2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3.2 补集及集合运算的综合应用学案 新人教A版必修第一册

1 第第 2 2 课时课时 补集及集合运算的综合应用补集及集合运算的综合应用 1 理解全集 补集的概念 2 准确翻译和使用补集符号和 venn 图 3 会求补集 并能解决一些集合综合运算的问题 1 全集 1 定义 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么就称这个集合为 全集 2 符号表示 全集通常记作u 2 补集 温馨提示 ua的三层含义 1 ua表示一个集合 2 a是u的子集 即a u 2 3 ua是u中不属于a的所有元素组成的集合 1 a 高一 1 班参加足球队的同学 b 高一 1 班没有参加足球队的同学 u 高一 1 班的同学 1 集合a b u有何关系 2 b中元素与u和a有何关系 答案 1 u a b 2 b中的元素在u中 不在a中 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 全集是由任何元素组成的集合 2 不同的集合在同一个全集中的补集也不同 3 集合 bc与 ac相等 4 集合a与集合a在全集u中的补集没有公共元素 答案 1 2 3 4 题型一补集的运算 典例 1 1 已知全集u x x 5 集合a x 3 x 5 则 ua 2 已知全集u 集合a 1 3 5 7 ua 2 4 6 ub 1 4 6 则集合b 思路导引 借助补集定义 结合数轴及 venn 图求解 解析 1 将集合u和集合a分别表示在数轴上 如图所示 由补集定义可得 ua x x 3 或x 5 2 解法一 a 1 3 5 7 ua 2 4 6 u 1 2 3 4 5 6 7 3 又 ub 1 4 6 b 2 3 5 7 解法二 借助 venn 图 如图所示 由图可知b 2 3 5 7 答案 1 x x 3 或x 5 2 2 3 5 7 求集合补集的基本方法及处理技巧 1 基本方法 定义法 2 两种处理技巧 当集合用列举法表示时 可借助 venn 图求解 当集合是用描述法表示的连续数集时 可借助数轴 利用数轴分析求解 针对训练 1 设全集u r r 集合a x 25 答案 x x 2 或x 5 2 设u x 5 x 2 或 2 x 5 x z z a x x2 2x 15 0 b 3 3 4 则 ua ub 解析 解法一 在集合u中 x z z 则x的值为 5 4 3 3 4 5 u 5 4 3 3 4 5 又a x x2 2x 15 0 3 5 ua 5 4 3 4 ub 5 4 5 解法二 可用 venn 图表示 4 则 ua 5 4 3 4 ub 5 4 5 答案 5 4 3 4 5 4 5 题型二交集 并集 补集的综合运算 典例 2 已知全集u x x 4 集合a x 2 x 3 b x 3 x 3 求 ua a b u a b ua b 解 把全集u和集合a b在数轴上表示如下 由图可知 ua x x 2 或 3 x 4 a b x 2 x 3 u a b x x 2 或 3 x 4 ua b x 3 2 t x 4 x 1 则 r rs t等于 a x 2 2 r rs x x 2 5 而t x 4 x 1 r rs t x x 2 x 4 x 1 x x 1 答案 c 4 设全集为 r r a x 3 x 7 b x 2 x 10 则 r r a b r ra b 解析 由题意知 a b x 2 x 10 r r a b x x 2 或x 10 又 r ra x x 3 或x 7 r ra b x 2 x 3 或 7 x 10 答案 x x 2 或x 10 x 2 x 3 或 7 x 10 题型三利用集合间的关系求参数 典例 3 设集合a x x m 0 b x 2 x 4 全集u r r 且 ua b 求实数m的取值范围 思路导引 理清集合间的关系 分类求解 解 由已知a x x m 得 ua x x m 因为b x 2 x 4 ua b 所以 m 2 即m 2 所以m的取值范围是m 2 变式 1 将本例中条件 ua b 改为 ua b 其他条件不变 则 m的取值范围又是什么 2 将本例中条件 ua b 改为 ub a r r 其他条件不变 则m的取值 范围又是什么 解 1 由已知得a x x m 所以 ua x x 2 解得m 2 2 由已知得a x x m ub x x 2 或x 4 又 ub a r r 所以 m 2 解得m 2 6 利用集合关系求参数的 2 个注意点 1 与集合的交 并 补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解 涉及集合间关系时 不要忘掉空集的情况 2 不等式中的等号在补集中能否取到 要引起重视 还要注意补集是全集的子集 针对训练 5 已知集合a x x a b x 1 x 3 1 若a r rb r r 求实数a的取值范围 2 若a r rb 求实数a的取值范围 解 1 b x 1 x 3 r rb x x 1 或x 3 因而要使a r rb r r 结合数轴分析 如图 可得a 3 2 a x x a r rb x x 1 或x 3 要使a r rb 结合数轴分析 如图 可得a 1 课堂归纳小结 1 全集与补集的互相依存关系 1 全集并非是包罗万象 含有任何元素的集合 它是对于研究问题而言的一个相对概 念 它仅含有所研究问题中涉及的所有元素 如研究整数 z z 就是全集 研究方程的实数 解 r r 就是全集 因此 全集因研究问题而异 2 补集是集合之间的一种运算 求集合a的补集的前提是a是全集u的子集 随着所 选全集的不同 得到的补集也是不同的 因此 它们是互相依存 不可分割的两 个概念 7 3 ua的数学意义包括两个方面 首先必须具备a u 其次是定义 ua x x u 且 x a 补集是集合间的运算关系 2 补集思想 做题时 正难则反 策略运用的是补集思想 即已知全集u 求子集a 若直接求a困 难 可先求 ua 再由 u ua a求a 1 已知全集u r r a x x 0 b x x 1 则集合 u a b a x x 0 b x x 1 c x 0 x 1 d x 0 x 1 解析 a x x 0 b x x 1 a b x x 0 或x 1 u a b x 0 x 1 故选 d 答案 d 2 已知三个集合u a b之间的关系如图所示 则 ub a a 3 b 0 1 2 4 7 8 c 1 2 d 1 2 3 解析 由 venn 图可知u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a 1 2 3 b 3 5 6 所以 ub a 1 2 答案 c 3 设全集u x n n x 8 集合a 1 3 7 b 2 3 8 则 ua ub a 1 2 7 8 b 4 5 6 c 0 4 5 6 d 0 3 4 5 6 解析 u x n n x 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ua 0 2 4 5 6 8 ub 0 1 4 5 6 7 ua ub 0 4 5 6 答案 c 8 4 全集u x 0 x 10 a x 0 x 5 则 ua 解析 ua x 5 x 10 如图所示 答案 x 5 x 10 5 设全集u 2 3 a2 2a 3 a 2a 1 2 且 ua 5 求实数a的值 解 ua 5 5 u 但 5 a a2 2a 3 5 解得a 2 或a 4 当a 2 时 2a 1 3 这时a 3 2 u 2 3 5 ua 5 适合题意 a 2 当a 4 时 2a 1 9 这时a 9 2 u 2 3 5 au ua无意义 故 a 4 应舍去 综上所述 a 2 课内拓展 课外探究 空集对集合关系的影响 空集是不含任何元素的集合 它既不是有限集 也不是无限集 空集就像一个无处不 在的幽灵 解题时需处处设防 提高警惕 空集是任何集合的子集 其中 任何集合 当然也包括了 故将会出现 而此时 按子集理解不能成立 原因是前面空集中无元素 不符合定义 因此知道这一条是课本 规定 空集是任何非空集合的真子集 即 a 而a 既然a 即必存在a a而 a a 由于空集的存在 关于子集定义的下列说法有误 如 a b 即a为b中的部分元素 所组成的集合 因为从 部分元素 的含义无法理解 空集是任何集合的子集 a是a 的子集 等结论 在解决诸如a b或a b类问题时 必须优先考虑a 时是否满足题意 典例 1 已知集合a x x2 2x 8 0 b x x2 ax a2 12 0 求满足 b a的a的值组成的集合 解 由已知得a 2 4 b是关于x的一元二次方程x2 ax a2 12 0 的解 集 方程 根的判别式 a2 4 a2 12 3 a2 16 1 若b 则方程 没有实数根 即 0 3 a2 16 0 9 解得a4 此时b a 2 若b 则b 2 或 4 或 2 4 若b 2 则方程 有两个相等的实数根x 2 2 2 2 a a2 12 0 即a2 2a 8 0 解得a 4 或a 2 当a 4 时 恰有 0 当a 2 时 0 舍去 当a 4 时 b a 若b 4 则方程 有两个相等的实数根x 4 42 4a a2 12 0 解得a 2 此时 0 舍去 若b 2 4 则方程 有两个不相等的实数根x 2 或x 4 由 知 a 2 此时 0 2 与 4 恰是方程的两根 当a 2 时 b a 综上所述 满足b a的a值组成的集合是 a a 4 或a 2 或a 4 点评 有两个独特的性质 即 1 对于任意集合a 皆有a 2 对于任意 集合a 皆有a a 正因如此 如果a b 就要考虑集合a或b可能是 如果 a b a 就要考虑集合b可能是 典例 2 设全集u r r 集合m x 3a 1 x 2a a r r n x 1 x 3 若 n um 求实数a的取值集合 解 根据题意可知 n 又 n um 当m 即 3a 1 2a时 a 1 此时 um r r n um 显然成立 当m 即 3a 1 2a时 a 1 由m x 3a 1 x 2a 知 um x x 3a 1 或x 2a 又 n um 结合数轴分析可知error 或error 得a 1 2 综上可知 a的取值集合为error 点评 集合的包含关系是集合知识重要的一部分 在后续内容中应用特别广泛 涉 及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主 因此需要对相关的性质有深刻的 理解 对于有限集 在处理包含关系时可列出所有的元素 然后依条件讨论各种情况 找 到符合条件的结果 课后作业 五 复习巩固 一 选择题 1 设全集u r r 集合p x 2 x 3 则 up等于 10 a x x 2 或x 3 b x x3 c x x 2 或x 3 d x x 2 且x 3 解析 由p x 2 x 3 得 up x x 2 或x 3 故选 a 答案 a 2 集合a x 1 x 2 b x x1 b x x 1 c x 1 x 2 d x 1 x 2 解析 b x x2 或x 2 n x x 3 或x 1 都是全集u的子 集 则图中阴影部分所表示的集合是 a x 2 x 1 b x 2 x 2 c x 1 x 2 d x x 2 解析 阴影部分表示的集合为n um x 2 x 1 故选 a 答案 a 5 设集合u 1 1 2 3 m x x2 px q 0 若 um 1 1 则实数p q的值为 a 1b 5 11 c 5d 1 解析 由已知可得m 2 3 则 2 3 为方程x2 px q 0 的两根 则p 2 3 5 q 2 3 6 故p q 5 6 1 故选 d 答案 d 二 填空题 6 已知全集u x x 3 集合a x 34 答案 x x 3 或x 4 7 已知全集u 0 1 2 3 4 集合a 1 2 3 b 2 4 则 ua b为 解析 由u 0 1 2 3 4 a 1 2 3 得 ua 0 4 因为b 2 4 所以 ua b 0 2 4 答案 0 2 4 8 设全集u 0 1 2 3 集合a x x2 mx 0 若 ua 1 2 则实数 m 解析 u 0 1 2 3 ua 1 2 a 0 3 故m 3 答案 3 三 解答题 9 设集合a x 5 x 3 b x x4 求a b r ra r rb 解 a b x 5 x 3 x x4 x 5 x 2 r ra x x3 r rb x 2 x 4 r ra r rb x x3 x 2 x 4 x x 5 或x 2 10 已知集合a x 2a 2 x a b x 1 x 2 且a r rb 求a的取值范围 解 r rb x x 1 或x 2 因为a r rb 所以分a 和a 两种情况讨论 若a 此时有 2a 2 a 所以a 2 若a 则有error 或error 所以a 1 综上所述 a 1 或a 2 12 综合运用 11 已知全集u r r 集合a x 2 x 3 b x x4 那么集合 ua ub 等于 a x 3 x 4 b x x 3 或x 4 c x 3 x 4 d x 1 x 3 解析 ua x x3 ub x 2 x 4 ua ub x 3 x 4 故选 a 答案 a 12 已知m n为集合i的非空真子集 且m n不