2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定限时规范训练 新人教A版必修2

1 2 3 12 3 1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 基础练习 1 2019 年江西抚州校级月考 下面四个命题 过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条 过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条 过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个 过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个 其中正确的是 a b c d 答案 c 解析 过一点和一条直线垂直的直线有无数条 故 不正确 过一点和一个平面垂直 的平面有无数个 故 不正确 易知 均正确 故选 c 2 已知直线m n是异面直线 则过直线n且与直线m垂直的平面 a 有且只有一个 b 至多一个 c 有一个或无数个 d 不存在 答案 b 解析 若异面直线m n垂直 则符合要求的平面有一个 否则不存在 3 线段ab的长等于它在平面 内的射影长的 2 倍 则ab所在直线与平面 所成的 角为 a 30 b 45 c 60 d 120 答案 c 解析 如图 ac ab b 则bc是ab在平面 内的射影 则bc ab 所 1 2 以 abc 60 它是ab与平面 所成的角 4 空间四边形abcd的四边相等 则它的两对角线ac bd的关系是 a 垂直且相交 b 相交但不一定垂直 c 垂直但不相交 d 不垂直也不相交 2 答案 c 解析 如图 取bd中点o 连接ao co 则bd ao bd co bd 平面 aoc bd ac 又bd ac异面 故选 c 5 已知 abc所在平面外一点p到 abc三顶点的距离都相等 则点p在平面abc内的 射影是 abc的 答案 外心 解析 p到 abc三顶点的距离都相等 则点p在平面abc内的射影到 abc三顶点的 距离都相等 所以是外心 6 如图所示 pa 平面abc abc中bc ac 则图中直角三角形的个数有 答案 4 解析 pa 平面abc pa ac pa ab pa bc 又bc ac pa ac a bc 平面pac bc pc 四面体p abc中直角三角形有 pac pab abc pbc 共 4 个 7 在正方体abcd a1b1c1d1中 求证 a1c 平面bc1d 证明 如图 连接ac 则ac bd bd a1a ac aa1 a ac a1a 平面a1ac bd 平面a1ac a1c 平面a1ac bd a1c 同理可证bc1 a1c 又bd bc1 b bd bc1 平面bc1d a1c 平面bc1d 8 如图 在直角三角形bmc中 bcm 90 mbc 60 bm 5 ma 3 且 3 ma ac ab 4 求mc与平面abc所成角的正弦值 解析 因为bm 5 ma 3 ab 4 所以ab2 am2 bm2 所以ma ab 因为ma ac ab ac 平面abc ab ac a 所以ma 平面abc 所以 mca即为mc与平面abc所成的角 因为 mbc 60 所以mc 5 3 2 所以 sin mca ma mc 3 5 3 2 2 3 5 能力提升 9 已知三条相交于一点的线段pa pb pc两两垂直且a b c在同一平面内 p在平 面abc外 ph 平面abc于点h 则垂足h是 abc的 a 外心 b 内心 c 垂心 d 重心 答案 c 解析 易证ah bc bh ac ch ab 故点h为 abc的垂心 10 在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为 1 的正方形 pa 平面abcd且pa 6 则pc与平面abcd所成角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 c 解析 如图 连接ac pa 平面abcd pca就是pc与平面abcd所成的角 ac pa tan pca pca 60 26 pa ac 6 23 4 11 2019 年重庆模拟 如图 四棱锥s abcd的底面为正方形 sd 底面abcd 则下 列结论中不正确的是 a ac sb b ab 平面scd c sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角 d ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角 答案 d 解析 因为sd垂直于平面abcd 而ac在平面abcd内 所以ac垂直于sd 再由abcd 为正方形 所以ac垂直于bd 而bd与sd相交 所以ac垂直于平面sbd 进而ac垂直于 sb a 正确 因为ab平行于cd 而cd在平面scd内 ab不在平面scd内 所以ab平行于 平面scd b 正确 设ac与bd的交点为o 连接so 则sa与平面sbd所成的角就是 aso sc与平面sbd所成的角就是 cso 易知这两个角相等 c 正确 ab与sc所成的角 等于 scd 而dc与sa所成的角是 sab 这两个角不相等 d 错误 故选 d 12 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面 abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 pd 平面abm 2 求直线cd与平面acm所成的角的余弦值 解析 1 证明 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab 5 ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm 2 由 1 知am pd 又pa ad 则m是pd的中点 在 rt pad中 am 2 在 rt cdm中 mc md2 dc23 可证am 平面pcd 则am mc s acm am mc 1 2 6 2 设点d到平面acm的距