一元二次函数的图像和性质及练习题目.doc

一元二次函数的图象和性质一、【课程要求】1掌握二次函数的图像和性质，结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2通过三个“二次”掌握函数、方程、不等式之间的关系二、【重点难点】二次函数的图象和性质，一元二次方程根的存在性及根的个数，函数最值问题。三、【命题规律】 从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。本节在高考中，重点考察数形结合与等价转化数学思想，通过三个“二次”之间的相互转化，考查函数的方程思想，对于二次函数的区间最值，尤其是含有参数的区间最值问题，要求选择合理的标准分类讨论，。四、【知识回顾】(一) 二次函数基本知识1.二次函数的定义：形如的函数叫关于的二次函数。2.二次函数的解析式的三种形式（1）一般式（三点式）：，配方后为 。其中顶点坐标为 ，对称轴为 。（2）顶点式（配方式）：，其中顶点坐标为 ，对称轴为 。（3）两根式（零点式）：，其中是方程的两个根，同时也是二次函数的图像与轴交点的横坐标。求函数解析式时，一般采用 待定系数法3.二次函数的图像和性质（1）二次函数的图像是一条 ，其对称轴为 ，顶点坐标为 ，开口方向由 决定。（2）二次函数的单调性以对称轴为分界。当时，函数图像开口向 ，当 时，单调递增，当 时，单调递减，当 时，有最小值。 当时，函数图像开口向 ，当 时，单调递增，当 时，单调递减，当 时，有最大值。 在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与轴交点，与轴交点，顶点等。（3）二次函数，当时，图像与轴有两个交点，则（4）关于二次函数的对称轴的判断方法： 若二次函数对定义域内所有，都有，则其对称轴为若二次函数对定义域内所有，都有，则其对称轴为。若二次函数对定义域内所有，都有，则对称轴为.若二次函数对应方程为两根为,则对称轴方程为：4.二次函数的最值（1）在上的最值当时，=，当时，=（2）在闭区间上的最值“轴变区间定” 二次函数在闭区间上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：，,。再结合图像分析。对于二次函数在闭区间上的最值问题，有以下结论：若，则，若，则，（时可仿此讨论）【典例精讲】题型一：二次函数的解析式的求法例1已知二次函数满足且的最大值是8，求此二次函数的解析式。例2设二次函数满足，且的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求的解析式.题型二：二次函数最值或值域问题例3已知函数在区间0,1上的最大值是2，求实数a的值.例4已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。例5. 已知函数，求函数在区间上的最大值例6.函数在闭区间上的最小值为（1）试写出的函数表达式（2）求的最小值【方法归纳】1. 解二次函数最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为的形式，得顶点或对称轴方程 2. 对含有参数的二次函数在闭区间上的值域与最值问题，主要考虑其对称轴与定义域区间的位置关系，由此进行分类讨论。如果利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像对称轴与闭区间的位置关系。3. 二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：对称轴在定义域区间左侧，对称轴在定义域区间右侧，对称轴在定义域区间内。题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。例7已知二次函数在上递减，则的取值范围是 题型四：二次函数的综合应用例8已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且 它在y轴上的截距为4,又对任意的都有。 （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线的下方，求c的取值范围.例9.已知二次函数(a、b为常数且a0)满足条件：,且方程 有等根.（1）求的解析式；（2）设试求在区间-1,1上的最小值；（3）是否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是和?如果存在， 求出m、n的值，若不存在，请说明理由.例10.已知函数（1） 当时，恒成立，求的范围（2） 当时，恒成立，求的范围【总结归纳】求函数恒满足某个条件，就是求函数最大（小）值恒小于（大于）某个式子，这种思想在做恒成立的题目中经常用到。例11.已知函数(1) 若函数的值域为，求的值(2) 若函数值为非负数，求函数的值域【练习】1.已知二次函数，则其开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，最小值为 ，单调增区间为 ，单调减区间为 ，与轴的交点坐标为 。2.已知函数的对称轴为，则 ，对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，当时，最小值为 ，值域为 。3.若函数值域为，则= 。4.若函数对于任意实数都有，则 （比较大小）*5、已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是 6.已知函数在闭区间上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为 7.(2008江西文，12）已知函数,若对于任一实数, 与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 8、若函数,的图象关于对称，则 .9.设二次函数的定义域为,则的值域中有 个整数.10.已知函数.（1）若函数的最小值,且， （3） 若,且在区间(0,1恒成立，试求b的取值范围.一元二次函数综合练习题1、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是A B C D2、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD yxO11 第2题 第3题 第4题3、二次函数的图象如图，下列判断错误的是（ ）A BCD4、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0 Bc0 C0 D05、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离 ，则该运动员的成绩是( )A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m来源:Z#xx#k.Com x32101y60466 6、抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示给出下列说法：抛物线与y轴的交点为(0，6)； 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；抛物线一定经过点(3，0)； 在对称轴左侧，y随x增大而减小从表中可知，下列说法正确的个数有( )A1个 B2个C3个 D4个7、抛物线=与坐标轴交点为 （ ） A二个交点 B一个交点 C无交点 D三个交点8、二次函数yx2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）Ayx22 By(x2)2 Cyx22Dy(x2)29、若二次函数y2x22mx2m22的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.10、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论a0b2-4ac0中，正确的结论有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 133112、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下结论： 当时，函数有最大值。当时，函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.413、关于二次函数y =ax2+bx+c的图象有下列命题：当c=0时，函数的图象经过原点；当c0时且函数的图象开口向下时，ax2+bx+c=0必有两个不等实根；函数图象最高点的纵坐标是；当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确的个数是（ ）A.1个 B、2个 C、3个 D. 4个14、抛物线y=x2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A. y=(x+8)2-9 B. y=(x-8)2+9 C. y=(x-8)2-9 D. y=(x+8)2+915、下列关于二次函数的说法错误的是（ ）A 抛物线y=-2x23x1的对称轴是直线x=； B 点A(3,0)不在抛物线y=x2 -2x-3的图象上；C 二次函数y=(x2）22的顶点坐标是（-2，-2）；D 函数y=2x24x-3的图象的最低点在（-1，-5）16、二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）yxOA点C的坐标是（0，1） B线段AB的长为2 CABC是等腰直角三角形 D当x0时，y随x增大而增大17、如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D811Oxy18、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD19、在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）20、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（ ）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值21、抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 22、已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是 23、二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴为 ，对应的函数值 (第24题图)-2-1-2-122113xyy1y2O24、如图，抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：(1)抛物线y2的顶点坐标_；(2)阴影部分的面积S_；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向_，顶点坐标_25、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且过点（1，2），求抛物线的解析式。26、已知二次函数的图象经过点A（-3,0），B（0,3），C（2, 5），且另与x轴交于D点。（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出PAD的面积；如果不在，试说明理由O31xy27、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。（1）求此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。28、已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求ABC的面积。29、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.30、已知二次函数yx2bxc1的图象过点P(2，1)(1)求证：c2b4； (3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，ABP的面积是，求b的值31、某中学新校舍将于2011年1月1日动工。在新校舍内将按如图所示设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m、120 m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m、2x m（1）用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积的时，求横、纵通道的宽分别是多少？（2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168 x元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价（以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）32、抛物线y=x+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E.（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P，与