2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用能力检测 新人教A版选修1-1

1 第三章第三章 导数及其应用能力检测导数及其应用能力检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 1 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 等于 a 2 b 1 c 2 d 0 答案 a 2 2019 年河南洛阳期末 设a为实数 函数f x x3 ax2 a 3 x的导函数为 f x 且f x 是偶函数 则曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 a 9x y 16 0 b 9x y 16 0 c 6x y 12 0 d 6x y 12 0 答案 a 3 已知对任意实数x 有f x f x g x g x 且x 0 时 f x 0 g x 0 则x 0 时 a f x 0 g x 0 b f x 0 g x 0 c f x 0 g x 0 d f x 0 g x 0 答案 b 4 已知函数f x x2 cos x f x 是函数f x 的导函数 则f x 的图象大致是 1 4 a b c 2 d 答案 a 5 已知函数f x x4 4x3 10 x2 27 则方程f x 0 在 2 10 上的根的个数为 a 3 b 2 c 1 d 0 答案 c 6 2019 年湖南衡阳期末 已知x 1 是函数f x ax3 bx ln x a 0 b r r 的一个极 值点 则 ln a与b 1 的大小关系是 a ln a b 1 b ln a0 由f x a 0 得x 当x 时 f x 1 x ax 1 x 1 a 0 1 a 0 f x 单调递增 当 0e 即 0 a 舍去 综上 a e2 1 e 4 e 1 e 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 17 10 分 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1 处有极小值 1 1 求a b 2 求f x 的单调区间 5 解 1 由已知 可得f 1 1 3a 2b 1 又f x 3x2 6ax 2b f 1 3 6a 2b 0 由 解得a b 1 3 1 2 2 由 1 得函数的解析式为f x x3 x2 x 由此得f x 3x2 2x 1 根据二次函数的性质 当x1 时 f x 0 1 3 当 x 1 时 f x 0 1 3 因此 函数f x 的单调递增区间为和 1 1 3 单调递减区间为 1 3 1 18 12 分 2019 年江苏连云港期末 某厂生产某种电子元件 如果生产出一件正品 可获利 200 元 如果生产出一件次品 则损失 100 元 已知该厂制造电子元件过程中 次品 率p与日产量x的函数关系是 p x n n 3x 4x 32 1 写出该厂的日盈利额t 元 用日产量x 件 表示的函数关系式 2 为获最大日盈利 该厂的日产量应定为多少件 解 1 由题意可知次品率为p 每天生产x件 次品数为xp 正品数为x 1 p 因为次品率p 当每天生产x件时 有x 件次品 有x件 3x 4x 32 3x 4x 32 1 3x 4x 32 正品 所以t 200 x 100 x 25 x n n 1 3x 4x 32 3x 4x 32 64x x2 x 8 2 t 25 x 32 x 16 x 8 2 由t 0 得x 16 或x 32 舍去 当 0 x 16 时 t 0 当x 16 时 t 0 在 上单调递增 若a 0 则由f x 0 得x ln a 当x ln a 时 f x 0 当x ln a 时 f x 0 f x 在 ln a 上单调递减 在 ln a 上单调递增 若a 0 则由f x 0 得x ln a 2 当x 时 f x 0 ln a 2 当x 时 f x 0 ln a 2 f x 在上单调递减 在上单调递增 ln a 2 ln a 2 2 若a 0 则f x e2x 0 恒成立 f x 0 若a 0 则由 1 可得当x ln a时 f x 取得最小值 最小值为f ln a a2ln a 当且仅当 a2ln a 0 即 0a 2e 时 f x 0 3 4 ln a 2 3 4 ln a 2 3 4 综上 a的取值范围为 2e 1 3 4 20 12 分 2019 年广东广州综合测试 已知函数f x x2 3x 3 ex的定义域为 2 t t 2 1 试确定t的取值范围 使得函数f x 在 2 t 上为单调函数 2 当 1 t0 得x 1 或x 0 由f x 0 得 0 x 1 f x 在 0 1 上单调递增 在 0 1 上单调递减 若要使f x 在 2 t 上为单调函数 则需 2 t 0 即t的取值范围为 2 0 2 x x0 t 1 2 即x x0 t 1 2 f x0 ex02 0 f x0 ex0 2 32 0 2 3 令g x x2 x t 1 2 则问题转化为当 1 t 4 时 求方程g x x2 x t 1 2 3 2 3 2 0 在 2 t 上的解的个数 7 g 2 6 t 1 2 t 2 t 4 g t t t 1 t 1 2 t 2 t 1 2 3 2 3 2 3 1 3 当 1 t0 且g t 0 g 0 t 1 2 0 g x 0 在 2 t 上有两解 2 3 满足 t 1 2的x0的个数为 2 f x0 ex0 2 3 21 12 分 已知函数f x x3 ax2 bx c在x 与x 1 时都取得极值 2 3 1 求a b的值与函数f x 的单调区间 2 若对x 1 2 不等式f x 0 得x1 2 3 令f x 0 得 x 1 2 3 所以函数f x 的递增区间是和 1 递减区间是 2 3 2 3 1 2 f x x3 x2 2x c x 1 2 1 2 由 1 知 当x 时 f c为极大值 2 3 2 3 22 27 而f 2 2 c f 1 c 则f 2 2 c为最大值 1 2 要使f x f 2 2 c 得c2 22 12 分 已知函数f x x2 ax 2a2 3a ex x r r 其中a r r 1 当a 0 时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 2 当a 时 求函数f x 的单调区间与极值 2 3 解 1 当a 0 时 f x x2ex f x x2 2x ex 故f 1 3e 所以曲线y f x 在 点 1 f 1 处的切线的斜率为 3e 8 2 f x x2 a 2 x 2a2 4a ex 令f x 0 解得x 2a或x a 2 由a 知 2a a 2 2 3 以下分两种情况讨论 若a 则 2a a 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 3 x 2a 2a 2a a 2 a 2 a 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以f x 在 2a a 2 内是增函数 在 2a a 2 内是减函数 函数f x 在x 2a处取得极大值f 2a 且f 2a 3ae 2a 函数f x 在x a 2 处取得极小值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 若aa 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 3 x