2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册

1 第第 2 2 课时课时 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 1 会解简单的分式不等式 2 会解不等式恒成立问题 3 会利用一元二次不等式解决一些实际问题 1 如何判断二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴的相关位置 答案 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴的相关位置 分为三种情况 这 可以由一元二次方程ax2 bx c 0 的判别式 b2 4ac三种取值情况 0 0 0 的解集为 r r 则实数a应满足什么条件 答案 结合二次函数图象可知 若一元二次不等式ax2 x 1 0 的解集为 r r 则 error 解得a 所以不存在a使不等式ax2 x 1 0 的解集为 r r 题型一解简单的分式不等式 典例 1 解下列不等式 1 0 2 2 x 2 1 x x 1 x 2 思路导引 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得 解 1 由0 x 2 1 x x 2 x 1 此不等式等价于 x 2 x 1 0 原不等式的解集为 x x1 2 解法一 移项得 2 0 x 1 x 2 左边通分并化简得 0 即 0 x 5 x 2 x 5 x 2 它的同解不等式为error x 2 或x 5 原不等式的解集为 x x 2 或x 5 2 解法二 原不等式可化为 0 x 5 x 2 此不等式等价于error 或error 解 得x 5 解 得x 2 原不等式的解集为 x x1 2 x x 3 解 1 原不等式可化为error 解得error x 或x 1 3 1 2 原不等式的解集为error 2 解法一 原不等式可化为 error 或error 解得error 或error 3 x0 2 x x 3 x 3 化简得 0 即 0 2x 1 x 3 2x 1 x 3 2x 1 x 3 0 解得 3 x 1 2 原不等式的解集为error 题型二有关一元二次不等式恒成立的问题 3 典例 2 已知不等式ax2 a 1 x a 1 0 对于所有的实数x都成立 求a的取 值范围 思路导引 原不等式对所有的实数x都成立 即原不等式 关于x 的解集为 r r 注意 到二次项的系数为参数a 故应分a 0 与a 0 两种情况分类讨论 解 若a 0 则原不等式为 x 1 1 不合题意 故a 0 令y ax2 a 1 x a 1 原不等式对任意x r r 都成立 二次函数y ax2 a 1 x a 1 的图象在x轴的下方 a 0 且 a 1 2 4a a 1 0 即error a 1 3 变式 若将本例改为 不等式ax2 a 1 x a 1 0 的解集为空集 如何求a的 取值范围 解 不等式ax2 a 1 x a 1 0 的解集为空集 即不等式ax2 a 1 x a 1 0 的解集为 r r 也就是不等式ax2 a 1 x a 1 0 对 任意的x r r 恒成立 故a的取值范围是a0 它的解集为 r r 的条件为error 一元二次不等式ax2 bx c 0 它的解集为 r r 的条件为error 一元二次不等式ax2 bx c 0 的解集为 的条件为error 针对训练 2 设a 0 不等式ax2 x a 0 的解集为 r r 求实数a的取值范围 解 由题意得 error 解得 a a的取值范围为a 1 2 1 2 题型三一元二次不等式的实际应用 典例 3 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品 并按每 100 元纳锐 10 元 又称 征税率为 10 个百分点 计划可收购a万担 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品 决定将征税率降低x x 0 个百分点 预测收购量可增加 2x个百分点 1 写出税收y 万元 与x的函数关系式 2 要使此项税收在税率调节后 不少于原计划税收的 83 2 试确定x的取值范围 4 思路导引 1 按 税收 收购总金额 税率 可建立y与x的函数关系式 2 将 不等关系用不等式表示 从而求解 解 1 降低税率后的税率为 10 x 农产品的收购量为a 1 2x 万担 收购总金额为 200a 1 2x 万元 依题意 y 200a 1 2x 10 x a 100 2x 10 x 0 x 10 1 50 2 原计划税收为 200a 10 20a 万元 依题意得 a 100 2x 10 x 20a 83 2 1 50 化简得 x2 40 x 84 0 42 x 2 又 0 x 10 0 x 2 x的取值范围是 012 s乙 0 05x 0 005x2 10 分别求解 得 x30 x40 由于x 0 从而得x甲 30 km h x乙 40 km h 经比较知乙车超过限速 应负主要责任 课堂归纳小结 1 解不等式的过程实际上就是不断转化的过程 是同解不等式的逐步代换 基本思路 是 代数化 分式整式化 有理化 低次化 低维化 最后转化到可解的常见一元一次不 5 等式 一元二次不等式上来 2 当一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为 r r 时 意味着ax2 bx c 0 恒成 立 由图象可知 关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式 即可 1 不等式 0 的解集是 x 2 x 3 a x 3 x2 c x x2 d x x3 解析 不等式 0 x 2 x 3 0 的解集是 x x2 所以 c 选项是 x 2 x 3 正确的 答案 c 2 若集合a x 1 2x 1 3 b error 则a b a x 1 x 0 b x 0 x 1 c x 0 x 2 d x 0 x 1 解析 a x 1 x 1 b x 0 x 2 a b x 00 的解集为 r r 则实数m的取值范围是 m 2 a m 2 b m 2 c m2 d 0 m 2 解析 由题意得 m2 4 0 即m2 2m 0 解得 0 m 2 m 2 答案 d 4 已知不等式x2 ax 4 0 的解集为空集 则a的取值范围是 a 4 a 4 b 4 a 4 c a 4 或a 4 d a4 解析 依题意应有 a2 16 0 解得 4 a 4 故选 a 答案 a 5 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式为 y 3000 20 x 0 1x2 0 x0 的解集是 4x 2 3x 1 a error b error c error d error 解析 0 4x 2 3x 1 0 x 或x 此不等式的解集为error 4x 2 3x 1 1 3 1 2 答案 a 2 不等式1 b x 1 x 2 c error d error 解析 原不等式等价于 1 0 0 x 1 1 2x 2 x x 1 1 2x x 1 0 解得x 1 2 答案 c 3 不等式 2 的解集是 x 5 x 1 2 a error b error c error d error 解析 原不等式等价于error error error 即error 答案 d 4 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园 阴 7 影部分 则其边长x 单位 m 的取值范围是 a 15 x 30 b 12 x 25 c 10 x 30 d 20 x 30 解析 设矩形的另一边长为y m 则由三角形相似知 y 40 x xy 300 x 40 x x 40 40 y 40 300 x2 40 x 300 0 10 x 30 答案 c 5 设集合p m 4 m 0 q m mx2 mx 1 0 x r r 则下列关系式成立的是 a p qb q p c p qd p q q 解析 对q 若mx2 mx 1 0 对x r r 恒成立 则 当m 0 时 1 0 恒成 立 当m 0 时 error 解得 4 m 0 由 得q m 4 m 0 故p q 答案 a 二 填空题 6 不等式 3 的解集为 x 1 x 解析 3 3 0 0 x 2x 1 0 且x 0 解得x 0 或x x 1 x x 1 x 2x 1 x 1 2 答案 error 7 若不等式x2 4x 3m0 的解集为 r r 则实数a的取值范围是 若 关于x的不等式x2 ax a 3 的解集不是空集 则实数a的取值范围是 8 解析 由 1 0 即a2 4 a 0 得 4 a 0 由 2 0 即a2 4 3 a 0 得 a 6 或a 2 答案 4 a 0 a 6 或a 2 三 解答题 9 解下列分式不等式 1 1 x 1 2x 3 2 0 2x 1 1 x 解 1 1 1 0 x 1 2x 3 x 1 2x 3 0 即 0 x 4 2x 3 x 4 x 3 2 此不等式等价于 x 4 0 且x 0 x 3 2 3 2 解得x 或x 4 3 2 原不等式的解集为error 2 由0 2x 1 1 x x 1 2 x 1 此不等式等价于 x 1 0 x 1 2 解得x1 1 2 原不等式的解集为error 10 若不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0 的解集为 r r 求实数a的取值范围 解 当a 2 0 即a 2 时 原不等式为 4 0 所以a 2 时成立 当a 2 0 时 由题意得error 即error 解得 2 a 2 综上所述可知 2 a 2 综合运用 11 在 r r 上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1 对任意的实数 x都成立 则a的取值范围是 9 解析 根据定义得 x a x a x a 1 x a x2 x a2 a 又 x a x a 0 对任意的实数x都成 立 所以 0 即 1 4 a 1 a2 0 解得 a 1 2 3 2 答案 a 1 2 3 2 12 若集合a x ax2 ax 1 0 则实数a的值的集合为 解析 当a 0 时 满足题意 当a 0 时 应满足error 解得 0 a 4 综上可知 a值的集合为 a 0 a 4 答案 a 0 a 4 13 已知关于x的不等式 0 的解集是 ax 1 x 1 error 则a 解析 0 ax 1 x 1 0 根据解集的结构可知 a 0 且 ax 1 x 1 a 2 1 a 1 2 答案 2 14 已知 2 x 3 时 不等式 2x2 9x a 0 恒成立 则a的取值范围为 解析 当 2 x 3 时 2x2 9x a 0 恒成立 当 2 x 3 时 a 2x2 9x恒 成立 令y 2x2 9x 2 x 3 且对称轴方程为x 9 4 ymin 9 a 9 a的取值范围为a 9 答案 a 9 15 某地区上年度电价为 0 8 元 kw h 年用电量为a kw h 本年度计划将电价降 低到 0 55 元 kw h 至 0 75 元 kw h 之间 而用户期望电价为 0 4 元 kw h 经测算 下 调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 比例系数为k 该地区电 力的成本价为 0 3 元 kw h 1 写出本年度电价下调后 电力部门的收益y与实际电价x的函数