弹簧-质量-阻尼模型

1 弹簧 质量 阻尼系统 1 研究背景及意义 弹簧 质量 阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统 研究这种系统对于我们的生活与科 技也是具有意义的 生活中也随处可见这种系统 例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动 能量的装置 是保证驾驶员行车安全的必备装置 再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器 改变结构的自振特性 增加结构阻尼 吸收地震能量 降低地震作用对建筑物的影响 因 此研究弹簧 质量 阻尼结构是很具有现实意义 2 弹簧 质量 阻尼模型的建立 数学模型是定量地描述系统的动态特性 揭示系统的结构 参数与动态特性之间关系 的数学表达式 其中 微分方程是基本的数学模型 不论是机械的 液压的 电气的或热 力学的系统等都可以用微分方程来描述 微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应 所以 建立数学模型是研究系统 预测其动态响应的前提 通常情况下 列写机械振动系 统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律 质量守恒定律等 弹簧 质量 阻尼系统是最常见的机械振动系统 机械系统如图 2 1 所示 图 2 1 弹簧 质量 阻尼系统简图 其中 表示小车的质量 表示缓冲器的粘滞摩擦系数 表示弹簧的弹性系 1 m 2 m i c i k 数 t 表示小车所受的外力 是系统的输入即 t t t 表示小车的位 i F i U i F i X 移 是系统的输出 即 t t i 1 2 设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比 i Y i X 其中 1kg 2kg 100N cm 300N cm 3Ns cm 6Ns cm 1 m 2 m 1 k 3 k 2 k 1 c 3 c 2 c 由图 2 1 根据牛顿第二定律 建立系统的动力学模型如下 对有 1 m 2 1 2 对有 2 m 2 2 3 建立状态空间表达式建立状态空间表达式 令 则原式可化为 31421122 xx xx uF uF 1312324121221 2423423232212 m xllxl xkkxk xu t m xll xl xkk xk xu t 化简得 2 3 12212112324 3 1 u tk xkkxllxl x x m 2 4 22112232423 4 2 u tk xkkxllxl x x m 整理得 2 1 21 122122 1111132 4323222 22222 1 2 3 4 001000 000100 1 0 1 0 1000 0100 x xukkklll x mmmmmxu xkkllkl mmmmm x x y x x 5 12132 132 1 2 100 300 3 6 mmkkk lll 3 代入数据得 0010 0001 40030096 15020034 5 A 00 00 10 00 5 B 1000 0100 C 则系统的状态空间表达式为 xy ux x 0010 0001 5 00 01 00 00 5 4320015 69300400 1000 0100 4 化为对角标准型化为对角标准型 当系统矩阵 A 有 n 个不相等的特征根时 相应的有 n 个不相等的特征向量 3 2 1 i i 所以有矩阵 A 的特征矩阵 3 2 1 i mi mmmm M 4321 根据矩阵论 线性变换得 MzxTxzMT 1 可以使用 matlab 进行对角标准型的运算 matlab 作为一种数学运算工具 很大程度的方便 了了我们的计算 对于这个弹簧 质量 阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式 所以可以 用 matlab 简化计算 1 求特征值与特征向量 A 0 0 1 0 0 0 0 1 400 300 9 6 150 200 3 4 5 B 0 0 0 0 1 0 0 0 5 C 1 0 0 0 0 1 0 0 4 P J eig A 求得结果 P 0 0007 0 0402i 0 0007 0 0402i 0 0401 0 0698i 0 0401 0 0698i 0 0171 0 0157i 0 0171 0 0157i 0 0176 0 0792i 0 0176 0 0792i 0 8650 0 8650 0 6682 0 2084i 0 6682 0 2084i 0 3442 0 3621i 0 3442 0 3621i 0 7050 0 7050 J 0 3667 21 5183i 0 0 0 0 0 3667 21 5183i 0 0 0 0 1 8833 8 4864i 0 0 0 0 1 8833 8 4864i 2 P 矩阵求逆 PN inv P 求得结果 PN 3 4167 9 7803i 2 1017 9 2399i 0 3466 0 2323i 0 4703 0 1054i 3 4167 9 7803i 2 1017 9 2399i 0 3466 0 2323i 0 4703 0 1054i 3 3554 3 4224i 3 7199 3 2032i 0 2886 0 0353i 0 5337 0 2409i 3 3554 3 4224i 3 7199 3 2032i 0 2886 0 0353i 0 5337 0 2409i 3 带入公式 BPNB CCP 解得对角标准型为 uxx 0 1205i 0 26690 0353i 0 2886 0 1205i 0 26690 0353i 0 2886 0 0527i 0 2352 0 2323i 0 3466 0 0527i 0 2352 0 2323i 0 3466 8 4864i 1 8833000 08 4864i 1 8833 00 0021 5183i 0 36670 000 21 5183i 0 3667 uy 0 0792i 0 01760 0792i 0 01760 0157i 0 0171 0 0157i 0 0171 0 0698i 0 04010 0698i 0 04010 0402i 0 00070 0402i 0 0007 5 求状态空间表达式的解求状态空间表达式的解 1 求状态转移矩阵求状态转移矩阵 5 1 1 TT ATT ee tAt 其中 其中 T 为特征向量为特征向量 Te At1 8 4864it 1 8833 8 4864it 1 8833 21 5183it 0 3667 21 5183it 0 3667 000 000 000 000 0 7050 0 70500 3621i 0 3442 0 3621i 0 3442 0 2084i 0 66820 2084i 0 66820 86500 8650 0 0792i 0 01760 0792i 0 0176 0 0157i 0 0171 0 0157i 0 0171 0 0698i 0 04010 0698i 0 04010 0402i 0 00070 0402i 0 0007 e e e e 0 2409i 0 5337 0 0353i 0 2886 3 2032i 3 7199 3 4224i 3 3554 0 2409i 0 5337 0 0353i 0 28863 2032i 3 71993 4224i 3 3554 0 1054i 0 4703 0 2323i 0 34669 2399i 2 1017 9 7803i 3 4167 0 1054i 0 4703 0 2323i 0 3466 9 2399i 2 1017 9 7803i 3 4167 1 T 状态转移矩阵为状态转移矩阵为 0 0000i 1 7127 0 0000i 0 7350 0 0000i 42 7799 0 0000i 7 2316 0 0000i 1 4700 2 4502 0 0000i 29 8835 0 0000i 12 5772 0 0000i 0 5509 0 0000i 0 2247 0 0000i 0 5817 0 0000i 4 4097 0 4493 0 1999 0 0000i 0 6477 5 5977 e At 5 可控性与可观性可控性与可观性 不同于经典控制理论 能控性和能观性 是一个具有实际意义的概念 经典控制理论中用 传递函数描述系统的输入 输出特性 输出量即被控量 只要系统是因果系统并且稳定 输 出量便可以受控 且输出量总是可以被测量的 因而不需要能控能观性的提出 但是现代 控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的 状态方程描述输入 u t 引起状 态 x t 的变化过程 输出方程描述有状态变化引起的输出 y t 的变化 能控能观便是 定性的描述输入 u t 对状态 x t 的控制能力 输出 y t 对状态 x t 的反应能力 他 们分别回答了 输入能否控制状态的变化 可控性 状态的变化能否有输出反映出来 可观性 另外在工程上常用状态变量作为反馈信息 可是状态 x t 的值通常是难测的 往往需要 从测量到的 y t 中估计出状态 如果输出 y t 不能完全反映出系统的状态 x t 那 么就无法实现对状态的估计 能控性定义 能控性定义 当系统用状态方程描述时 给定系统的任意初始状态 可以找到允许的输 入量 在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态 则称系统是完全可控的 有 状态方程 x t Ax t Bu t 其解为 如果有限的时间内 0 t t1 内通过输入量 u t 的作用把系统的所有状态引向状态 x t1 设 x t1 0 则应有 deet t tt 0 0 Buxx AA 0 0 1 11 0 1 deet t tt Buxx AA 6 即在给定 x 0 和 A B 的条件下求可以使 x t x t1 的 u t 换言之 上述方程有解则系统 能控 根据凯莱 哈米尔顿定理 e At eAt 可写成有限级数 如果方程有解 等式右边左侧矩阵应满秩 n 此时系统是可控的 求可控性求可控性 875 80 5 16325 2 35 00 5 1633013901 25 2 35 0000 390100 ABAABB Qc n 4 满秩所以系统是可控的 可观性定义可观性定义 当系统用状态方程描述时 给定控制后 如果系统的每一个初始状态 x 0 都可以在有限的时间内通过系统的输出 y t 唯一确定 则称系统完全可观 若只能确定部 分初始状态 则称系统部分可观 有状态方程 x t Ax t Bu t y t Cx t 其解为 由于在讨论能观性问题时 输入是给定的 上式右侧第二项是确知的 设 u t 0 y t CeAtx 0 根据凯莱 哈米尔顿定理 e At eAt 可写成有限级数 deet t tt 0 0 Buxx AA 0 0 deety t tt BuCxC AA dedee tt tt 0 0 11 00 Bux0Bux AAA 0 0 0 1 n 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 111 t t t tdct dcdcde n n i i i t ii t i n i i t n i i i t BAABBx BAxu uBABuABux A 写成矩阵形式 令 7 如果方程有解 等式右侧中间侧矩阵应满秩 其中 秩 n 系统的阶数 求可观性 求可观性 63200150 69300400 1000 0100 0010 0001 ACA CA C Qo n 4 满秩所以系统是可观的 6 求系统的输入输出传递函数求系统的输入输出传递函数 对于两输入两输出的系统求得的传递函数是一个二阶的传递函数阵 其中包含四个传递函数 2212 2111 ssss ssss UYUY UYUY Transfer function from input 1 to output s 2 4 5 s 200 1 s 4 4 5 s 3 541 5 s 2 1800 s 3 5e004 3 s 150 2 s 4 4 5 s 3 541 5 s 2 1800 s 3 5e004 Transfer function from input 2 to output 3 s 150 1 s 4 4 5 s 3 541 5 s 2 1800 s 3 5e004 0 5 s 2 4 5 s 200 0 0 1 0 1 1 2 210 xCAxAAAICy n i i i n n tctctctctct 0 1 110 x CA CA C y n n tctctct 写成矩阵形式 1 0 1 1 2 210 n i i i n n t tctctctctceAAAAI A 8 2 s 4 4 5 s 3 541 5 s 2 1800 s 3 5e004 矩阵函数阵 3 5e004 s 1800 s 2 541 5 s 3 4 5 s 4 20 s 4 5 s 2 0 5 3 5e004 s 1800 s 2 541 5 s 3 4 5 s 4 150 s 3 3 5e004 s 1800 s 2 541 5 s 3 4 5 s 4 150 s 3 3 5e004 s 1800 s 2 541 5 s 3 4 5 s 4 200 s 4 5 s 2 7 分析开环稳定性分析开环稳定性 稳定性定义是系统在受到小的外界扰动后 系统状态方程解的收敛性 系统正常工作要求 是系统在受到外界扰动后 虽然其原平衡状态被打破 但在扰动消失后 仍然能恢复到原 来的平衡状态 或者趋于另一平衡状态继续工作 且线性系统稳定性与输入作用无关 研 究系统的稳定性对于研究系统能否正常工作具有很重要的意义 稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件 是系统的重要特征 我们不仅要分析一个系统是否稳定 还要解决的问 题便是怎样使一个系统稳定 经典控制理论稳定性判别方法有很多 例如代数判据 niquist 判据 根轨迹判据等 而现代控制理论经常用李雅普诺夫第二法求稳定性 1 利用特征根的方法 利用特征根的方法 根据上述结果求得的特征根为 0 3667 21 5183i 0 3667 21 5183i 1 8833 8 4864i 1 8833 8 4864i 四个特征值全部都在坐标轴的右半平面 所以系统是不稳定 的 2 利用利亚普诺夫第二法求解 利用利亚普诺夫第二法求解 xxxxxxxx xxxx xv xv 4 4 332 21 1 2222 4321 5 0 其中 9 xxxxxxxxxxxx xv xxxxx xxxxx xx xx 4 5 41509 3 9300399199 5 43200150 69300400 2 4143 2 323142 4321 4 4321 3 4 2 3 1 将其换成矩阵形式可以看出 A 不是正定的 所以系统不稳定 5 4000 0900 19930000 15039900 A 8 利用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值利用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值 状态反馈是将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输入相加 其 和作为受控系统的控制输入 原受控对象为经过状态反馈后得到的闭环系统为 闭环系统期望极点选取原则为以下几点 1 n 维控制系统有 n 个期望极点 2 期望极点是物理上可实现的 为实数或共轭复数对 3 期望极点的位置的选取 需考虑它们对系统品质的影响 离虚轴的位置 及与零点分 布状况的关系 0 CBA CBBKA k 10 4 离虚轴距离较近的主导极点收敛慢 对系统性能影响最大 远极点收敛快 对系统只有 极小的影响 闭环极点 0 3667 21 5183i 0 3667 21 5183i 1 8833 8 4864i 1 8833 8 4864i 配置状态反馈后 系统应稳定 所以期望极点应在虚轴左侧 所以期望闭环极点 1 1001 64 5549i 1 1001 64 5549i 5 6499 25 4952 5 6499 25 4952 得到极点配置矩阵 K 1 0e 003 1 2556 0 0375 0 0157 0 0332 0 9718 2 8969 0 0839 0 004 验证极点配置结果是正确的 ans 1 1001 64 5549i 1 1001 64 5549i 5 6499 25 4952i 5 6499 25 4952i 求得开环传递函数阶跃响应曲线 没有经过状态反馈的 没有上升时间 经过状态反馈的传递函数 BBKAsICs Gk 1 状态空间表达式为 k CBBKA Matlab 解得闭环传递函数 11 s 2 6 758 s 1648 1 s 4 13 5 s 3 4875 s 2 4 86e004 s 2 843e006 38 95 s 335 9 2 s 4 13 5 s 3 4875 s 2 4 86e004 s 2 843e006 Transfer function from input 2 to output 19 59 s 168 7 1 s 4 13 5 s 3 4875 s 2 4 86e004 s 2 843e006 0 5 s 2 3 371 s 827 8 2 s 4 13 5 s 3 4875 s 2 4 86e004 s 2 843e006 反馈后的阶跃响应 阶跃响应上升时间是 0 034s 配置后系统最终稳定 9 9 设计全维状态观测器设计全维状态观测器 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到 需要从系统的可量测参量 如输入 u 和 输出 y 来估计系统状态 状态观测器基于可直接量测的输出变量 y 和控制变量 u 来估计状 态变量 是一个物理可实现的模拟动力学系统 如果系统状态是完全能观测的 那么根据 输出 y 的测量 可以唯一的确定系统的初始状态 所以只要满足一定的条件 便可以从可 测量 y 和 u 中把 x 间接重构出来 全维渐进状态结构图 B x C A y B x C CKA e y e K x x u 0 g 12 系统的原极点为 0 3667 21 5183i 0 3667 21 5183i 1 8833 8 4864i 1 8833 8 4864i 期望极点应是原极点的 2 5 倍 并不是越快越好 期望极点为 1 4668 86 0732i 1 4668 86 0732i 7 5332 33 9456i 7 5332 33 9456i 1 2246 3 122 8 1608 9 3199 0 5 6 52 1 515 17 L 相应的全维观测器是相应的全维观测器是 yux yux yux LyBuxLCA x 1 2246 3 122 8 1608 9 3199 0 5 6 52 1 515 17 5 00 01 00 00 5 4310 2446 7 27 698 1308 9 3599 105 6 52 01 5 51 5 17 1 2246 3 122 8 16089 3199 0 5 6 52 1 51 5 17 5 00 01 00 00 00 00 00 00 1 2246 3 122 8 1608 9 3199 0 5 6 52 1 51 5 17 5 43200150 69300400 1000 0100 1 2246 3 122 8 1608 9 3199 0 5 6 52 1 51 5 17 5 00 01 00 00 0010 0001 1 2246 3 122 8 1608 9 3199 0 5 6 52 1 51 5 17 5 43200150 69300400 1000 0100 10 带观测器的输出状态空间表达式带观测器的输出状态空间表达式 4 5 3 2446 27 66 6 9 1309 3600 1 0 4 985 52 62 0 1 51 13 17 51 A 13 D 0 2246 122 3 1609 3200 4 985 52 62 51 13 17 51 B 1000 0100 0010 0001 0010 0001 C 分别得到输出和观测状态的传递函数分别得到输出和观测状态的传递函数 Transfer function from input y1 to output 17 51 s 3 5899 s 2 1 23e005 s 7 911e006 y1 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 52 62 s 3 359 1 s 2 6844 s 4 369e005 y2 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 17 51 s 3 5899 s 2 1 23e005 s 7 911e006 x1 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 52 62 s 3 359 1 s 2 6844 s 4 369e005 x2 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 14 3200 s 3 9 295e004 s 2 7 698e006 s 3 967e006 x3 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 122 3 s 3 1 405e005 s 2 8571 s 5 737e007 x4 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 Transfer function from input y2 to output 51 13 s 3 1379 s 2 2 945e004 s 8 583e005 y1 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 4 985 s 3 5001 s 2 1 152e005 s 8 303e006 y2 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 51 13 s 3 1379 s 2 2 945e004 s 8 583e005 x1 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 4 985 s 3 5001 s 2 1 152e005 s 8 303e006 x2 e s 4 18 s 3 8664 s 2 1 152e005 s 8 96e006 1609 s 3 1 337e005 s 2 1 3