2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系学案 新人教A版必修第一册

1 5 5 2 22 2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 1 能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式 2 理解同角三角函数的基本关系式 3 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简 求值和证明 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 sin2 cos2 1 2 商数关系 tan sin cos k 2 k z z 这就是说 同一个角 的正弦 余弦的平方和等于 1 商等于角 的正切 k k z z 2 温馨提示 1 注意 同角 这里 同角 有两层含义 一是 角相同 二是对 任 意 一个角 在使函数有意义的前提下 都成立 即与角的表达形式无关 如 sin23 cos23 1 成立 但是 sin2 cos2 1 就不一定成立 2 sin2 是 sin 2的简写 读作 sin 的平方 不能将 sin2 写成 sin 2 前 者是 的正弦的平方 后者是 2的正弦 3 注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的 sin2 cos2 1 对一切 r r 恒成立 而 tan 仅对 k k z z 成立 sin cos 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 对任意角 sin2 cos2 1 都成立 3 3 2 对任意角 tan2 都成立 sin2 cos2 3 若 cos 0 则 sin 1 2 4 若 sin 则 cos 3 51 sin2 4 5 答案 1 2 3 4 题型一利用同角三角函数的基本关系式求值 典例 1 1 已知 cos 求 sin 和 tan 4 5 2 已知 tan 3 求的值 sin2 2sin cos cos2 4cos2 3sin2 思路导引 利用同角三角函数的基本关系式求解 解 1 sin2 1 cos2 1 2 2 4 5 3 5 因为 cos 0 所以 是第二或第三象限角 4 5 当 是第二象限角时 sin tan 3 5 sin cos 3 4 当 是第三象限角时 sin tan 3 5 sin cos 3 4 2 原式 tan2 2tan 1 4 3tan2 9 2 3 1 4 3 32 2 23 变式 1 由本例 2 条件变为 2 求的值 sin cos sin cos 4sin cos 3sin 5cos 2 若本例 2 条件不变 求 sin2 cos2 的值 3 4 1 2 解 1 由 2 得 tan 3 sin cos sin cos 所以原式 4tan 1 3tan 5 4 3 1 3 3 5 11 14 2 原式 3 4sin2 1 2cos2 sin2 cos2 3 4tan2 1 2 tan2 1 3 4 9 1 2 9 1 29 40 3 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 1 若已知 sin m 可以先应用公式 cos 求得 cos 的值 再由公 1 sin2 式 tan 求得 tan 的值 sin cos 2 若已知 cos m 可以先应用公式 sin 求得 sin 的值 再由公 1 cos2 式 tan 求得 tan 的值 sin cos 3 已知 tan m 可以求或的值 asin bcos csin dcos asin2 bsin cos ccos2 dsin2 esin cos fcos2 将分子分母同除以 cos 或 cos2 化成关于 tan 的式子 从而达到求值的目的 4 对于asin2 bsin cos ccos2 的求值 可看成分母是 1 利用 1 sin2 cos2 进行代替后分子分母同时除以 cos2 得到关于 tan 的式子 从而可 以求值 针对训练 1 已知 sin 并且 是第二象限角 求 cos 和 tan 12 13 解 cos2 1 sin2 1 2 2 又 是第二象限角 所以 12 13 5 13 cos 0 cos 0 原式 tan tan 1 sin2 sin2 cos2 sin2 1 sin cos cos sin sin cos cos sin 4 化简 sin2 sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 解 原式 sin2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 1 题型三证明简单的三角恒等式 典例 3 求证 tan sin tan sin tan sin tan sin 思路导引 从一边证明 使它等于另一边 证明 右边 tan2 sin2 tan sin tan sin 5 tan2 tan2 cos2 tan sin tan sin tan2 1 cos2 tan sin tan sin tan2 sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin 左边 原等式成立 证明三角恒等式常用的方法 1 从一边开始 证得它等于另一边 一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边 其 依据是相等关系的传递性 2 左右归一法 即证明左右两边都等于同一个式子 其依据是等于同一个量的两个量 相等 3 综合法 即由一个已知成立的等式 如公式等 恒等变形得到所要证明的等式 其依 据是等价转化的思想 4 比较法 即证左边 右边 0 或证 1 左边 右边 针对训练 5 求证 1 sin 1 cos cos tan 1 cos 证明 sin 1 cos cos tan 1 cos sin 1 cos cos sin cos 1 cos 1 sin 1 cos sin 1 cos sin2 1 cos2 sin2 sin2 课堂归纳小结 1 利用同角三角函数的基本关系式 可以由一个角的一个三角函数值 求出这个角 的其它三角函数值 2 利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简 结果要求 1 项数尽量少 2 次数尽量低 3 分母 根式中尽量 不含三角函数 4 能求值的尽可能求值 3 在进行三角函数式的化简或求值时 细心观察题目的特征 灵活 恰当地选用公式 统一角 统一函数 降低次数是三角函数关系式变形的出发点 利用同角三角函数的基本 6 关系主要是统一函数 要掌握 切化弦 和 弦化切 的方法 1 下列等式中恒成立的个数为 sin21 1 cos21 sin2 cos2 sin23 cos23 sin tan cos 2 k k z z a 1 b 2 c 3 d 0 解析 都正确 故选 c 答案 c 2 已知 是第四象限角 cos 则 sin 等于 12 13 a b 5 13 5 13 c d 5 12 5 12 解析 sin2 cos2 1 sin2 1 cos2 1 又 是第四 144 169 25 169 象限角 sin 0 即 sin 5 13 答案 b 3 化简 1 cos 的结果是 1 sin 1 tan a sin b cos c 1 sin d 1 cos 解析 1 cos 1 cos 1 sin 1 tan 1 sin cos sin 1 cos2 sin sin sin2 sin 答案 a 4 已知 sin 则 sin4 cos4 的值为 5 5 a b 1 5 3 5 7 c d 1 5 3 5 解析 sin4 cos4 sin2 cos2 2sin2 1 1 2 5 3 5 答案 b 5 若 tan 2 求 sin cos 解 sin cos sin cos sin2 cos2 sin cos cos2 sin2 cos2 cos2 而 tan 2 tan tan2 1 原式 2 2 2 1 2 5 课内拓展 课外探究 sin cos 与 sin cos 关系的应用 sin cos sin cos sin cos 三个式子中 已知其中一个 可以求其它 两个 即 知一求二 它们之间的关系是 sin cos 2 1 2sin cos 典例 已知 sin cos 0 求 1 5 1 sin cos 2 sin cos 3 sin3 cos3 解 1 由 sin cos 1 5 平方得 2sin cos sin cos 24 25 12 25 2 sin cos 2 1 2sin cos 1 24 25 49 25 sin cos 7 5 又由 1 知 sin cos 0 cos cos1 所以 sin1 cos1 故选 a 1 2sin1cos1 sin1 cos1 2 答案 a 5 已知 sin cos 且 则 cos sin 的值为 1 8 4 2 a b 3 2 3 4 c d 3 2 3 2 解析 cos sin 2 1 2sin cos 因为 cos 所以 cos sin 故选 c 3 2 答案 c 二 填空题 6 若 1 则 tan 的值为 2sin cos 3sin 2cos 解析 1 化为 1 2sin cos 3sin 2cos 2tan 1 3tan 2 所以 2tan 1 3tan 2 所以 tan 3 答案 3 7 已知 sin 且 sin cos 1 则 tan 等于 12 13 解析 因为 sin cos 1 所以 cos 0 所以 cos 1 sin2 5 13 所以 tan sin cos 12 5 答案 12 5 10 三 解答题 8 化简 为第二象限角 1 cos2 1 tan2 1 sin 1 sin 解 是第二象限角 cos 0 则原式 1 cos2 1 sin2 cos2 1 sin 2 1 sin2 1 cos2 cos2 cos2 sin2 1 sin cos tan cos cos2 1 sin cos 1 1 sin cos sin cos 9 已知 1 求下列各式的值 tan tan 1 1 sin 3cos sin cos 2 sin2 sin cos 2 解 因为 1 所以 tan tan tan 1 1 2 1 原式 tan 3 tan 1 5 3 2 原式 2 sin2 sin cos sin2 cos2 2 2 tan2 tan tan2 1 1 4 1 2 1 4 1 13 5 10 求证 2sinxcosx 1 cos2x sin2x tanx 1 tanx 1 证明 证法一 左边 2sinxcosx sin2x cos2x cos2x sin2x sin2x 2sinxcosx cos2x cos2x sin2x sinx cosx 2 sin2x cos2x sinx cosx 2 sinx cosx sinx cosx 右边 sinx cosx sinx cosx tanx 1 tanx 1 原式成立 11 证法二 右边 sinx cosx 1 sinx cosx 1 sinx cosx sinx cosx 左边 1 2sinxcosx sin2x cos2x sinx cosx 2 sin2x cos2x sinx cosx 2 sinx cosx sinx cosx sinx cosx sinx cosx 左边 右边 原式成立 综合运用 11 若 1 sin cos 0 成立 则角 不可能是 sin2 cos2 a 第二 三 四象限角b 第一 二 三象限角 c 第一 二 四象限角d 第一 三 四象限角 解析 由于 1 sin cos 0 且 1 sin2 cos2 0 所 sin2 cos2 以 sin 0 cos 0 故选 c 答案 c 12 若 3 则 cos 2sin 等于 1 cos sin a 1 b 1 c d 1 或 2 5 2 5 解析 若 3 则 1 cos 3sin 又 sin2 cos2 1 所以 1 cos sin sin cos 3sin 1 3 5 4 5 所以 cos 2sin 故选 c 2 5 答案 c 13 已知 cos 0 则 sin 4 1 3 2 4 解析 0 0 4 sin 4 1 1 3 2 2 2 3 答案 2 2 3 12 14 已知f tanx 则f 1 cos2x3 解析 因为f tanx tan2x