常微分方程答案-4.2

习题习题 4 2 2 求解下列常系数线性微分方程 1 4 540 xxx 解 特征方程 42 540 特征根 1234 2211 基本解组 22 tttt eee e 所求通解 22 1234 1 2 3 4 tttt i xc ec ec ec eci A 2 23 330 xaxa xa x 解 特征方程 033 3223 aaa 特征根 1 2 3 a 基本解组 2 atatat etet e 所求通解 2 123 1 2 3 at i xcc tc teci A 3 5 40 x x 解 特征方程 04 35 特征根 1 2 345 022 基本解组 222 1 tt t tee 所求通解 222 12345 1 2 3 4 5 tt i xcc tc tc ec eci A 4 0 xxx 解 特征方程 01 2 特征根 1 2 13 2 i 基本解组 11 22 33 cos sin 22 tt etet 所求通解 11 22 12 33 cossin 1 2 22 tt i xc etc et ci A 5 属于类型 2 1sa st 解 齐次方程 2 0sa s 特征方程 0 22 a 特征根 12 aa 当 齐次方程通解 此时 0 不是特征根 0a 12 1 2 atat i sc ec eci A 故设特解为 将其代入原方程可得 从而特解为sAtB 2 1 a BA 所以所求通解 2 1 1st a 12 2 1 1 1 2 atat i sc ec etci a A 当 0 是二重特征根 故齐次方程通解 设0a 12 1 2 i scc t ci A 特解为 则将其代入原方程可得 从而特解为 2 stAtB 11 62 AB 所以所求通解 2 11 62 stt 2 12 11 1 2 62 i scc tttci A 6 属于类型 45223xxxxt 解 齐次方程 4520 xxxx 特征方程 0254 23 特征根 1 23 1 2 齐次方程通解 2 123 1 2 3 tt i xcc t ec eci A 0 不是特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 xAtB 1 4AB 从而特解为 所以所求通解 4xt 2 123 4 1 2 3 tt i xcc t ec etci A 7 属于类型 4 2 23xxxt 解 齐次方程 4 20 xxx 特征方程 42 210 特征根 1 23 4 1 1 齐次方程通解 1234 1 2 3 4 tt i xcc t ecc t eci A 方法一 常数变易法求解 设原方程通解为 则 1234 tttt xc t ect tect ect te 1234 1 1234 2 3 1234 4 2 1234 0 0 0 3 tttt tttt tttt tttt c t ect tect ect te c t c tecttectectte ct ct c tecttectectte ct c tecttectecttet 1 2 3 4 c t ct ct ct 所以将代入中即得原方 1 2 3 4 i c ti 1234 tttt xc t ect tect ect te 程通解 2 1234 1 1 2 3 4 tt i xcc t ecc t etci A 方法二 比较系数法求解 由于 0 不是特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 2 xAtBtC 从而特解为 所以所求通解 1 0 1ABC 2 1xt 2 1234 1 1 2 3 4 tt i xcc t ecc t etci A 10 属于类型 t xxe 解 齐次方程 0 xx 特征方程 01 3 特征根 1 23 13 1 2 i 齐次方程通解 11 22 123 33 cossin 1 2 3 22 tt t i xc etc etc e ci A 由于 1 是一重特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 t xAte 1 3 A 从而特解为 所以所求通解 1 3 t xte 11 22 123 331 cossin 1 2 3 223 tt tt i xc etc etc ete ci A 12 属于类型 t exxx 2 56 解 齐次方程 650 xxx 特征方程 056 2 特征根 12 1 5 齐次方程通解 5 12 1 2 tt i xc ec eci A 由于 2 不是特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 从 2t xAe 1 21 A 而特解为 所以所求通解 1 21 t xe 5 12 1 1 2 21 ttt i xc ec ee ci A 14 属于类型 的混合 注意和中 的系数ttxx2cossin sintcos2tt 不一样 解 齐次方程 0 xx 特征方程 01 2 特征根 1 2 i 齐次方程通解 12 cossin 1 2 i xctct ci A 对于 由于是一重特征根 故设其特解为sinxxt ii 则将其代入可得 从而 101 cossinxt AtAt sinxxt 01 1 0 2 AA 的特解为 sinxxt 1 1 cos 2 xtt 对于 由于不是特征根 故设其特解为cos2xxt 2ii 则将其代入可得 从而 201 cos2sin2xBtBt cos2xxt 01 1 0 3 BB 的特解为 cos2xxt 2 1 cos2 3 xt 所以原方程特解为 故所求通解 12 11 coscos2 23 xxxttt 12 11 cossincoscos2 1 2 23 i xctctttt ci A 15 属于类型 和 的混合 2 441 tt xxxee 解 齐次方程 440 xxx 特征方程 2 440 特征根 1 2 2 齐次方程通解 2 12 1 2 t i xcc t eci A 对于 由于 1 不是特征根 故设其特解为 则将44 t xxxe 10 t xA e 其代入可得 从而的特解为 44 t xxxe 0 1A 44 t xxxe 1 t xe 对于 由于 2 是二重特征根 故设其特解为 2 44 t xxxe 22 20 t xB t e 则将其代入可得 从而的特解为 2 44 t xxxe 0 1 2 B 2 44 t xxxe 22 2 1 2 t xt e 对于 由于 0 不是特征根 故设其特解为 则将其441xxx 30 xC 代入可得 从而的特解为 441xxx 0 1 4 C 441xxx 3 1 4 x 所以 原方程特解为 故所求通解 22 123 11 24 tt xxxxet e 222 12 11 1 2 24 ttt i xcc t eet eci A 20 不属于类型 的混合 用常数变易法求解 1 1 sin xx t 解 齐次方程 0 xx 特征方程 01 2 特征根 1 2 i 齐次方程通解 12 cossin 1 2 i xctct ci A 设原方程通解为 则 12 cossinxc ttctt 12 11 2212 cossin0 cos1 sin 1 coscotsinln sincossin1 sin c ttctt c tttc tt ctttctttc ttctt t 所以所求通解 12 12 cossincoscossinln sinsin cossin1cossin ln sin 1 2 i xctcttttttt ctcttttt ci A 3 求下列方程的