2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.2 诱导公式五、六学案 新人教A版必修第一册

1 第第 2 2 课时课时 诱导公式五 六诱导公式五 六 1 借助单位圆及三角函数定义理解公式五 六的推导过程 2 运用公式五 六进行有关计算与证明 3 掌握六组诱导公式并能灵活运用 1 在 abc中 角 与角的三角函数值满足哪些等量关系 a 2 b c 2 答案 a b c a 2 2 b c 2 sin sin cos a 2 2 b c 2 b c 2 cos cos sin a 2 2 b c 2 b c 2 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 诱导公式五 六中的角 可以是任意角 2 sin 90 cos 3 sin cos 3 2 2 4 若 90 则 sin cos 答案 1 2 3 4 题型一利用诱导公式化简求值 典例 1 1 已知 cos 且 是第二象限角 则 sin的结 2 3 5 3 2 果是 a b c d 4 5 4 5 4 5 3 5 2 化简 sin 2 cos cos 2 cos 7 2 cos sin 3 sin sin 5 2 思路导引 利用诱导公式先化简再求值 解析 1 cos sin 2 3 5 sin 且 是第二象限角 3 5 cos 1 sin2 4 5 而 sin sin 3 2 3 2 cos cos 4 5 2 原式 sin cos sin cos 3 2 cos sin sin sin 2 tan sin sin sin cos 答案 1 b 2 tan 用诱导公式进行化简时的注意点 1 化简后项数尽可能的少 2 函数的种类尽可能的少 3 分母不含三角函数的符号 3 4 能求值的一定要求值 5 含有较高次数的三角函数式 多用因式分解 约分等 针对训练 1 已知 cos 则 sin 3 5 2 解析 sin cos 2 3 5 答案 3 5 2 化简 sincos cos sin 2 2 解 原式 sin sin cos sin 2 sin cos sin sin 2 cos sin cos2 cos sin 题型二利用诱导公式证明三角恒等式 典例 2 求证 tan tan 2 cos 3 2 cos 6 sin 3 2 cos 3 2 思路导引 应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子 使其等于右边 证明 左边 tan 2 cos 3 2 cos 6 sin 3 2 cos 3 2 tan sin cos cos sin tan 右边 tan sin cos cos sin 所以原等式成立 三角式恒等证明的原则 4 对于恒等式的证明 应遵循化繁为简的原则 从左边推到右边或从右边推到左边 也 可以用左右归一 变更论证的方法 常用定义法 化弦法 拆项拆角法 1 的代换法 公式变形法 要熟练掌握基本公式 善于从中选择巧妙简捷的方法 针对训练 3 求证 sin cos sin cos 2sin 3 2 cos 2 1 1 2sin2 证明 右边 2sin 3 2 sin 1 1 2sin2 2sin 2 sin 1 1 2sin2 2sin 2 sin 1 1 2sin2 2cos sin 1 cos2 sin2 2sin2 左边 sin cos 2 sin2 cos2 sin cos sin cos 所以原等式成立 题型三诱导公式的综合应用 典例 3 1 已知 cos 求 cos sin的值 6 1 3 5 6 2 3 2 已知 cos 且 为第三象限角 求f 4 5 的值 tan sin sin 2 cos 思路导引 1 6 5 6 2 3 3 3 可利用以上互余 互补关系求解 2 利用诱导公式化简求值 6 2 解 1 cos sin 5 6 2 3 cos sin 6 3 cos sin 6 3 5 cos sin 6 2 6 cos cos 6 6 1 3 1 3 1 9 2 因为 cos 且 为第三象限角 4 5 所以 sin 1 cos2 1 4 5 2 3 5 所以f tan sin sin tan sin cos cos sin cos 3 5 4 5 3 5 9 20 1 整体代换 寻找角之间的关系 对于一些给值 式 求值问题 要注意已知角与未知 角的关系 即发现它们之间是否满足互余或互补 若满足 则可以进行整体代换 用诱导 公式求解 常见的互余关系有 与 与 与 等 3 6 3 6 4 4 常见的互补关系有 与 与 等 3 2 3 4 3 4 2 对于三角函数式的化简求值问题 一般遵循诱导公式先行的原则 即先用诱导公式 化简变形 达到角的统一 再进行切化弦 以保证三角函数名最少 3 对于 和 这两组诱导公式 切记运用前一组公式不变名 而运用后一 2 组公式必须变名 针对训练 4 已知 cos 75 则 sin 15 cos 105 的值是 1 3 a b 1 3 2 3 6 c d 1 3 2 3 解析 sin 15 cos 105 sin 75 90 cos 180 75 cos 75 cos 75 2cos 75 故选 d 2 3 答案 d 5 已知f sin cos 2 cos 3 2 cos 2 sin 1 化简f 2 若 为第三象限角 且 cos 求f 的值 3 2 1 5 3 若 求f 的值 31 3 解 1 f sin cos sin sin sin cos cos sin sin 2 cos sin sin 3 2 1 5 1 5 又 为第三象限角 cos f 1 sin2 2 6 5 2 6 5 3 f cos 31 3 31 3 cos cos 6 2 5 3 5 3 cos 3 1 2 课堂归纳小结 1 诱导公式五 六反映的是角 与 的三角函数值之间的关系 可借用口诀 2 函数名改变 符号看象限 来记忆 2 诱导公式一 六可归纳为k 的形式 可概括为 奇变偶不变 符号看象 2 限 1 变 与 不变 是针对互余关系的函数而言的 7 2 奇 偶 是对诱导公式k 中的整数k来讲的 2 3 象限 指k 中 将 看成锐角时 k 所在的象限 根据 一 2 2 全正 二正弦 三正切 四余弦 的符号规律确定原函数值的符号 1 sin165 等于 a sin15 b cos15 c sin75 d cos75 解析 sin165 sin 90 75 cos75 选 d 答案 d 2 已知 sin 那么 cos 5 2 1 5 a b 2 5 1 5 c d 1 5 2 5 解析 sin sin sin cos 5 2 2 2 2 1 5 答案 c 3 如果 cos a 那么 sin 1 2 2 a a b c d 1 2 1 2 3 2 3 2 解析 cos a cosa cosa 1 2 1 2 sin cosa 故选 b 2 a 1 2 答案 b 4 已知 sin 则 cos的值为 4 1 3 4 a b 2 2 3 2 2 3 c d 1 3 1 3 解析 cos cos 4 2 4 8 sin 选 c 4 1 3 答案 c 5 已知 tan 2 求的值 sin 2 cos sin 2 sin 解 sin 2 cos sin 2 sin 2 cos cos cos sin 2cos cos sin 2 1 tan 2 1 2 课后作业 四十二 复习巩固 一 选择题 1 下列各式中 不正确的是 a sin 180 sin b cos sin 180 2 2 c cos sin 3 2 d tan tan 解析 由诱导公式知 a d 正确 cos cos 3 2 2 cos sin 故 c 正确 2 cos cos 180 2 90 2 sin 故 b 不正确 2 答案 b 2 若 sin0 则 是 2 2 a 第一象限角b 第二象限角 c 第三象限角d 第四象限角 9 解析 由于 sin cos 0 所以角 的终边落在 2 2 第二象限 故选 b 答案 b 3 若 sin 3 则 cos等于 1 2 7 2 a b 1 2 1 2 c d 3 2 3 2 解析 因为 sin 3 sin 所以 sin 所以 1 2 1 2 cos cos cos sin 7 2 3 2 2 1 2 答案 a 4 已知 cos31 m 则 sin239 tan149 的值是 a b 1 m2 m1 m2 c d 1 m2 m1 m2 解析 sin239 tan149 sin 180 59 tan 180 31 sin59 tan31 sin 90 31 tan31 cos31 tan31 sin31 1 cos231 1 m2 答案 b 5 等于 sin 2 cos 3 2 cos tan 3 sin 2 sin 7 6 2 a cos b cos c sin d sin 解析 原式 sin cos 3 2 cos tan cos sin 3 2 3 2 10 cos 故选 a sin cos cos 3 2 tan cos cos 3 2 答案 a 二 填空题 6 化简的结果为 sin400 sin 230 cos850 tan 50 解析 sin400 sin 230 cos850 tan 50 sin 360 40 sin 180 50 cos 720 90 40 tan50 sin40 sin50 sin40 tan50 cos50 sin50 sin50 cos50 答案 cos50 7 已知 cos 则 sin costan 1 3 2 3 2 解析 sincostan 2 3 2 cos sin tan sin2 1 cos2 1 2 1 3 8 9 答案 8 9 8 若 sin 则 cos 12 1 3 7 12 解析 cos cos 7 12 2 12 sin 12 1 3 答案 1 3 三 解答题 9 求证 cos cos sin 3 2 1 cos 2 cos sin 2 sin 3 2 2 sin2 11 证明 左边 cos cos cos 1 cos cos cos cos 1 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 右边 2 1 cos2 2 sin2 原式成立 10 已知 sin 是方程 5x2 7x 6 0 的根 且 是第三象限角 求 tan2 的值 sin 3 2 cos 3 2 cos 2 sin 2 解 原式 tan2 sin 2 cos 2 sin cos tan2 sin 2 cos 2 sin cos tan2 tan2 cos sin sin cos 方程 5x2 7x 6 0 的两根为x1 x2 2 又 是第三象限角 3 5 sin cos tan 故原式 tan2 3 5 4 5 3 4 9 16 综合运用 11 计算 sin21 sin22 sin23 sin289 a 89 b 90 c d 45 89 2 解析 sin21 sin289 sin21 cos21 1 sin22 sin288 sin22 cos22 1 sin21 sin22 sin23 sin289 sin21 sin22 sin23 sin244 sin245 cos244 cos243 cos23 cos22 cos21 44 1 2 89 2 答案 c 12 在 abc中 sin 3sin a 且 cosa cos b 则 3 2 a 3 c 12 解析 由题意得error 由 得 tana 故a 3 3 6 由 得 cosb 故b 故c cos 6 3 1 2 3 2 答案 2 13 已知f 则f的值为 cos 2 sin 3 2 cos tan 25 3 解析 f cos sin cos cos tan f cos cos 25 3 25 3 25 3 cos cos 8 3 3 1 2 答案 1 2 14 若f cosx cos2x 则f sin15 解析 f sin15 f cos75 cos150 cos30 3 2 答