2019-2020学年九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理教案 （新版）湘教版

2 3 2 3 垂径定理垂径定理 教学目标 教学目标 知识与技能 1 理解圆是轴对称图形 由圆的折叠猜想垂径定理 并进行推理验证 2 理解垂径定理 灵活运用定理进行证明及计算 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中 培养我们观察 比较 归纳 概括的能力 情感态度 通过对圆的进一步认识 加深我们对圆的完美性的体会 陶冶美育情操 激发学习热 情 教学重点 垂径定理及运用 教学难点 用垂径定理解决实际问题 教学过程 教学过程 一 情境导入 初步认识 教师出示一张图形纸片 同学们猜想一下 1 圆是轴对称图形吗 如果是 对称轴是什么 2 如图 ab 是 o 的一条弦 直径 cd ab 于点 m 能发现图中有哪些等量关系 在纸片上对折操作 学生回答或展示 教学说明 1 是轴对称图形 对称轴是直线 cd 2 am bm aaaa acbc adbd 二 思考探究 获取新知 探究 1 垂径定理及其推论的证明 1 由上面学生折纸操作的结论 教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论 学生们说 出已知 求证 再由小组讨论推理过程 已知 直径 cd 弦 ab 且 cd ab 垂足为点 m 求证 am bm aaaa acbc adbd 教学说明 连接 oa ob 又 cd ab 于点 m 由等腰三角形三线合一可知 am bm 再 由 o 关于直线 cd 对称 可得 aaaa acbc adbd 学生尝试用语言叙述这个命题 2 得出垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 还可以得出结论 垂径定理推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 学生讨论写出已知 求证 并说明 学生回答 教学说明 已知 ab 为 o 的弦 ab 不过圆心 o cd 为 o 的直径 ab 交 cd 于点 m ma mb 求证 cd ab aaaa acbc adbd 证明 在 oab 中 oa ob ma mb cd ab 又 cd 为 o 的直径 aaaa acbc adbd 4 同学讨论回答 如果条件中 ab 为任意一条弦 上面的结论还成立吗 学生回答 教学说明 当 ab 为 o 的直径时 直径 cd 与直径 ab 一定互相平分 位置关系是相 交 不一定垂直 探究 2垂径定理在计算方面的应用 例 1 讲教材例 1 例 2 已知 o 的半径为 13cm 弦 ab cd ab 10cm cd 24cm 求 ab 与 cd 间的距离 解 1 当 ab cd 在 o 点同侧时 如图 所示 过 o 作 om ab 于 m 交 cd 于 n 连 oa oc ab cd on cd 于 n 在 rt aom 中 am 5cm om 22 oaam 12cm 在 rt ocn 中 cn 12cm on 22 occn 5cm mn om on mn 7cm 2 当 ab cd 在 o 点异侧时 如图 所示 由 1 可知 om 12cm on 5cm mn om on mn 17cm ab 与 cd 间的距离是 7cm 或 17cm 教学说明 1 求直径往往只要能求出半径 即把它放在由半径所构成的直角三角形 中去 2 ab cd 与点 o 的位置关系没有说明 应分两种情况 ab cd 在 o 点的同侧和 ab cd 在 o 点的两侧 探究 3 与垂径定理有关的证明 例 3 讲教材例 2 教学说明 1 作直径 ef ab a a aebe 又 ab cd ef ab ef cd a a cede a aaa aecebede 即 aa acbd 2 说明直接用垂径定理即可 三 运用新知 深化理解 1 如右图 ab 为 o 的直径 弦 cd ab 于 e 已知 cd 12 be 2 则 o 的直径为 a 8 b 10 c 16 d 20 2 如图 半径为 5 的 p 与 y 轴交于点 m 0 4 n 0 10 函数 k y x x 0 的图象过点 p 则 k 3 如图 在 o 中 ab ac 为互相垂直且相等的两条弦 od ab 于 d oe ac 于 e 求证 四边形 adoe 为正方形 教学说明 1 在解决与弦的有关问题时 常过圆心作弦的垂线 弦心距 然后构造 以半径 弦心距 弦的一半为边的直角三角形 利用直角三角形的性质求解 2 求 k 值关键是求出 p 点坐标 3 利用垂径定理 由 ab ac ae ad 再由已知条件 三个直角 正方形 答案 1 d2 28 3 解 由 oe ca od ab ac ab 四边形 adoe 为矩形 再由垂径定理 ae 1 2 ac ad 1 2 ab 且 ab ac ae ad 矩形 eado 为正方形 四 师生互动 课堂小结 1 这节课你学到了什么 还有哪些疑惑 2 在学生回答基础上 3 教师强调 圆是轴对称图形 对称轴是过圆心的任一条直线 垂径定理及推论 中注意 平分弦 不是直径 的直径 垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 中的限制 垂径定理的计算及证明 常作弦心距为辅助线 用勾股定理列方程 注意计算中的两 种情况 课堂作业