(天津大学)现代设计方法习题及答案

习题一 1 论述产品设计过程中系统设计 参数设计及公差设计的目的与作用 论述产品设计过程中系统设计 参数设计及公差设计的目的与作用 系统设计 根据产品的功能要求 进行产品的系统功能和原理设计 即将功能需求映射为 物理原理 从而得到产品的初始设计方案 通过对不同方案分析比较 得到合 理的初始设计方案 参数设计 基于初始设计方案 建立产品的系统模型 以性能 质量 成本等为优化目标 对产品的系统参数优化设计 通过系统参数的合理化 实现性能 质量 成本 的综合最优 公差设计 在参数设计基础上 进一步以性能 质量 成本综合最优为目标 对参数的公 差 如需波动的范围 进行优化 2 用黄金分割法求解用黄金分割法求解 初始区间为 0 3 迭代 2 次 10 2 2 x min xf 第一轮迭代 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 12 a 0b 3 xa0 382 ba 1 146 f x 0 7293 xa0 618 ba 1 854 f x 0 0213 f x 0 7293 f x 0 0213 0 1 146 1 146 3 淘汰区间 新区间为 第二轮迭代 2 1 12 2 1 2 2 2 2 2 2 21 a 1 146b 3 xx 1 854 f x 0 0213 xa0 618 ba 2 2918 f x 0 0851 f x 0 0851 f x 0 0213 2 2918 3 1 146 2 2918 淘汰区间 新区间为 2 1 f 1 146 0 7293 f 2 2918 0 0851 1 146 2 2918 f 0 0790 2 f x f 1 854 0 0213 minf x 0 0213x1 854 3 论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点 论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点 经典优化方法 1 基于经典的线性 非线性数学规划理论 2 一般需要解析形式的优化模型 只能处理模型简单的优化问题 3 得到的结果一般为局部最优解 现代优化方法 1 基于遗传 模拟退火等现代优化算法 并结合实验设计方法 2 不需要解析形式的优化模型 可以处理模型复杂 多目标优化问题 3 可以得到全局最优解 4 论述论述梯度法的原理梯度法的原理 并用梯度法求解 并用梯度法求解 初始点 初始点 X 0 21 2 2 2 1 xx min xxXF 1 1 一维优化用解析法 一维优化用解析法 迭代 迭代 2 次 次 梯度法的原理 基于沿负梯度方向 目标函数在当前位置下降最快这一事实 将 n 维优化问题 求解转化为沿负梯度方向的一维搜索 迭代求优过程 搜索方向 最优步长 迭代公式 收敛判据 解 1 min kkkk kkk kk SXX SXF XFS k XF 12 21 0 0 0 0 2 1 0 0 1 1 1 2 2xx 3 S 3 min X 3 1 3 d 2 3 1 3 3 0 d 1 3 1 30 X X 1 30 0 X X 0 0 0 X 0 xx F X F X FF X F F X FF 确定最优步长 满足收敛条件 1 X 0 F 为问题的最优解 5 论述优化问题的收敛准则 论述优化问题的收敛准则 数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列 时 当 n F F F F n n 2 2 1 1 0 0 XXXXXXXX 该序列收敛于优化问题的解 根据序列理论 序列收敛的条件为 相邻两轮相邻两轮 搜索得到的近似极值点搜索得到的近似极值点 相对距离相对距离 小于给定精度 即 小于给定精度 即 2 1n n 1 1n n F F XX XX 6 论述坐标轮换法的原理和局限性论述坐标轮换法的原理和局限性 原理 将 n 维问题转化为依次沿 n 个坐标方向轮回进行一维搜索 局限性 1 计算效率低 适合变量 n 10 的情况 2 若目标函数具有脊线 算法将出现病态 沿两个坐标方向均不能使函数数值 下降 误认为最优点 7 论述内点法 外点法和混合罚函数法的特点和适用性 论述内点法 外点法和混合罚函数法的特点和适用性 内点法 1 初始点为严格内点 2 仅能处理不等式约束 3 可能存在一维搜索超界问题 3 可以得到多个可行方案 外点法 1 初始点可任选 2 可以处理等式和不等式约束 3 不存在内点法中的一维搜索超界问题 4 一般仅能得到一个最终方案 混合罚函数法 1 初始点可任选 2 可以处理等式和不等式约束 3 对已经满足的不等式约束用内点法构造惩罚项 对等式约束和未被满足 的不等式约束用外点法构造惩罚项 4 采用外推法提高收敛速度 8 何谓何谓 K T Kuhn Tuker 条件 用条件 用 Kuhn Tucker 验证约束优化问题验证约束优化问题 在点在点 Kuhn Tucker 条件成立 条件成立 15 0 0 042 05 2 3 min 24 13 212 2 2 2 11 2 2 2 1 xXg xXg xxXg xxXgts xxF X 1 2 X K T 条件 条件 约束极值点存在的条件 约束极值点存在的条件 设设为非线性规划问题为非线性规划问题 T n xxx 2 1 X pmmjh mjgts F j j n 2 10 2 10 min X X EXX 的约束极值点 且在全部等式约束及不等式约束条件中共有的约束极值点 且在全部等式约束及不等式约束条件中共有 q 个约束条件为起个约束条件为起 作用的约束 即作用的约束 即 i j i j 1 2 q p 如果在 如果在 X 处诸起处诸起0 X i g0 X J h 作用约束的梯度向量作用约束的梯度向量 i j 1 2 q f x2 说明极小点在 x1的右侧 将步长增加一倍 取 x3 x2 2h 若 f x1 f x2 说明极小点在 x1的左侧 需改变探索方向 即将步长符号改为负 得点 x3 x1 h 若 f x3 f x 0 0557 f x 0 2788 f x 0 0557 1 528 2 淘汰区间 新区间为0 764 0 0 472 0 472 1 528淘汰区间 新区间为 1 236 2 1 f 0 764 0 0557 f 1 528 0 2788 0 764 1 528 f f 1 146 0 0213 2 f x f 0 236 0 0557 minf x 0 0213x1 146 2 1 f 0 472 0 2788 f 1 236 0 0557 0 472 1 236 f f 0 854 0 0213 2 f x f 0 236 0 0557 minf x 0 0213x0 854 3 写出优化模型的标准式 写出优化模型的标准式 pmmjhmjgts F pmmjhmjg F jj jj n 2 1 0 2 1 0 min 2 1 0 2 1 0 min XX X XXD RDX X 或 4 论述梯度法的原理 并用梯度法求解 论述梯度法的原理 并用梯度法求解 初始点 X 0 1 1 22 12 min 25F Xxx 一维优化用解析法 迭代 2 次 梯度法的原理 基于沿负梯度方向 目标函数在当前位置下降最快这一事实 将 n 维优化问题 求解转化为沿负梯度方向的一维搜索 迭代求优过程 1 2 0 0 0 0 22 1 0 0 4 2x 4 S 2 min XS 2 1 4 1 2 5 d 2 2 1 4 4 2 1 2 2 0 d 5 0 2778 18 1 1 40 1111 9 X XS 1 240 4444 9 x F X F X F F 第一次迭代 确定最优步长 1 1 1 1 22 2 1 1 4 0 4444 9 S X 8 0 8889 9 8144 min XS 2 5 9999 d 881444 2 2 2 0 999999 d 5 0 4167 12 41 5 99 XXS 8412 99 F F F 第二次迭代 2 0 0741 0 0741 X 5 033F 5 论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则 论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则 1 一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间 当 区间长度达到给定精度 即可认为优化过程收敛 则收敛准则为 2 1 bfaf ba 2 多维优化问题数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列 时 当 n F F F F n n 2 2 1 1 0 0 XXXXXXXX 该序列收敛于优化问题的解 根据序列理论 序列收敛的条件为 相邻两轮相邻两轮 搜索得到的近似极值点搜索得到的近似极值点 相对距离相对距离 小于给定精度 即 小于给定精度 即 2 1n n 1 1n n F F XX XX 6 论述阻尼牛顿法的原理和局限性论述阻尼牛顿法的原理和局限性 牛顿法的原理 在 X k 的邻域内 用二次泰勒多项式近似原目标函数 F X 以该二次多项式的 极小点作为 F X 的下一个迭代点 X k 1 并逐渐逼近 F X 的极小点 X 阻尼牛顿法的原理 对牛顿法的修正 在牛顿方向上作一维搜索求最优步长 局限性 当 F X 的海赛矩阵在迭代点处正定情况下 阻尼牛顿法可以保证每次迭代 迭 代点的函数值都下降 在迭代点处不定情况下 函数值不会上升 但不一定下 降 在迭代点处奇异情况下 不能求逆 无法构造牛顿方向 要求 F X 二阶 可微 7 试建立下图所示一维问题的刚度方程 试建立下图所示一维问题的刚度方程 3 2 1 3 2 1 22 221 11 32221 33 3222111 2 22 32111 11 3222232 3 3222232 2 2111121 2 2111121 1 0 0 0 0 R R R u u u kk kkkk kk ukukuFR ukukkukFFR uukukFR ukukuukF ukukuukF ukukuukF ukukuukF 衡 总体分析 节点静力平 单元分析 8 8 何谓何谓 K T Kuhn Tuker 条件 用条件 用 Kuhn Tucker 验证约束优化问题验证约束优化问题 在点 Kuhn Tucker 条件成立 0 0 042 05 2 3 min 24 13 212 2 2 2 11 2 2 2 1 xXg xXg xxXg xxXgts xxF X 1 2 X K T 条件 约束极值点存在的条件 设为非线性规划问题 T n xxx 2 1 X pmmjh mjgts F j j n 2 10 2 10 min X X EXX 的约束极值点 且在全部等式约束及不等式约束条件中共有 q 个约束条件为起 作用的约束 即 i j i j 1 2 q p 如果在 X 处诸起0 X i g0 X J h 作用约束的梯度向量 i j 1 2 q p 线性无关 则存在向 X i g X J h 量使下述条件成立 0 1 q ji jjii hgFXXX 其元素为非零 非负的乘子 为非零的乘子 T q 21 i j 解 条件 满足即 则有 条件 应有根据 起作用的约束为 TK 1 2 0 3 2 0 3 1 0 2 1 2 4 2 2 ggF TK 2 1 g 2 4 2x 2x g 2 2 2x 2 3x 2 F X g X g 0 X