平方根和立方根知识点总结及练习

基础知识巩固基础知识巩固 一 平方根 算数平方根和立方根一 平方根 算数平方根和立方根 1 平方根 平方根 1 平方根的定义 如果一个数一个数 x 的平方平方等于 a 那么这个数 x 就叫做 a 的平方平方 根根 即 如果 那么 x 叫做 a 的平方根平方根 ax 2 2 开平方的定义 求一个数的平方根平方根的运算 叫做开平方开平方 开平方 开平方运算的被开方数被开方数 必须是非负数非负数才有意义 有意义 3 平方与开平方开平方互为逆运算互为逆运算 3 的平方等于 9 9 的平方根是3 4 一个正数正数有两个两个平方根 平方根 即正数正数进行开平方开平方运算有两个两个结果 一个负数负数没有没有平方根 平方根 即负数不能负数不能进行开平方开平方运算 5 符号 正数正数 a 的正正的平方根平方根可用表示 也是 a 的算术平方根 算术平方根 aa 正数正数 a 的负负的平方根平方根可用 表示 a 6 ax 2 ax a 是是 x 的平方的平方 x 的平方是的平方是 a x 是是 a 的平方根的平方根 a 的平方根是的平方根是 x 2 算术平方根 算术平方根 1 算术平方根的定义 一般地 如果一个正数一个正数 x 的平方平方等于 a 即 那么ax 2 这个正数正数 x 叫做 a 的算术平方根 的算术平方根 a 的算术平方根记为 读作a 根号 a a 叫做被开方数被开方数 规定 0 的算术平方根是的算术平方根是 0 也就是 在等式 x 0 中 规定 ax 2 ax 2 的结果有两种情况 两种情况 当 a 是完全平方数完全平方数时 是一个有限数 有限数 aa 当 a 不是一个完全平方数不是一个完全平方数时 是一个无限不循环小数 无限不循环小数 a 3 当被开方数被开方数扩大扩大时 它的算术平方根算术平方根也扩大 扩大 当被开方数被开方数缩小缩小时与它的算术平方根也缩小缩小 一般来说 被开放数扩大 或缩小 a 倍 算术平方根扩大 或缩小 倍 例如a 5 50 4 夹值法夹值法及估计一个 无理 数的大小 5 x 0 ax 2 ax a 是是 x 的平方的平方 x 的平方是的平方是 a x 是是 a 的算术平方根的算术平方根 a 的算术平方根是的算术平方根是 x 6 正数和零的算术平方根都只有一个 零的算术平方根是零 0 aa 0 a 注意的双重非负性 aa 2 a 0 0aaa 7 平方根平方根和算术平方根算术平方根两者既有区别又有联系 区别在于正数的平方根有两个正数的平方根有两个 而它的算术平方根只有一个算术平方根只有一个 联系在于正数正数的正平方根正平方根就是它的算术平方根算术平方根 而正数的负平方根正数的负平方根是它的算术平方根算术平方根 的相反数相反数 3 立方根 立方根 1 立方根的定义 如果一个数一个数 x 的立方立方等于 这个数叫做的立方根立方根 也叫做aa 三次方根三次方根 即如果 那么叫做的立方根立方根 3 xa xa 2 一个数的立方根 立方根 记作 读作 三次根号 a 3 aa 其中叫被开方数被开方数 3 叫根指数根指数 不能省略 若省略表示平方 若省略表示平方 a 3 一个正数正数有一个正正的立方根 立方根 0 有一个立方根 是它本身 一个负数负数有一个负负的立方根立方根 任何数任何数都有唯一唯一的立方根立方根 4 利用开立方开立方和立方互为逆运算立方互为逆运算关系 求一个数的立方根 就可以利用这种互逆关 系 检验其正确性 求负数的立方根 可以先求出这个负数的绝对值的立方根 再取其相反数 即 33 0aa a 5 ax 33 ax a 是是 x 的立方的立方 x 的立方是的立方是 a x 是是 a 的立方根的立方根 a 的立方根是的立方根是 x 6 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 33 aa 典型例题分析典型例题分析 知识点一 有关概念的识别知识点一 有关概念的识别 1 下列说法中正确的是 A 的平方根是 3 B 1 的立方根是 1 C 1 D 是 5 的平方根的相反数 2 下列语句中 正确的是 A 一个实数的平方根有两个 它们互为相反数 B 负数没有立方根 C 一个实数的立方根不是正数就是负数 D 立方根是这个数本身的数共有三个 3 下列说法中 都是 27 的立方根 的立方根是 2 3 yy 3 3 64 其中正确的有 48 3 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 的平方根是 2 0 7 A B C D 0 7 0 7 0 70 49 5 下列各组数中 互为相反数的组是 A 2 与 B 2 和 C 与 2 D 2 和 2 2 2 3 8 2 1 知识点二 计算类题型知识点二 计算类题型 1 1 25 的算术平方根是 平方根是 27 立方根是 2 2 2 4 3 3 6 2 196 3 8 3 3 3 5 2227 7 1 7 23 23 12 4 1 2 8 23 4 1 2 3 27 2 3 3 1 3 33 64 63 1125 0 4 1 027 3 知识点三 利用平方根和立方根解方程知识点三 利用平方根和立方根解方程 1 1 2x 1 2 169 0 2 1214 2 x 3 125 2 3 x 知识点四 关于有意义的题知识点四 关于有意义的题 本身为非负数 有非负性 即本身为非负数 有非负性 即 0 有意义的条件是有意义的条件是 a 0 aaa 要使要使 有意义 必须满足有意义 必须满足 a0 1 a 1 若的算术平方根有意义 则 a 的取值范围是 a A 一切数 B 正数 C 非负数 D 非零数 2 要使有意义 x 应满足的条件是 62 x 3 当时 式子有意义 x 2 1 x x 知识点五 有关平方根的解答题知识点五 有关平方根的解答题 1 一个正数 a 的平方根是 3x 4 与 2 x 则 a 是多少 2 若 5a 1 和 a 19 是数 m 的平方根 求 m 的值 3 已知 x y 都是实数 且 求的平方根 334yxx x y 知识点六 非负性的应用知识点六 非负性的应用 1 已知实数 x y 满足 y 1 2 0 则 x y 等于 2x 解答 根据题意得 x 2 0 y 1 0 解得 x 2 y 1 所以 x y 2 1 2 1 3 2 已知 a b 满足 解关于的方程 0382 bax 12 2 abxa 3 若 求的值 0 13 1 2 yxx 2 5yx 4 若 a b c 满足 求代数式的值 01 5 3 2 cba a cb 5 已知和 8b 3 互为相反数 求 ab 2 27 的值 a31 重点知识巩固重点知识巩固 考点 平方根 算术平方根 立方根考点 平方根 算术平方根 立方根 1 概念 定义 概念 定义 1 如果一个正数 x 的平方等于 a 即 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 2 如果一个数的平方等于 a 那么这个数就叫做 a 的平方根 或二次方跟 如果 那么 x 叫做 a 的平方根 3 如果一个数的立方等于 a 那么这个数就叫做 a 的立方根 或 a 的三次方根 如果 那么 x 叫做 a 的立方根 2 运算名称 运算名称 1 求一个正数 a 的平方根的运算 叫做开平方 平方与开平方互为逆运算 2 求一个数的立方根的运算 叫做开立方 开立方和立方互为逆运算 3 运算符号 运算符号 1 正数 a 的算术平方根 记作 a 2 a a 0 的平方根的符号表达为 3 一个数 a 的立方根 用表示 其中 a 是被开方数 3 是根指数 4 运算公式 运算公式 4 开方规律小结 开方规律小结 1 若 a 0 则a的平方根是 a a的算术平方根 a 正数的平方根有两个 它们 互为相反数 其中正的那个叫它的算术平方根