2019-2020学年九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质教案 （新版）华东师大版

二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性 质 1 本节共需 7 课时 本课为第 1 课时 主备人 主备人 教学目标教学目标会用描点法画出二次函数的图象 概括出图象的特点及函数的性质 2 yax 教学重点教学重点通过画图得出二次函数的特点 教学难点教学难点识图能力的培养 教具准备教具准备坐标小黑板一块 课型课型新授课 教学过程教学过程初 备统 复 备 情境导入 我们已经知道 一次函数 反比例函数21yx 的图象分别是 3 y x 3 y x 那么二次函数的图象是什么呢 2 yx 1 描点法画函数的图象前 想一想 列表时 2 yx 如何合理选值 以什么数为中心 当x取互为相反数 的值时 y的值如何 2 观察函数的图象 你能得出什么结论 2 yx 实践与 探索 1 例例 1 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 并 指出它们有何共同点 有何不同点 1 2 2 2yx 2 2yx 共同点 都以y轴为对称轴 顶点都在坐标原点 不同点 的图象开口向上 顶点是抛物线的最 2 2yx 低点 在对称轴的左边 曲线自左向右下降 在对称 轴的右边 曲线自左向右上升 的图象开口向 2 2yx 下 顶点是抛物线的最高点 在对称轴的左边 曲线 自左向右上升 在对称轴的右边 曲线自左向右下 降 注意点 注意点 在列表 描点时 要注意合理灵活地取值以及图 形的对称性 因为图象是抛物线 因此 要用平滑曲 线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 实践与探 索 2 例例 2 2 已知正方形周长为ccm 面积为s cm2 1 求s和c之间的函数关系式 并画出图象 2 根据图象 求出s 1 cm2时 正方形的周长 3 根据图象 求出c取何值时 s 4 cm2 分析分析 此题是二次函数实际应用问题 解这类问题时 要注意自变量的取值范围 画图象时 自变量c的取 值应在取值范围内 解解 1 由题意 得 2 1 0 16 scc 列表 描点 连线 图象 如图 26 2 2 2 根据图象得 s 1 cm2时 正方形 的周长是 4cm 3 根据图象得 当c 8cm 时 s 4 cm2 注意点 注意点 1 此图象原点处为空心点 2 横轴 纵轴字母应为题中的字母c s 不要习惯 地写成x y 3 在自变量取值范围内 图象为抛物线的一部分 c2468 s 小结与作 业 课堂小结 课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获 课堂作业 课堂作业 练习 1 4 教学后记 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性质 2 本节共需 7 课时 本课为第 2 课时 主备人主备人 教学目标教学目标会画出这类函数的图象 通过比较 了解这类函数的性质 2 yaxk 教学重点教学重点通过画图得出二次函数的性质 教学难点教学难点识图能力的培养 教具准备教具准备投影仪 胶片课型课型新授课 教学过程教学过程初 备统 复 备 情境导入 同学们还记得一次函数与的图象2yx 21yx 的关系吗 你能由此推测二次函数与的图象之间 2 yx 2 1yx 的关系吗 那么与 2 yx 的图象之间又有何关系 2 2yx 实践与 探索 1 例例 1 1 在同一直角坐标系中 画出函数与 2 2yx 的图象 2 22yx 解解 列表 描点 连线 画出这两个函数的图象 如图 26 2 3 回顾与反思 回顾与反思 当自变量x取同一数值时 这两个 函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上 相应 的两个点之间的位置又有什么关系 探索探索 观察这两个函数 图象 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标有哪 些是相同的 又有哪些 不同 你能由此说出函 数与 2 2yx 的图象之间的关系吗 2 22yx x 3 2 10123 2 2yx 188202818 2 22yx 20104241020 实践与 探索 2 例例 2 2 在同一直角坐标系中 画出函数与 2 1yx 的图象 并说明 通过怎样的平移 可以由 2 1yx 抛物线得到抛物线 2 1yx 2 1yx 回顾与反思回顾与反思 抛物线和抛物线分 2 1yx 2 1yx 别是由抛物线向上 向下平移一个单位得到 2 yx 的 探索探索 如果要得到抛物线 应将抛物线 2 4yx 作怎样的平移 2 1yx 小结 与作业 课堂小结课堂小结 本节课你的收获有哪些 函数与 2 yaxk 图像的关系 2 yax 课堂作业 课堂作业 一条抛物线的开口方向 对称轴与相同 2 1 2 yx 顶点纵坐标是 2 且抛物线经过点 1 1 求这条抛 物线的函数关系式 教学后记 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性质 3 本节共需 7 课时 本课为第 3 课时 主备人主备人 教学目标教学目标会画出这类函数的图象 通过比较 了解这类函数的性质 2 ya xh 教学重点教学重点 通过画图得出二次函数的性质 教学难点教学难点 识图能力的培养 教具准备教具准备 投影仪 胶片 课型课型新授课 教学过程初 备统 复 备 情境导入 我们已经了解到 函数的图象 可以由函 2 yaxk 数的图象上下平移所得 那么函数的 2 yax 2 1 2 2 yx 图象 是否也可以由函数平移而得呢 画图试一试 2 1 2 yx 你能从中发现什么规律吗 实践与 探索 1 例例 1 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 并指出它们的开 2 1 2 yx 2 1 2 2 yx 2 1 2 2 yx 口方向 对称轴和顶点坐标 解解 列表 描点 连线 画出这三个函数的图象 如图 26 2 5 x 3 2 10123 2 1 2 yx 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 2 1 2 2 yx 1 2 0 1 2 2 25 2 8 25 2 2 1 2 2 yx 25 2 8 9 2 2 1 2 0 1 2 它们的开口方向都向上 对称轴分别是y轴 直线x 2 和直线x 2 顶点坐标分别是 0 0 2 0 2 0 探索探索 抛物线和抛物线分别是由 2 1 2 2 yx 2 1 2 2 yx 抛物线向左 向右平移两个单位得到的 如果要得 2 1 2 yx 到抛物线 应将抛物线作怎样的平移 2 1 4 2 yx 2 1 2 yx 实践与 探索 2 1 画图填空 抛物线的开口 对称轴是 2 1 yx 顶点坐标是 它可以看作是由抛物线向 2 yx 平移 个单位得到的 2 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 并指出它们的 2 2yx 2 2 3 yx 2 2 3 yx 开口方向 对称轴和顶点坐标 小结 与作业 回顾与反思回顾与反思 1 二次函数与图像之间的关系 2 1 2 2 yx 2 1 2 yx 2 对于抛物线 当x 时 函数值 2 1 2 2 yx y随x的增大而减小 当x 时 函数值y随x的增 大而增大 当x 时 函数取得最 值 最 值y 课堂作业课堂作业 1 不画出图象 请你说明抛物线与之 2 5yx 2 5 4 yx 间的关系 2 将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐 2 yax 标为 2 且新抛物线经过点 1 3 求的值 a 教学后记 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性质 4 本节共需 7 课时 本课为第 4 课时 主备人主备人 教学目标教学目标 1 掌握把抛物线平移至 k的规律 2 yax 2 ya xh 2 会画出 k 这类函数的图象 通过比较 了解这类函数的性 2 ya xh 质 教学重点教学重点 通过画图得出二次函数的性质 教学难点教学难点 识图能力的培养 教具准备教具准备 投影仪 胶片 课型课型新授课 教学过程教学过程初 备统复备 情境导入 由前面的知识 我们知道 函数的图象 向 2 2yx 上平移 2 个单位 可以得到函数的图象 函 2 22yx 数的图象 向右平移 3 个单位 可以得到函数 2 2yx 的图象 那么函数的图象 如何平移 2 2 3 yx 2 2yx 才能得到函数的图象呢 2 2 3 2yx 实践与 探索 1 例例 1 1 在同一直角坐标系中 画出下列函数的图象 并指出它们 2 1 2 yx 2 1 1 2 yx 2 1 1 2 2 yx 的开口方向 对称轴和顶点坐标 解解 1 列表 略 2 描点 3 连线 画出这三个函数的图象 如图 26 2 6 所 示 观察 它们的开口方向都向 对称轴分别为 顶点坐标分别为 请同学们完成填空 并观察三个图象之间的关系 探索探索 你能说出函数 k a h k是常数 2 ya xh a 0 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标吗 实践与 探索 2 填表 开口方向对称 轴 顶点坐标 0a k 2 ya xh 0a 小结 与作业 回顾与反思 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移 只影响二次函数 k中k的值 左右平移 只影响h的值 抛 2 ya xh 物线的形状不变 所以平移时 可根据顶点坐标的改变 确定平移前 后的函数关系式及平移的路径 此外 图 象的平移与平移的顺序无关 课堂作业 课堂作业 把抛物线向上平移 2 个单位 再向左 2 yxbxc 平移 4 个单位 得到抛物线 求b c的值 2 yx 教学后记 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性质 5 本节共需 7 课时 本课为第 5 课时 主备人主备人 教学目标教学目标 1 能通过配方把二次函数化成 k的形式 从而确 2 yaxbxc 2 ya xh 定开口方向 对称轴和顶点坐标 2 会利用对称性画出二次函数的图象 教学重点教学重点 通过画图得出二次函数的性质 教学难点教学难点 识图能力的培养 配方法 教具准备教具准备 多媒体课件 几何画板 4 06 课型课型新授课 教学过程教学过程初 备统 复 备 情境导入 由前面的知识 我们知道 函数的图象 2 2yx 向上平移 2 个单位 可以得到函数的图象 2 22yx 函数的图象 向右平移 3 个单位 可以得到函 2 2yx 数的图象 那么函数的图象 如何 2 2 3 yx 2 2yx 平移 才能得到函数的图象呢 2 2 3 2yx 实践与 探索 1 例例 1 1 通过配方 确定抛物线的开口 2 246yxx 方向 对称轴和顶点坐标 再描点画图 解解 2 246yxx 2 2 2 2 2 2 6 2 21 1 6 2 1 16 2 1 8 xx xx x x 因此 抛物线开口向下 对称轴是直线x 1 顶点坐标 为 1 8 由对称性列表 注意点 注意点 1 列表时选值 应以对称轴x 1 为中心 函数值可由对称性得到 2 描点画图时 要根据已 知抛物线的特点 一般先找出顶点 并用虚线画对称 轴 再对称描点 最后用平滑曲线顺次连结各点 探索 探索 对于二次函数 你能用配方法求 2 yaxbxc 出它的对称轴和顶点坐标吗 实践与 探索 2 例例 2 2 已知抛物线的顶点在坐标轴 2 2 9yxax 上 求的值 a 分析分析 顶点在坐标轴上有两种可能 1 顶点在x轴 上 则顶点的纵坐标等于 0 2 顶点在y轴上 则 顶点的横坐标等于 0 小结 与作业 回顾与反思 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移 只影响二次函数 k中k的值 左右平移 只影响h的值 2 ya xh 抛物线的形状不变 所以平移时 可根据顶点坐标的 改变 确定平移前 后的函数关系式及平移的路 径 此外 图象的平移与平移的顺序无关 课堂作业 课堂作业 1 当时 求抛物线的顶0a 22 212yxaxa 点所在的象限 2 已知抛物线的顶点a在直线 2 4yxxh 上 求抛物线的顶点坐标 41yx 教学后记 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性质 6 本节共需 7 课时 本课为第 6 课时 主备人 主备人 教学目标教学目标1 会通过配方求出二次函数的最大值或最小值 2 0 yaxbxc a 2 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用 会利用二次函数的 性质求实际问题中的最大值或最小值 教学重点教学重点会通过配方求出二次函数的最大值或最小值 2 0 yaxbxc a 教学难点教学难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用 会利用二次函数的性质 求实际问题中的最大值或最小值 教具准备教具准备 投影仪 胶片 课型课型新授课 教学过程教学过程初 备统 复 备 情境导入 在实际生活中 我们常常会碰到一些带有 最 字 的问题 如某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售 一天可销出约 100 件 该店想通过降低售 价 增加销售量的办法来提高利润 经过市场调查 发 现这种商品单价每降低 1 元 其销售量可增加约 10 件 将这种商品的售价降低多少时 能使销售利润最大 在这个问题中 设每件商品降价x元 该商品每天 的利润为y元 则可得函数关系式为二次函数 那么 此问题可归结为 自变 2 101002000yxx 量x为何值时函数y取得最大值 你能解决吗 实践与 探索 1 例例 1 1 求下列函数的最大值或最小值 1 2 235yxx 2 2 34yxx 分析分析 由于函数和的自变 2 235yxx 2 34yxx 量x的取值范围是全体实数 所以只要确定它们的图象 有最高点或最低点 就可以确定函数有最大值或最小 值 可通过配方法实现 解 1 二次函数 2 235yxx 当时 函数有最小值是 3 4 x 2 235yxx 49 8 2 二次函数 2 34yxx 当时 函数有最大值是 3 2 x 2 34yxx 25 4 探索探索 试一试 当 2 5 x 3 5 时 求二次函数 的最大值或最小值 2 23yxx 实践与 探索 2 例例 2 2 某产品每件成本是 120 元 试销阶段每件产品的 销售价x 元 与产品的日销售量y 件 之间关系如下 表 x 元 130150165 y 件 705035 若日销售量y是销售价x的一次函数 要获得最大销售 利润 每件产品的销售价定为多少元 此时每日销售利 润是多少 分析分析 日销售利润 日销售量 每件产品的利润 因此主 要是正确表示出这两个量 小结 与作业 回顾与反思回顾与反思 最大值或最小值的求法 第一步确定a的符号 a 0 有最小值 a 0 有最大值 第二步配方求顶点 顶 点的纵坐标纵坐标即为对应的最大值或最小值 课堂作业 课堂作业 如图 26 2 8 在 rtabc中 c 90 a bc 4 ac 8 点d在斜边ab上 分别作de ac df bc 垂足分 别为e f 得四边形decf 设 de x df y 1 用含y的代数式表示ae 2 求y与x之间的函数关系式 并求出x的取值范围 3 设四边形decf的面积为s 求s与x之间的函数 关系 并求出s的最大值 教学后记 教学内容教学内容 26 2 二次函数的图象与性质 7 本节共需 7 课时 本课为第 7 课时 主备人 教学目标教学目标 会根据不同的条件 利用待定系数法求二次函数的函数关系式 教学重点教学重点 会根据不同的条件 利用待定系数法求二次函数的函数关系式 教学难点教学难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用 会利用二次函数的性 质求实际问题中的实际问题 教具准备教具准备 投影仪 胶片 课型课型新授课 教学过程教学过程初 备统 复 备 情境导入 一般地 函数关系式中有几个独立的系数 那么就 需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式 例如 我们在确定一次函数的关系式时 通常 0 ykxb k 需要两个独立的条件 确定反比例函数的关 0 k yk x 系式时 通常只需要一个条件 如果要确定二次函数 的关系式 又需要几个条件呢 2 0 yaxbxc a 实践与 探索 1 例例 1 1 某涵洞是抛物线形 它的截面如图 26 2 9 所示 现测得水面宽 1 6m 涵洞顶点 o 到水面的距离为 2 4m 在图中直角坐标系内 涵洞所在的抛物线的函数 关系式是什么 分析分析 如图 以ab的垂直平分 线为y轴 以过点o的y轴的垂 线为x轴 建立了直角坐标 系 这时 涵洞所在的抛物线的 顶点在原点 对称轴是y轴 开 口向下 所以可设它的函数关系式是 此 2 0 yaxa 时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式 解解 由题意 得点b的坐标为 0 8 2 4 又因为点b在抛物线上 将它的坐标代入 2 0 yaxa 得 所以 2 2 40 8a 15 4 a 因此 函数关系式是 2 15 4