2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制学案 新人教A版必修第一册

1 5 5 1 21 2 弧度制弧度制 1 了解弧度制 2 能进行角度与弧度的互化 3 能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解 1 角的单位制 1 角度制 规定 1 度的角等于周角的 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制 1 360 2 弧度制 我们规定 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度 radian 的角 弧度单位 用符号 rad 表示 读作弧度 在半径为r的圆中 弧长为l的弧所对的圆心角为 rad 那么 l r 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是 0 2 角度与弧度的换算 3 扇形的弧长公式及面积公式 2 温馨提示 1 运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单 得多 但要注意它的前提是 为弧度制 2 在运用公式时 还应熟练地掌握这两个公式的变形运用 l r r s r2 l r l 1 2 2s r2 1 在大小不同的圆中 长为 1 的弧所对的圆心角相等吗 答案 不相等 这是因为长为 1 的弧是指弧的长度为 1 在大小不同的圆中 由于 半径不同 所以圆心角也不同 2 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似 对应的图形是否也类似 答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似 实际上 扇形可看作是一个曲边 三角形 弧是底 半径是底上的高 3 判断正误 正确的打 错误的打 1 1 弧度 1 2 不管是以弧度还是以度为单位的角的大小 都是一个与半径的大小无关的定值 3 用弧度制度量角 与圆的半径长短有关 4 与 45 终边相同的角可以写成 2k 45 k z z 答案 1 2 3 4 题型一角度与弧度的互化 典例 1 将下列角度与弧度进行互化 1 20 2 15 3 4 7 12 11 5 3 思路导引 角度与弧度的互化关键抓住 1 rad 和 1 rad 180 180 解 1 20 20 180 9 2 15 15 180 12 3 180 105 7 12 7 12 4 180 396 11 5 11 5 角度制与弧度制互化的原则 牢记 180 rad 充分利用 1 rad 和 1 rad 进行换算 180 180 针对训练 1 630 化为弧度为 解析 630 630 180 7 2 答案 7 2 2 3 rad 它是第 象限角 解析 根据角度制与弧度制的换算 1 rad 则 3 rad 180 540 171 9 分析可得 是第三象限角 答案 三 题型二用弧度制表示终边相同的角 典例 2 已知角 2010 1 将 改写成 2k k z z 0 2 的形式 并指出 是第几象限的角 2 在区间 5 0 上找出与 终边相同的角 思路导引 利用终边相同的角的集合表示 解 1 2010 2010 5 2 180 67 6 7 6 4 又 7 6 3 2 与终边相同 是第三象限的角 7 6 2 与 终边相同的角可以写成 2k k z z 又 5 0 7 6 当k 3 时 29 6 当k 2 时 17 6 当k 1 时 5 6 用弧度制表示终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的集合用弧度可表示为 2k k z z 这里 应为弧度数 针对训练 3 已知 800 1 把 改写成 2k k z z 0 2 的形式 并指出 是第几象限角 2 求 使 与 的终边相同 且 2 2 解 1 800 3 360 280 280 14 9 800 3 2 14 9 与角终边相同 是第四象限角 14 9 2 与 终边相同的角可写为 2k k z z 的形式 而 与 的终边相同 14 9 2k k z z 14 9 又 2 2 5 2k k z z 2 14 9 2 解得k 1 2 14 9 4 9 题型三扇形的弧长公式及面积公式的应用 典例 3 已知扇形的周长为 10 面积为 4 求扇形的圆心角的弧度数 思路导引 利用扇形的弧长公式l r及面积公式s lr r2求解 1 2 1 2 解 设扇形的圆心角的弧度数为 0 2 rad 故舍去 当r 4 时 l 2 此时 rad 满足题意 2 4 1 2 故 rad 1 2 变式 若本例条件改为 已知扇形aob的周长为 10 cm 求该扇形的面积的最大 值及取得最大值时圆心角的大小及弧长 解 设扇形圆心角的弧度数为 0 2 弧长为l 半径为r 面积为s 由l 2r 10 得l 10 2r s lr 10 2r r 5r r2 2 1 2 1 2 r 5 2 25 4 0 r1 所以 c 正 1 360 1 2 180 确 用角度制和弧度制度量角 都与圆的半径无关 所以 d 错误 7 答案 d 2 2100 化成弧度是 a b 10 35 3 c d 28 3 25 3 解析 2100 2100 180 35 3 答案 a 3 角 的终边所在的象限是 29 12 a 第一象限b 第二象限 c 第三象限d 第四象限 解析 4 的终边位于第四象限 故选 d 29 12 19 12 19 12 答案 d 4 在半径为 2 的圆中 弧长为 4 的弧所对的圆心角的大小是 rad 解析 根据弧度制的定义 知所求圆心角的大小为 2 rad 4 2 答案 2 5 已知扇形的周长为 8 cm 圆心角为 2 则扇形的面积为 cm2 解析 设扇形的半径为r cm 弧长为l cm 由圆心角为 2 rad 依据弧长公式可得 l 2r 从而扇形的周长为l 2r 4r 8 解得r 2 则l 4 故扇形的面积s lr 4 2 4 cm2 1 2 1 2 答案 4 课后作业 三十八 复习巩固 一 选择题 1 转化为角度是 10 3 a 300 b 600 c 900 d 1200 解析 由于 600 所以选 b 10 3 10 3 180 答案 b 8 2 与 30 角终边相同的角的集合是 a error b 2k 30 k z z c 2k 360 30 k z z d error 解析 与 30 角终边相同的角表示为 k 360 30 k z z 化为弧度为 2k k z z 选 d 6 答案 d 3 下列说法正确的是 a 在弧度制下 角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系 b 每个弧度制的角 都有唯一的角度制的角与之对应 c 用角度制和弧度制度量任一角 单位不同 数量也不同 d 120 的弧度数是 2 3 解析 a 项中 零角的弧度数为 0 故 a 项错误 b 项是正确的 c 项中 用角度制 和弧度制度量零角时 单位不同 但数量相同 都是 0 故 c 项错误 120 对应的弧度 数是 故 d 项错误 故选 b 2 3 答案 b 4 已知扇形的面积为 2 扇形圆心角的弧度数是 4 则扇形的周长为 a 2 b 4 c 6 d 8 解析 设扇形所在圆的半径为r 则 2 4 r2 r2 1 r 1 扇形的弧长 1 2 为 4 1 4 扇形的周长为 2 4 6 故选 c 答案 c 5 集合error 中的角所表示的范围 阴影部分 是 解析 当k 2m m z z 时 2m 2m m z z 当k 2m 1 m z z 时 4 2 9 2m 2m m z z 故选 c 5 4 3 2 答案 c 二 填空题 6 将 1485 表示成 2k 0 2 k z z 的形式是 解析 1485 5 360 315 而 315 7 4 应填 10 7 4 答案 10 7 4 7 若扇形的半径为 1 圆心角为 3 弧度 则扇形的面积为 解析 由于扇形面积s r2 3 12 故扇形的面积为 1 2 1 2 3 2 3 2 答案 3 2 8 已知两角和为 1 弧度 且两角差为 1 则这两个角的弧度数分别是 解析 设两个角的弧度数分别为x y 因为 1 rad 所以error 解得error 所 180 以所求两角的弧度数分别为 1 2 360 1 2 360 答案 1 2 360 1 2 360 三 解答题 9 已知 1690 1 把 写成 2k k z z 0 2 的形式 2 求 使 与 终边相同 且 4 4 解 1 1690 1440 250 4 360 250 4 2 25 18 2 与 终边相同 2k k z z 25 18 又 4 4 4 2k 4 25 18 k k z z k 2 1 0 1 97 36 47 36 10 的值是 47 18 11 18 25 18 61 18 10 已知扇形的圆心角所对的弦长为 2 圆心角为 求 2 3 1 这个圆心角所对的弧长 2 这个扇形的面积 解 1 因为扇形的圆心角所对的弦长为 2 圆心角为 所以半径 2 3 r 1 sin 3 2 3 3 所以这个圆心角所对的弧长l 2 3 3 2 3 4 3 9 2 由 1 得扇形的面积s 1 2 2 3 3 4 3 9 4 9 综合运用 11 把 表示成 2k k z z 的形式 使 最小的 值是 11 4 a b 3 4 4 c d 4 3 4 解析 2 与 是终边相同的角 且此时 11 4 3 4 11 4 3 4 3 4 是最小的 3 4 答案 a 12 已知集合a 2k 2k 1 k z z b 4 4 则a b 等于 a b 4 c 0 d 4 或 0 解析 a集合中满足b集合范围的只有k 0 或k 1 的一部分 即只有 d 选项满 足 故选 d 答案 d 13 若角 的终边关于直线y x对称 且 则在 0 4 内满足要求的 6 11 解析 由角 的终边关于直线y x对称 及 可得 6 2k 2k 令k 0 1 可得结果 2 3 答案 3 7 3 14 圆的半径变为原来的 3 倍 而所对弧长不变 则该弧所对圆心角是原来圆弧所对 圆心角的 倍 解析 设原来圆的半径为r 弧长为l 弧所对的圆心角为 则现在的圆的半径 为 3r弧长为l 设弧所对的圆心角为 于是l r 3r 1 3 答案 1 3 15 如图 动点p q从点a 4 0 出发 沿圆周运动 点p按逆时针方向每秒