教用-理想气体状态方程的综合应用

第第 4 讲讲 习题课 理想气体状态方程的综合应用习题课 理想气体状态方程的综合应用 目标定位 1 进一步熟练掌握气体三定律 并能熟练应用 2 熟练掌握各种气体图象 及其 它们之间的转换 3 掌握理想气体状态方程的几个推论 1 气体三定律 1 玻意耳定律内容 一定质量的某种气体 在温度不变的情况下 压强 p 与体积 V 成反 比 公式 pV C 或 p1V1 p2V2 2 查理定律内容 一定质量的某种气体 在体积不变的情况下 压强 p 与热力学温度 T 成 正比 公式 C 或 p T p1 T1 p2 T2 3 盖 吕萨克定律内容 一定质量的某种气体 在压强不变的情况下 其体积 V 与热力学 温度 T 成正比 公式 C 或 V T V1 T1 V2 T2 2 理想气体状态方程 对一定质量的理想气体 C 或 pV T p1V1 T1 p2V2 T2 一 相互关联的两部分气体的分析方法 这类问题涉及两部分气体 它们之间虽然没有气体交换 但其压强或体积这些量间有一定 的关系 分析清楚这些关系是解决问题的关键 解决这类问题的一般方法是 1 分别选取每部分气体为研究对象 确定初 末状态参量 根据状态方程列式求解 2 认真分析两部分气体的压强 体积之间的关系 并列出方程 3 多个方程联立求解 例 1 如图 1 所示 内径均匀的 U 形管中装入水银 两管中水银面 与管口的距离均为 l 10 0 cm 大气压强 p0 75 8 cmHg 时 将右侧 管口封闭 然后从左侧管口处将一活塞缓慢向下推入管中 直到左 右两侧水银面高度差达 h 6 0 cm 为止 求活塞在管内移动的距离 解析 设活塞移动的距离为 x cm 活塞的横截面积为 S 则左侧气体体积为 l x S 右 h 2 侧气体体积为 l S 取右侧气体为研究对象 由玻意耳定律得 p0lS p2 l S h 2 h 2 解得 p2 cmHg p0lS l h 2 S 758 7 左侧气柱的压强为 p1 p2 ph cmHg 800 7 取左侧气柱为研究对象 由玻意耳定律得 p0lS p1 l x S 解得 x 6 4 cm h 2 借题发挥 两部分气体问题中 对每一部分气体来讲都独立满足 常数 两部分气体往 pV T 往满足一定的联系 如压强关系 体积关系等 从而再列出联系方程即可 二 变质量问题 分析变质量问题时 可以通过巧妙选择合适的研究对象 使这类问题转化为定质量的气体 问题 用理想气体状态方程求解 1 打气问题 向球 轮胎中充气是一个典型的气体变质量的问题 只要选择球内原有气体和即将打入的 气体作为研究对象 就可以把充气过程中的气体质量变化的问题转化为定质量气体的状态 变化问题 2 抽气问题 从容器内抽气的过程中 容器内的气体质量不断减小 这属于变质量问题 分析时 将每 次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象 总质量不变 故抽气过程可看做是等 温膨胀过程 例 2 氧气瓶的容积是 40 L 其中氧气的压强是 130 atm 规定瓶内氧气压强降到 10 atm 时就要重新充氧 有一个车间 每天需要用 1 atm 的氧气 400 L 这瓶氧气能用几天 假定 温度不变 解析 用如图所示的方框图表示思路 由 V1 V2 p1V1 p2V2 V2 L 520 L p1V1 p2 130 40 10 由 V2 V1 V3 p2 V2 V1 p3V3 V3 L 4 800 L p2 V2 V1 p3 10 480 1 则 12 天 V3 400 L 三 气体图象与图象之间的转换 理想气体状态变化的过程 可以用不同的图象描述 已知某个图象 可以根据这一图象转换成另一图象 如由 p V 图象变成 p T 图象或 V T 图象 例 3 使一定质量的理想气体按图 2 中箭头所示的顺序变化 图中 BC 是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线 1 已知气体在状态 A 的温度 TA 300 K 求气体在状态 B C 和 D 的温度各是多少 2 将上述状态变化过程在 V T 中用图线表示出来 图中要标明 A B C D 四点 并且要 画箭头表示变化的方向 说明每段图线各表示什么过程 解析 由 p V 图可直观地看出 气体在 A B C D 各状态下的压强和体积为 VA 10 L pA 4 atm pB 4 atm pC 2 atm pD 2 atm VC 40 L VD 20 L 1 根据理想气体状态方程 pAVA TA pCVC TC pDVD TD 可得 TC TA 300 K 600 K pCVC pAVA 2 40 4 10 TD TA 300 K 300 K pDVD pAVA 2 20 4 10 TB TC 600 K 2 由状态 B 到状态 C 为等温变化 由玻意耳定律有 pBVB pCVC 得 VB L 20 L pCVC pB 2 40 4 在 V T 图上状态变化过程的图线由 A B C D 各状态点依次连接 如图所示 AB 是等压膨胀过程 BC 是等温膨胀过程 CD 是等压压 缩过程 四 汽缸类问题的处理方法 解决汽缸类问题的一般思路 1 弄清题意 确定研究对象 一般来说 研究对象分两类 一类是热学研究对象 一定质量 的理想气体 另一类是力学研究对象 汽缸 活塞或某系统 2 分析清楚题目所述的物理过程 对热学研究对象分析清楚初 末状态及状态变化过程 依气体实验定律列出方程 对力学研究对象要正确地进行受力分析 依据力学规律列出方 程 3 注意挖掘题目中的隐含条件 如几何关系等 列出辅助方程 4 多个方程联立求解 对求解的结果注意检验它们的合理性 例 4 如图 3 所示 汽缸质量为 m1 活塞质量为 m2 不计缸内气 体的质量及一切摩擦 当用一水平外力 F 拉活塞时 活塞和汽缸 最终以共同的加速度运动 求此时缸内气体的压强 已知大气压 为 p0 活塞横截面积为 S 解析 以活塞 m2为研究对象 其受力分析如图所示 根据牛顿第二定律 有 F pS p0S m2a 由于方程 中有 p 和 a 两个未知量 所以还必须以整体为研究对象 列出牛顿第二定律方 程 F m1 m2 a 联立 可得 p p0 m1F m1 m2 S 借题发挥 求解封闭气体的压强时 必须转换为以活塞等为研究对象 由于本题中系统处 于加速状态 因此还必须以整体为对象进行研究 列动力学方程 求解结果 相关联的两部分气体问题 1 如图 4 所示 一个密闭的汽缸 被活塞分成体积相等的左 右两室 汽缸壁与活塞是不导热的 它们之间没有摩擦 两室中气体的温度相 等 现利用右室中的电热丝对右室加热一段时间 活塞达到平衡后 左室的体积变为原来的 气体的温度 T1 300 K 求右室气体的温 3 4 度 解析 根据题意对汽缸中左右两室中气体的状态进行分析 左室的气体 加热前 p0 V0 T0 加热后 p1 V0 T1 3 4 右室的气体 加热前 p0 V0 T0 加热后 p1 V0 T2 5 4 根据 恒量 得 pV T 左室气体 p0V0 T0 p1 3 4V0 T1 右室气体 p0V0 T0 p1 5 4V0 T2 所以 p1 3 4V0 300 K p1 5 4V0 T2 解得 T2 500 K 变质量问题 2 某种喷雾器的贮液筒的总容积为 7 5 L 如图 5 所示 装入 6 L 的药液 后再用密封盖将贮液筒密封 与贮液筒相连的活塞式打气筒每次能压入 300 cm3 1 atm 的空气 设整个过程温度保持不变 求 1 要使贮气筒中空气的压强达到 4 atm 打气筒应打压几次 2 在贮气筒中空气的压强达到 4 atm 时 打开喷嘴使其喷雾 直到内外气体压强相等 这 时筒内还剩多少药液 解析 1 设每打一次气 贮液筒内增加的压强为 p 由玻意耳定律得 1 atm 300 cm3 1 5 103cm3 p p 0 2 atm 需打气次数 n 15 4 1 0 2 2 设停止喷雾时贮液筒内气体体积为 V 由玻意耳定律得 4 atm 1 5 L 1 atm V V 6 L 故还剩贮液 7 5 L 6 L 1 5 L 3 如图 6 所示 一定质量的理想气体从状态 A 经 B C D 再回到 A 问 AB BC CD DA 分别是什么过程 已知在状态 A 时体积为 1 L 请把此图改画为 p V 图象 解析 AB 过程是等容升温升压 BC 过程是等压升温增容 即等压膨 胀 CD 过程是等温减压增容 即等温膨胀 DA 过程是等压降温减容 即等压压缩 已知 VA 1 L 则 VB 1 L 等容变化 由 等压变化 得 VC TC VB TB VC TC 900 L 2 L VB TB 1 450 由 pDVD pCVC 等温变化 得 VD VC 2 L 6 L pC pD 3 1 汽缸类问题 4 如图 7 所示 汽缸长为 L 1 m 固定在水平面上 汽缸中有横截 面积为 S 100 cm2的光滑活塞 活塞封闭了一定质量的理想气体 当 温度为 t 27 大气压强为 p0 1 105Pa 时 气柱长度为 l 90 cm 汽缸和活塞的厚度均可忽略不计 求 1 如果温度保持不变 将活塞缓慢拉至汽缸右端口 此时水平拉力 F 的大小是多少 2 如果汽缸内气体温度缓慢升高 使活塞移至汽缸右端口时 气体温度为多少摄氏度 解析 1 设活塞到达缸口时 被封闭气体压强为 p1 则 p1S p0S F 由玻意耳定律得 p0lS p1LS 解得 F 100 N 2 由盖 吕萨克定律得 lS 300 K LS 273 K t 解得 t 60 3 题组一 相关联的两部分气体问题 1 如图 1 所示 两端密封 下部装有水银 上部为空气柱的 U 形管 静止 时 管内水银面的高度差为 h 当 U 形管做自由落体运动时 h 将 A 增大 B 减小 C 不变 D 不能判断 解析 U 形管自由落体时 水银柱不再产生压强 故右边气体压强减小 体积增加 左边 气体压强增大 体积减小 所以 h 增大 2 如图 2 所示 将装有温度都为 T 的同种气体的两容器用水平细管 相连 管中有一小段水银将 A B 两部分气体隔开 现使 A B 同时 升高温度 若 A 升高到 T TA B 升高到 T TB 已知 VA 2VB 要使水银保持不动 则 A TA 2 TB B TA TB C TA TB D TA TB 1 2 1 4 解析 初状态 pA pB 末状态 pA pB 所以 pA pB 水银柱保持不动 则 V 不变 对 A 对 B 得 TA TB pA T pA TA pB T pB TB 3 一圆柱形汽缸直立在地面上 内有一具有质量而无摩擦的绝热活塞 把汽 缸分成容积相同的 A B 两部分 如图 3 所示 两部分气体温度相同 都是 T0 27 A 部分气体压强 pA0 1 0 105 Pa B 部分气体压强 pB0 2 0 105 Pa 现对 B 部分气体加热 使活塞上升 使 A 部分气体体积减小为原来的 求 2 3 此时 1 A 部分气体的压强 pA 2 B 部分气体的温度 TB 解析 1 A 部分气体等温变化 由玻意耳定律 pA0V pA V 所以 pA pA0 2 3 3 2 把 pA0 1 0 105 Pa 代入得 pA 1 5 105 Pa 2 B 部分气体 初状态 pB0 2 0 105 Pa VB0 V TB0 300 K 末状态 pB pA pB0 pA0 2 5 105 Pa VB V V V 1 3 4 3 由理想气体状态方程 pB0VB0 TB0 pBVB TB 得 TB K 500 K TB0pBVB pB0VB0 300 2 5 105 4 3V 2 0 105 V 题组二 变质量问题 4 如图 4 所示 一太阳能空气集热器 底面及侧面为隔热 材料 顶面为透明玻璃板 集热器容积为 V0 开始时内部 封闭气体的压强为 p0 经过太阳曝晒 气体温度由 T0 300 K 升至 T1 350 K 1 求此时气体的压强 2 保持 T1 350 K 不变 缓慢抽出部分气体 使气体压强再变回到 p0 求集热器内剩余气体 的质量与原来总质量的比值 解析 1 由题意知 气体体积不变 由查理定律得 p0 T0 p1 T1 所以此时气体的压强 p1 p0 p0 p0 T1 T0 350 300 7 6 2 抽气过程可等效为等温膨胀过程 设膨胀后气体的总体积为 V2 由玻意耳定律可得 p1V0 p0V2 可得 V2 V0 p1V0 p0 7 6 所以集热器内剩余气体的质量与原来总质量的比值为 V0 7 6V0 6 7 5 用打气筒将 1 atm 的空气打进自行车胎内 如果打气筒容积 V 500 cm3 轮胎容积 V 3 L 原来压强 p 1 5 atm 现要使轮胎内压强为 p 4 atm 问用这个打气筒要打气几 次 设打气过程中空气的温度不变 A 5 次 B 10 次 C 15 次 D 20 次 解析 因为温度不变 可应用玻意耳定律的分态气态方程求解 pV np1 V p V 代入数据得 1 5 atm 3 L n 1 atm 0 5 L 4 atm 3 L 解得 n 15 故答案选 C 6 钢瓶中装有一定质量的气体 现在用两种方法抽钢瓶中的气体 第一种方法是用小抽气 机 每次抽出 1 L 气体 共抽取三次 第二种方法是用大抽气机 一次抽取 3 L 气体 这 两种抽法中 抽取气体质量较大的是 A 第一种抽法 B 第二种抽法 C 两种抽法抽出的气体质量一样大 D 无法判定 答案 A 解析 设初态气体压强为 p0 抽出气体后压强变为 p 对气体状态变化应用玻意耳定律 则第一种抽法 p0V p1 V 1 p1 p0 同理 p2 p1 p0 2 三次抽完后的压强 p3 p3 p0 3 V 1 V V V 1 V 1 V V 1 V 第二种抽法 p0V p V 3 得 p p0 V V 3 比较可知 p3 p0 3 p p0 V 1 V V V 3 即第一种抽法抽出气体后 剩余气体的压强小 即抽出的气体质量大 题组三 气体图象与图象的转换 7 一