气阻力所做的功等于 A B 2 0 2 2 1 2 1 mvmvmgh mghmvmv 2 0 2 2 1 2 1 C D 2 2 0 2 1 2 1 mvmvmgh 2 0 2 2 1 2 1 mvmvmgh 10 水平抛出一物体 物体落地时速度的方向与水平面的夹角为 取地面为参考平面 则物体刚被抛出时 其重力势能与动能之比为 A sin2 B cos2 C tan2 D cot2 11 将质量为 1kg 的物体以 20m s 的速度竖直向上抛出 当物体落回原处的速率为 16m s 在此过程中物体克服阻力所做的功大小为 A 200J B 128J C 72J D 0J 12 一质量为 1kg 的物体被人用手由静止向上提升 1m 这时物体的速度为 2m s 则下列说 法中正确的是 A 手对物体做功 12J B 合外力对物体做功 12J C 合外力对物体做功 2J D 物体克服重力做功 10J 13 物体 A 和 B 叠放在光滑水平面上 mA 1kg mB 2kg B 上作用一个 3N 的水平拉力后 A 和 B 一起前进了 4m 如图 1 所示 在这个过程中 B 对 A 做 的功等于 A 4J B 12J C 0 D 4J 14 一个学生用 100N 的力 将静止在操场上的质量为 0 6kg 的足球 以 15 m s 的速度踢 出 20m 远 则整个过程中学生对足球做的功为 A 67 5J B 2000J C 1000J D 0J 15 一个质量为 m 的小球 用长为 L 的轻绳悬挂在 O 点 小球在水平拉力 F 作用下 从平衡位置 P 点很缓慢地拉到 Q 点 如图 2 所示 则拉力 F 做的功为 A mgLcos B mgL 1 cos C FLsin D FLcos 二 填空题 16 如图 3 所示 地面水平光滑 质量为 m 的物体在水平恒力 F 的作 用下 由静止从 A 处移动到了 B 处 此过程中力 F 对物体做正功 使 得物体的速度 增大 减少 不变 如果其它条件不变 只将物体的质量增大为 2m 在物体仍由静止从 A 运动到 B 的过程中 恒力 F 对物体做的功 增大 减少 不变 物体到达 B 点 时的速度比原来要 大 少 不变 如果让一个具有初速 度的物体在粗糙水平地面上滑行时 物体的速度会不断减少 这个过 程中伴随有 力做 功 正 负 零 可见做功能使物体的速度发生改变 17 一高炮竖直将一质量为 M 的炮弹以速度 V 射出 炮弹上升的最大高度为 H 则炮弹上 升的过程中克服空气阻力所做的功为 发射时火药对炮弹做功为 忽略炮筒的长度 18 质量为 m 的物体静止在水平桌面上 物体与桌面间的动摩擦因数为 今用一水平力 推物体 使物体加速运动一段时间 撤去此力 物体再滑行一段时间后静止 已知 物体运动的总路程为 s 则此推力对物体做功 三 计算题 20 一个质量为 m 2kg 的铅球从离地面 H 2m 高处自由落下 落入沙坑中 h 5cm 深 处 如图所示 求沙子对铅球的平均阻力 g 取 10m s2 图 1 P Q O F 图 2 h H 21 质量为 m 的物体由半圆形轨道顶端从静止开始释放 如图 4 所示 A 为轨道最低点 A 与圆心 0 在同一竖直线上 已知圆弧轨道半径为 R 运动到 A 点时 物体对轨道的压力大 小为 2 5mg 求此过程中物体克服摩擦力做的功 能力提升能力提升 一 单选题 每小题只有一个正确选项 1 汽车在拱形桥上由 A 匀速率地运动到 B 如图 1 所示 下列说法中正确的是 A 牵引力与摩擦力做的功相等 B 牵引力和重力做的功大于摩擦力做的功 C 合外力对汽车不做功 D 合外力为零 2 如图 2 所示 质量为 m 的物体 由高为 h 处无初速滑下 至平 面上 A 点静止 不考虑 B 点处能量转化 若施加平行于路径的外 力使物体由 A 点沿原路径返回 C 点 则外力至少做功为 A mgh B 2mgh C 3mgh D 条件不足 无法计算 3 某消防队员从一平台跳下 下落 2m 后双脚触地 接着他用双腿弯曲的方法缓冲 使自 身重心又下降了 0 5m 在着地过程中 地面对他双腿的平均作用力是他自身重力的 A 2倍 B 5倍 C 8倍 D 10倍 4 物体在水平恒力 F 作用下 在水平面上由静止开始运动 当位移为 L 时撤去 F 物体继 续前进 3L 后停止运动 若水平面情况相同 则物体所受的摩擦力 f 和最大动能 Ek是 A Ek 4FL B Ek FL 3 F f 3 F f C D 4 F f 3 FL Ek 4 F f 4 3FL Ek 5 质量为 1kg 的物体以某一初速度在水平面上滑行 由于摩擦力的 作用 其动能随位移变化的图像如图 3 所示 g 10m s2 则以下说法 正确的是 A 物体与水平面间的动摩擦因数为0 5 B 物体与水平面间的动摩擦因数为0 2 C 物体滑行的总时间为4s D 物体滑行的总时间为 2 5s 6 如图所示 光滑水平面上 一小球在穿过 O 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周 匀速运动 当绳的拉力为 F 时 圆周半径为 R 当绳的拉力增大到 8F 时 小球 恰可沿半径为 R 2 的圆周做匀速圆周运动 在上述增大拉力的过程中 绳的拉 力对小球做的功为 A 4FR B C FR D FR 2 3 FR 2 1 7 如图 5 所示 物体以 100J 的初动能从斜面底端沿斜面向上运动 当 它向上通过斜面上某一点 M 时 其动能减少了 80J 克服摩擦力做功 32J 则物体返回到斜面底端时的动能为 A 20J B 48J C 60J D 68J 8 质量为 m 的小球被系在轻绳的一端 在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动 运动过程 中小球受到空气阻力的作用 设某一时刻小球通过轨道的最低点 此时绳子的张力为 7mg 此后小球继续做圆周运动 经过半个圆周恰能通过最高点 则在此过程中小球克服 空气阻力所做的功为 A B C D mgR 4 1 mgR 3 1 mgR 2 1 mgR 9 如图所示 ABCD 是一个盆式容器 盆内侧壁与盆底 BC 的连 接处都是一段与 BC 相切的圆弧 BC 为水平的 其距离为 d 0 50m 盆边缘的高度为 h 0 30m 在 A 处放一个质