带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析

1 一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析 1 运动特点运动特点 带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场 其轨迹是一段圆弧 2 圆心的确定 圆心的确定 1 基本思路 与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心 2 常用的两种方法 已知入射方向和出射方向时 可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向 的直线 两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心 如图 8 2 5 所示 图中 P 为入射点 M 为 出射点 已知入射点 入射方向和出射点的位置时 可以通过入射点作入射方向的垂线 连接入 射点和出射点 作其中垂线 这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心 如图 8 2 6 所示 P 为入射点 M 为出射点 3 带电粒子在不同边界磁场中的运动 直线边界 进出磁场具有对称性 如图 8 2 7 平行边界 存在临界条件 如图 8 2 8 图图 8 2 8 图 8 2 7 图8 2 5 图8 2 6 2 圆形边界 沿径向射入必沿径向射出 如图 8 2 9 图图 8 2 9 3 半径的确定 半径的确定 1 做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图 2 运用几何知识 勾股定理 正余弦定理 三角函数 通过数学方法求出半径的大小 4 运动时间的确定 运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为 T 当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时 其运动时 间由下式表示 t T 或 t T 360 2 例 扭摆器是同步辐射装置中的插入件 能使粒子的运动轨迹发生扭摆 其简化模型如图 8 2 10 所示 两处的条形匀强磁场区边界竖直 相距为 L 磁场方向相反且垂直 于纸面 一质量为 m 电量为 q 重力不计的粒子 从靠近平行板电容器 MN 板处由静止 释放 极板间电压为 U 粒子经电场加速后平行于纸面射入 区 射入时速度与水平方向 夹角 30 1 当 区宽度 L1 L 磁感应强度大小 B1 B0 时 粒子从 区右边界射出时速度与水平 方向夹角也为 30 求 B0 及粒子在 区运动的时间 t 2 若 区宽度 L2 L1 L 磁感应强度大小 B2 B1 B0 求粒子在 区的最高点与 区 的最低点之间的高度差 h 3 若 L2 L1 L B1 B0 为使粒子能返回 区 求 B2 应满足的条件 图图 8 2 10 3 解析 1 如图甲所示 设粒子射入磁场 区的速度为 v 在磁场 区中做圆周运动的 半径为 R1 由动能定理和牛顿第二定律得 图甲图甲 qU mv2 1 2 qvB1 m v2 R1 B1 B0 由几何知识得 L 2R1 sin 联立 式 代入数据得 B0 1 L 2mU q 设粒子在磁场 区中做圆周运动的周期为 T 运动的时间为 t T 2 R1 v t T 2 360 联立 式 代入数据得 t L 3 m 2qU 2 设粒子在磁场 区做圆周运动的半径为 R2 由牛顿第二定律得 qvB2 m v2 R2 由几何知识可得 h R1 R2 1 cos Ltan 联立 式 代入数据得 h 2 L 2 3 3 3 如图乙所示 为使粒子能再次回到 区 应满足 R2 1 sin 或 B2 3 L mU 2q 3 L mU 2q 答案 1 1 L 2mU q L 3 m 2qU 2 L 2 2 3 3 3 B2 3 L mU 2q 或B2 3 L mU 2q 拓展拓展 带电粒子的质量 m 1 7 10 27 kg 电荷量 q 1 6 10 19 C 以速度 v 3 2 106 m s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中 磁场的磁感应强度为 B 0 17 T 磁场的宽度 l 10 cm 如图 8 2 11 所示 1 求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角 2 求带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离 5 解析 粒子所受的洛伦兹力 F qvB 8 7 10 14 N 远大于粒子所受的重力 G 1 7 10 26 N 因此重力可忽略不计 1 由于洛伦兹力不做功 所以带电粒子离开磁场时速度仍为 3 2 106 m s 由 qvB m得轨道半径 v2 r r m 0 2 m mv qB 1 7 10 27 3 2 106 1 6 10 19 0 17 由图可知偏转角 满足 sin 0 5 故 30 l r 0 1 0 2 2 带电粒子在磁场中运动的周期 T 2 m qB 可见带电粒子在磁场中运动的时间 t T T 30 360 1 12 t s 3 3 10 8 s m 6qB 3 14 1 7 10 27 6 1 6 10