2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.1.2 函数概念的应用学案 新人教A版必修第一册

1 第第 2 2 课时课时 函数概念的应用函数概念的应用 1 理解两个函数为同一函数的概念 2 会求一些简单函数的定义域 值域 1 常见函数的定义域和值域 2 函数的三要素 由函数的定义可知 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系和值域 3 相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的 如果两个函数的定义域和对应关系相同 我们就 称这两个函数是同一函数 两个函数如果仅对应关系相同 但定义域不同 则它们 不是相同的函数 1 已知函数f x x2 1 2 1 函数f x 的定义域是什么 2 函数f x 的值域是什么 答案 1 1 1 2 0 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 函数的定义域和对应关系确定后 函数的值域也就确定了 2 两个函数相同指定义域和值域相同的函数 3 f x 3x 4 与f t 3t 4 是相同的函数 4 函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应 5 函数f 2x 1 的定义域指 2x 1 的取值范围 答案 1 2 3 4 5 题型一同一函数的判断 典例 1 下列各组式子是否表示同一函数 为什么 1 f x x t t2 2 y y 2 x2x 3 y u 1 x1 x1 v2 4 y y x 3 3 x 2 思路导引 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同 对应关系一致 解 1 f x 与 t 的定义域相同 又 t t 即f x 与 t 的对应 t2 关系也相同 f x 与 t 是同一函数 2 y 的定义域为 r r y 2的定义域为 x x 0 两者定义域不同 故y x2x 与y 2不是同一函数 x2x 3 y 的定义域为 x 1 x 1 u 的定义域为 v 1 v 1 1 x1 x1 v2 即两者定义域相同 又 y 两函数的对应关系也相同 故y 1 x1 x1 x2 与u 是同一函数 1 x1 x1 v2 4 y x 3 与y x 3 的定义域相同 但对应关系不同 3 x 2 y 与y x 3 不是同一函数 3 x 2 判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数 要先求定义域 若定义域不同 则不是同一函数 若 定义域相同 再化简函数的解析式 看对应关系是否相同 3 针对训练 1 与函数y x 1 为同一函数的是 a y b m 2 x2 x xn 1 c y x x0d y 3 t 1 3 解析 a 中的x不能取 0 b 中的n 1 c 中的x不能取 0 d 化简以后为y t 1 故选 d 答案 d 2 下列各组函数中是同一函数的是 a y x 1 与y x2 1 x 1 b y x2 1 与s t2 1 c y 2x与y 2x x 0 d y x 1 2与y x2 解析 对于选项 a 前者定义域为 r r 后者定义域为 x x 1 不是同一函数 对于 选项 b 虽然变量不同 但定义域和对应关系均相同 是同一函数 对于选项 c 虽然对应 关系相同 但定义域不同 不是同一函数 对于选项 d 虽然定义域相同 但对应关系不 同 不是同一函数 答案 b 题型二求函数值和值域 典例 2 1 已知f x x r r 且x 1 g x x2 2 x r r 1 1 x 求f 2 g 2 的值 求f g 3 的值 2 求下列函数的值域 y x 1 x 1 2 3 4 5 y x2 2x 3 x 0 3 y 2x 1 x 3 y 2x x 1 思路导引 1 代入法求值 2 结合解析式的特征选择适当的方法求值域 解 1 f x f 2 1 1 x 1 1 2 1 3 又 g x x2 2 g 2 22 2 6 g 3 32 2 11 4 f g 3 f 11 1 1 11 1 12 2 观察法 x 1 2 3 4 5 分别代入求值 可得函数的值域为 2 3 4 5 6 配方法 y x2 2x 3 x 1 2 2 由x 0 3 可得函数的值域为 2 6 分离常数法 y 2 2x 1 x 3 2 x 3 7 x 3 7 x 3 显然 0 y 2 7 x 3 故函数的值域为 2 2 换元法 设 t x 1 则t 0 且x t2 1 y 2 t2 1 t 2t2 t 2 2 2 t 1 4 15 8 t 0 y 15 8 故函数的值域为 15 8 1 函数求值的方法 已知f x 的表达式时 只需用a替换表达式中的x即得f a 的值 求f g a 的值应遵循由里往外的原则 2 求函数值域常用的 4 种方法 观察法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时 可利用配方法求 其值域 分离常数法 此方法主要是针对有理分式 即将有理分式转化为 反比例函数类 的形式 便于求值域 换元法 即运用新元代换 将所给函数化成值域易确定的函数 从而求得原函数的 值域 对于f x ax b 其中a b c d为常数 且a 0 型的函数常用换元 cx d 法 针对训练 5 3 设函数f x 若f a 2 则实数a 4 1 x 解析 由f a 2 得a 1 4 1 a 答案 1 4 求下列函数的值域 1 y 1 x 2 y 5x 1 4x 2 3 y x 2x 1 解 1 观察法 0 1 1 xx y 1 的值域为 1 x 2 分离常数法 y 5x 1 4x 2 5 4 4 x 2 1 5 2 4x 2 5 4 4 x 2 7 2 4x 2 5 4 7 2 4x 2 0 y 7 2 4x 2 5 4 函数的值域为 y y 5 4 3 换元法 设u 则x u 0 2x 1 x 1 2 1 u2 2 y u u 0 1 u2 2 u 1 2 2 由u 0 知 u 1 2 1 y 1 2 函数y x 的值域为 2x 1 1 2 题型三求抽象函数的定义域 典例 3 已知函数f x 的定义域为 1 3 求函数f 2x 1 的定义域 思路导引 定义域是x的取值范围 f x 中的x与f 2x 1 中的 2x 1 是相对应 的 解 因为函数f x 的定义域为 1 3 即x 1 3 函数f 2x 1 中 2x 1 的范围 6 与函数f x 中x的范围相同 所以 2x 1 1 3 所以x 0 1 即函数f 2x 1 的定 义域是 0 1 变式 1 若将本例条件改为 函数f 2x 1 的定义域为 1 3 求函数f x 的定 义域 2 若将本例条件改为 函数f 1 x 的定义域为 1 3 其他不变 如何求解 解 1 因为x 1 3 所以 2x 1 3 7 即函数f x 的定义域是 3 7 2 因为函数f 1 x 的定义域为 1 3 所以x 1 3 所以 1 x 2 0 所以函数f x 的定义域为 2 0 由 2x 1 2 0 得x 3 2 1 2 所以f 2x 1 的定义域为 3 2 1 2 两类抽象函数的定义域的求法 1 已知f x 的定义域 求f g x 的定义域 若f x 的定义域为 a b 则f g x 中a g x b 从中解得x的取值集合即为f g x 的定义域 2 已知f g x 的定义域 求f x 的定义域 若f g x 的定义域为 a b 即 a x b 求得g x 的取值范围 g x 的值域即为f x 的定义域 针对训练 5 若函数f x 的定义域是 0 1 则函数f 2x f的定义域为 x 2 3 解析 由error 得 0 x 所以函数f 2x f的定义域为 1 3 x 2 3 0 1 3 答案 0 1 3 6 若函数f x2 1 的定义域为 3 1 则f x 的定义域为 解析 由x 3 1 得x2 1 0 8 所以f x 的定义域为 0 8 答案 0 8 课堂归纳小结 1 对同一函数的概念的理解 1 函数有三个要素 定义域 值域 对应关系 函数的定义域和对应关系共同确定函 数的值域 因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时 这两个函数才是同 7 一个函数 2 定义域和值域都分别相同的两个函数 它们不一定 是同一函数 因为函数对应关系不一定相同 如y x与y 3x的定义域和值域都是 r r 但它们的对应关系不同 所以是两个不同的函数 2 求函数值域的常用方法有 观察法 配方法 分离常数法 换元法 1 下列各组函数中 表示同一个函数的是 a y x 1 和y x2 1 x 1 b y x0和y 1 c f x x 1 2和g x x 1 2 d f x 和g m x 2 x m m 2 解析 a 中的函数定义域不同 b 中y x0的x不能取 0 c 中两函数的对应关系不 同 故选 d 答案 d 2 设f x 则 x2 1 x2 1 f 2 f 1 2 a 1 b 1 c d 3 5 3 5 解析 1 f 2 f 1 2 22 1 22 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 5 3 4 5 4 3 5 5 3 答案 b 3 下列函数中 值域为 0 的是 a y b y x 1 x c y d y x2 1 1 x 解析 y 的值域为 0 y 的值域为 0 0 y x2 1 x 1 x 的值域为 1 答案 b 8 4 已知函数f x 的定义域是 0 2 则函数g x 的定义域是 f 2 x x 1 a 0 1 b 0 1 c 0 1 1 4 d 0 1 解析 由f x 的定义域是 0 2 知 error 解得 0 x 1 b y x2 c y x 0 d y 1 x 1 x 1 解析 y x 1 x 1 的值域为 0 y x2的值域为 0 y x 0 1 x 的值域为 0 y 的值域为 0 0 故选 b 1 x 1 答案 b 3 下列函数与函数y x是同一函数的是 a y x b y 3 t3 c y d y x2 v2 v 9 解析 选项 a 和选项 c 中 函数的值域都是 0 选项 d 中 函数的定义域是 0 0 选项 b 中函数的定义域和值域都和函数y x相同 对应关系也等 价 因此选 b 答案 b 4 已知函数f x 的定义域为 1 2 则函数f x 1 的定义域为 a 1 2 b 0 2 c 0 3 d 2 1 解析 f x 的定义域为 1 2 1 x 1 2 得 0 x 3 f x 1 的定义域为 0 3 答案 c 5 函数y 的值域是 5x 4 x 1 a 5 b 5 c 5 5 d 1 1 解析 y 5 且 0 y 5 即函数的值域为 5x 4 x 1 5 x 1 9 x 1 9 x 1 9 x 1 5 5 答案 c 二 填空题 6 设函数f x x2 2x 1 若f a 2 则实数a 解析 由f a 2 得a2 2a 1 2 解得a 1 或a 3 答案 1 或 3 7 函数y 的定义域是a 函数y 的值域是b 则 1 x 2x2 2x 3 a b 用区间表示 解析 要使函数式y 有意义 只需x 2 即a x x 2 函数y 1 x 2 0 即b y y 0 则a b x 0 x2 x2 2x 3 x 1 2 4 答案 0 2 2 8 已知函数f x 的定义域为 1 1 则函数g x f f 2x 1 的定义域是 x 2 解析 由题意知error 即error 0 x 1 10 答案 0 1 三 解答题 9 已知函数f x x2 x 1 1 求f 2 f f a 1 1 x 2 若f x 5 求x 解 1 f 2 22 2 1 5 f 1 1 x 1 x2 1 x 1 x x2 x2 f a 1 a 1 2 a 1 1 a2 3a 1 2 f x x2 x 1 5 x2 x 6 0 解得x 2 或x 3 10 求下列函数的值域 1 y 2x 1 x 1 2 3 4 5 2 y x2 4x 6 x 1 5 3 y 3 5x x 2 4 y x x 1 解 1 x 1 2 3 4 5 2x 1 3 5 7 9 11 即所求函数的值域为 3 5 7 9 11 2 y x2 4x 6 x 2 2 2 x 1 5 其图象如图所示 当x 2 时 y 2 当x 5 时 y 11 所求函数的值域为 2 11 3 函数的定义域为 x x 1 y 5 所以函数的值 3 5x x 2 5 x 2 7 x 2 7 x 2 域为 y y 5 4 要使函数式有意义 需x 1 0 即x 1 故函数的定义域为 x x 1 设 t 则x t2 1 t 0 于是y t2 1 t 2 又t 0 故y 所 x 1 t 1 2 5 4 5 4 11 以函数的值域为 y y 5 4 综合运用 11 函数f x x r r 的值域是 1 x2 1 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 解析 由于x r r 所以x2 1 1 0 1 即 0 y 1 1 x2 1 答案 b 12 下列函数中 对于定义域内的任意x f x 1 f x 1 恒成立的为 a f x x 1 b f x x2 c f x d y x 1 x 解析 对于 a 选项 f x 1 x 1 1 f x 1 成立 对于 b 选项 f x 1 x 1 2 f x 1 不成立 对于 c 选项 f x 1 f x 1 1 不成 1 x 1 1 x 立 对于 d 选项 f x 1 x 1 f x 1 x 1 不成立 答案 a 13 若函数f 2x 1 的定义域为 0 1 则函数f 1 3x 的定义域为 解 解法一 过渡搭桥 因为f 2x 1 的定义域为 0 1 即 0 x 1 所以 1 2x 1 1 所以f x 的定义域为 1 1 所以 1 1 3x 1 解得 0 x 所以 2 3 f 1 3x 的定义域为 0 2 3 解法二 整体求解 由于函数f 2x 1 的