2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案 新人教A版必修第一册

1 3 3 3 3 幂函数幂函数 1 理解幂函数的概念 2 掌握y x 1 1 2 3 的图象与性质 1 2 3 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征 能运用数形结合的方法处理幂函数的有 关问题 1 幂函数的概念 一般地 函数y x 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 2 常见幂函数的图象与性质 2 温馨提示 幂函数在区间 0 上 当a 0 时 y x 是增函数 当 0 时 y x 是增函数 答案 1 2 3 4 题型一幂函数的概念 典例 1 1 在函数 y y x2 y 2x y 1 y 2x2 y x中 1 x 是幂函数的是 a b c d 2 已知幂函数y m2 m 1 xm 2 2m 3 求此幂函数的解析式 并指出其定义域 思路导引 紧扣幂函数的定义求解 解析 1 幂函数是形如y x 为常数 的函数 是 1 的情形 是 2 的情形 是 的情形 所以 都是幂函数 是指数函数 不是幂函数 1 2 中x2的系数是 2 所以不是幂函数 是常函数 不是幂函数 所以只有 是幂函 数 故选 c 2 y m2 m 1 x m 2 2m 3 为幂函数 m2 m 1 1 解得m 2 或m 1 当m 2 时 m2 2m 3 3 则y x 3 且有x 0 当m 1 时 m2 2m 3 0 则y x0 且有x 0 故所求幂函数的解析式为y x 3或y x0 它们的定义域都是 x x 0 答案 1 c 2 见解析 3 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x 为常数 的形式 即函数 的解析式为一个幂的形式 且需满足 1 指数为常数 2 底数为自变量 3 系数为 1 针对训练 1 下列函数中不是幂函数的是 a y b y x x c y 22xd y x 1 解析 函数y 22x 4x不是幂函数 故选 c 答案 c 2 若幂函数f x 满足f 9 3 则f 100 解析 设f x x 由f 9 3 得 9 3 f x x 1 2 f 100 100 10 答案 10 题型二幂函数的图象与性质 典例 2 已知幂函数f x x 的图象过点p 试画出f x 的图象并指出该 2 1 4 函数的定义域与单调区间 思路导引 求出 结合图象确定定义域和值域 解 由f 2 得 2 1 4 1 4 解得 2 所以f x x 2 f x 的图象如图所示 定义域为 0 0 单调减区间为 0 单 调增区间为 0 变式 1 本例条件不变 试判断f x 的奇偶性 2 本例中点p变为 判断函数f x 的奇偶性与单调性 8 1 2 解 1 由f x x 2 x 2 f x 得f x 是偶函数 4 2 由f 8 得 8 解得 所以f x x 其定义域为 0 1 2 1 2 1 3 0 是奇函数 在 0 和 0 上都是减函数 解决幂函数图象问题应把握的 2 个原则 1 依据图象高低判断幂指数大小 相关结论为 在 0 1 上 指数越大 幂函数图象 越靠近x轴 简记为指大图低 在 1 上 指数越大 幂函数图象越远离x轴 简记 为指大图高 2 依据图象确定幂指数 与 0 1 的大小关系 即根据幂函数在第一象限内的图象 类 似于y x 1或y x或y x3 来判断 针对训练 3 如图 图中曲线是幂函数y x 在第一象限的大致图象 已知 取 2 2 四个值 则相应于曲线c1 c2 c3 c4的 的值依次为 1 2 1 2 a 2 2 1 2 1 2 b 2 2 1 2 1 2 c 2 2 1 2 1 2 d 2 2 1 2 1 2 解析 令x 2 则 22 2 2 2 2 故相应于曲线c1 c2 c3 c4的 值依次为 2 2 故选 b 1 2 1 2 答案 b 4 如图是幂函数y xm与y xn在第一象限内的图象 则 5 a 1 n 0 m 1 b n 1 0 m 1 c 1 n1 d n1 解析 在 0 1 内取x0 作直线x x0 与各图象有交点 则 点低指数大 如图 0 m 1 n 1 答案 b 题型三利用幂函数的性质比较大小 典例 3 1 比较下列各题中两个值的大小 思路导引 构造幂函数 利用幂函数的单调性比较大小 6 2 因为y x在定义域 0 上是增函数 所以error 解得 1 m 2 3 故实数m的取值范围为 1 2 3 比较幂值大小的方法 1 若指数相同 底数不同 则考虑幂函数 2 若指数不同 底数相同 则考虑借助图象求解 3 若指数与底数都不同 则考虑插入中间数 使这个数的底数与所比较数的一个底数 相同 指数与另一个数的指数相同 那么这个数就介于所比较的两数之间 进而比较大 小 针对训练 5 比较下列各组数的大小 7 6 已知幂函数f x x 若f a 1 0 易知f x 在 0 上为减函数 又f a 1 1 x f 10 2a error 解得error 3 a0 幂函数在 0 上有意义 且是增函数 3 如果 0 幂函数在x 0 处无意义 在 0 上是减函数 1 下列函数是幂函数的是 a y 5xb y x5 c y 5xd y x 1 3 解析 函数y 5x是指数函数 不是幂函数 函数y 5x是正比例函数 不是幂函 数 函数y x 1 3的底数不是自变量x 不是幂函数 函数y x5是幂函数 答案 b 2 设a 20 3 b 30 2 c 70 1 则a b c的大小关系为 a c a bb a c b c a b cd c b a 解析 a 20 3 80 1 b 30 2 90 1 c 70 1 由幂函数y x0 1在 0 上单调 递增 可知c a b 答案 a 3 函数y x的图象是 解析 由幂函数y x的性质知 图象过点 0 0 1 1 故排除 a d 因为y x 中 0 1 所以函数图象在第一象限内上凸递增 排除 c 故选 b 1 3 答案 b 9 4 已知幂函数f x 的图象过点 4 2 则f 1 8 解析 设幂函数为y x 为常数 函数f x 的图象过点 4 2 2 4 f x x 1 2 f 1 8 1 8 2 4 答案 2 4 5 已知幂函数y x3m 9 m n n 的图象关于y轴对称 且在区间 0 上是减函数 求f x 的解析式 解 幂函数y x3m 9在 0 上是减函数 3m 9 0 即mb cb c a b c a bc a 解析 构造幂函数y x x 0 由该函数在定义域内单调递增 知 1 a b 又c 2 1 知aa b 答案 b 3 函数y x的图象大致是图中的 5 3 解析 函数y x是奇函数 且 1 函数在 r r 上单调递增 故选 b 5 3 答案 b 4 若幂函数y m2 3m 3 xm 2 2m 3 的图象不过原点 且关于原点对称 则 a m 2b m 1 c m 2 或m 1d 3 m 1 解析 根据幂函数的概念 得m2 3m 3 1 解得m 1 或m 2 若m 1 则y x 4 其图象不关于原点对称 所以不符合题意 舍去 若m 2 则y x 3 其 图象不过原点 且关于原点对称 11 答案 a 5 下列结论中 正确的是 a 幂函数的图象都经过点 0 0 1 1 b 幂函数的图象可以出现在第四象限 c 当幂指数 取 1 3 时 幂函数y x 是增函数 1 2 d 当 1 时 幂函数y x 在其整个定义域上是减函数 解析 当幂指数 1 时 幂函数y x 1的图象不经过原点 故 a 错误 因为所 有的幂函数在区间 0 上都有定义 且y x r r 0 所以幂函数的图象不可能 出现在第四象限 故 b 错误 当 0 时 y x 是增函数 故 c 正确 当 1 时 y x 1在区间 0 0 上是减函数 但在整个定义域上不是减函数 故 d 错 误 故选 c 答案 c 二 填空题 6 若y ax是幂函数 则该函数的值域是 解析 由已知y ax是幂函数 得a 1 所以y x 所以y 0 故该函数的值 域为 0 答案 0 7 函数y 3x 2 的图象过定点 解析 依据幂函数y x 性质 x 1 时 y 1 恒成立 所以函数y 3x 2 中 x 1 时 y 1 恒成立 即过定点 1 1 答案 1 1 8 已知当x 1 时 函数y x 的图象恒在直线y x的上方 则 的取值 范围是 解析 由幂函数的图象特征知 1 答案 1 三 解答题 9 已知幂函数y f x 的图象过点 试求出此函数的解析式 判断奇偶性 2 2 2 解 设y x r r 图象过点 2 2 2 2 f x x 2 2 1 2 函数y x 定义域为 0 函数为非奇非偶函数 1 x 12 10 已知幂函数y f x x 2m 2 m 3 其中 m x 2 x 2 x z z 满足 是区间 0 上的增函数 对任意的x r r 都有f x f x 0 求同时满足 的幂函数f x 的解析式 并求x 0 3 时f x 的值域 解 因为m x 2 x 2 x z z 所以m 1 0 1 因为对任意x r r 都有f x f x 0 即f x f x 所以f x 是奇函数 当m 1 时 f x x2只满足条件 而不满足条件 当m 1 时 f x x0条件 都不满足 当m 0 时 f x x3条件 都满足 且在区间 0 3 上是增函数 所以x 0 3 时 函数f x 的值域为 0 27 综合运用 11 已知幂函数f x x3m 5 m n n 在 0 上是减函数 且f x f x 则m 可能等于 a 0b 1 c 2d 3 解析 f x 在 0 上是减函数 3m 5 0 m n n 则m 0 或m 1 当 m 0 时 f x x 5是奇函数 不合题意 当m 1 时 f x x 2是偶函数 因此m 1 故选 b 答案 b 12 在同一坐标系内 函数y xa a 0 和y ax 的图象可能是 1 a 解析 当a0 y xa在 1 a 1 a 0 上是减函数 a d 项均不正确 对于 b c 项 若a 0 则y ax 是增函数 1 a b 项错 c 项正确 故选 c 答案 c 13 13 如图所示 曲线c1与c2分别是函数y xm和y xn在第一象限内的图象 则下列结 论正确的是 a n m 0 b m nm 0 d m n 0 解析 由图象可知 两函数在第一象限内递减 故m 0 n2n 所 以n m 0 答案 a 14 已知函数f x x在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 那么最小 的正整数 解析 取值验证 1 时 y x0 不满足 2 时 y x 在 0 上是 减函数 它为奇函数 则在 0 上也是减函数 不满足 3 时 y