2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何能力检测 新人教A版选修2-1

1 第三章第三章 空间向量与立体几何能力检测空间向量与立体几何能力检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 1 设 a a b b c c 是空间一个基底 则一定可以与向量p p a a b b q q a a b b构成空间的另 一个基底的向量是 a a ab b b c c cd a a或b b 答案 c 解析 向量p p q q均与a a b b共面 所以只能与c c组成基底 2 已知空间直角坐标系中点a 1 0 0 b 2 0 1 c 0 1 2 则平面abc的一个法向 量为 a 1 3 2 b 1 3 1 c 1 3 1 d 1 3 1 答案 b 解析 1 0 1 1 1 2 设平面abc的一个法向量为n n x y z 则 ab ac n n x z 0 n n x y 2z 0 n n 1 3 1 为平面abc的法向量 故选 b ab ac 3 设a b c d是空间不共面的四点且满足 0 0 0 则 ab ac ab ad ac ad bcd是 a 钝角三角形b 直角三角形 c 锐角三角形d 不确定 答案 c 解析 由 0 0 0 可知 即三 ab ac ab ad ac ad ab ac ab ad ac ad 棱锥abcd的三侧棱两两垂直 则其底面为锐角三角形 4 已知向量a a 0 2 1 b b 1 1 2 则a a与b b的夹角为 a 0 b 45 c 90 d 180 答案 c 解析 cos a a b b 0 a a与b b的夹角为 90 a a b b a a b b 2 2 5 6 5 2019 年陕西西安期末 已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于t 点 e f分别是bc ad的中点 则 等于 ae af 2 a t2 b t2 3 2 3 4 c t2 d t2 1 2 1 4 答案 d 解析 设 a a b b c c 则 a a b b c c t 且a a b b c c三向量两两夹角 ab ac ad 为 60 又 a a b b c c 故 a a b b c c a ca c b cb c t2cos 60 ae 1 2 af 1 2 ae af 1 2 1 2 1 4 1 4 t2cos 60 t2 1 4 6 设a a m 1 2 b b 3 4 n 若a ba b 则m n的值分别为 a 8b 8 3 4 3 4 c 8d 8 3 4 3 4 答案 a 解析 a a b b 存在实数 使得a a b b error 解得m n 8 故选 a 3 4 7 空间四边形oabc中 a a b b c c 点m在上且 2 n为bc中点 oa ob oc oa om ma 则等于 mn a a a b b c cb a a b b c c 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 c a a b b c cd a a b b c c 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 答案 b 解析 如图 a a c c b b c c a a b b c c mn mo oc cn 2 3ao oc 1 2cb 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 3 8 2019 年黑龙江哈尔滨模拟 已知空间向量a a 2 2 1 21 2 b b 2 2 12 2 1 则以a a b b 为邻边的平行四边形的面积为 a b 65 265 c 4 d 8 答案 b 解析 a a 3 3 b b 3 3 而a ba b 4 a ba b cos a a b b cos a a b b 故 4 9 sin a a b b 于是以a a b b为邻边的平行四边形的面积为 1 4 9 2 65 9 s a ba b sin a a b b 3 3 故选 b 65 965 9 已知e e1 1 e e2 2 e e3 3是空间中不共面的三个向量 若 a a e e1 e e2 e e3 b b e e1 e e2 e e3 c c e e1 e e2 d d e e1 2e e2 3e e3且d d xa a yb b zc c 则x y z 分别为 a 1b 1 5 2 1 2 5 2 1 2 c 1d 1 5 2 1 2 5 2 1 2 答案 a 解析 d d xa a yb b zc c x y z e e1 x y z e e2 x y e e3 e e1 2e e2 3e e2 由空 间向量基本定理 空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示 从而得到error 解得 x y z 1 故选 a 5 2 1 2 10 2019 年河北石家庄模拟 在正三棱柱abc a1b1c1中 已知ab 2 cc1 则异 2 面直线ab1和bc1所成角的正弦值为 a 1 b 7 7 c d 1 2 3 2 答案 a 解析 取线段a1b1 ab的中点分别为o d 则oc1 平面abb1a1 可以以 ob1 oc1 4 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系o xyz 如图 则 od a 1 0 b1 1 0 0 b 1 0 c1 0 0 2 0 1 223 ab1 2 bc1 2 0 1 0 即异面直线ab1 32 ab1 bc1 232 ab1 bc1 和bc1所成的角为直角 则其正弦值为 1 故选 a 11 在棱长为 1 的正方体abcda1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 bb1的中点 g为棱a1b1 上的一点且a1g 0 1 则点g到平面d1ef的距离为 a b 3 2 2 c d 2 3 5 5 答案 d 解析 以d为原点 da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则e f d1 0 0 1 a1 1 0 1 可求得面d1ef的一个法向量为 1 0 1 2 1 1 1 2 n n 1 0 2 a1g ef 点g到平面d1ef的距离等于点a1到平面d1ef的距离 又 a1e 0 0 1 2 d a1e n n n n 1 5 5 5 12 2019 年宁夏银川期末 已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等 则ab1与 侧面acc1a1所成角的正弦值等于 a b 2 3 1 3 c d 10 4 6 4 5 答案 d 解析 如图 以a1c1中点e为原点建立空间直角坐标系e xyz 设棱长为 1 则a b1 设ab1与平面acc1a1所成的角为 eb1为平面acc1a1的法向量 1 2 0 1 0 3 2 0 则 sin cos ab1 eb1 1 2 3 2 1 0 3 2 0 2 3 2 6 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 2017 年上海 如图 以长方体abcda1b1c1d1的顶点d为坐标原点 过点d的三条棱 所在的直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 若向量的坐标为 4 3 2 则向量的坐 db1 ac1 标是 答案 4 3 2 解析 由的坐标为 4 3 2 可得a 4 0 0 c 0 3 0 d1 0 0 2 则c1 0 3 2 db1 4 3 2 ac1 14 已知平面 经过点o 0 0 0 且e e 1 1 1 是 的法向量 m x y z 是平面 内任意一点 则x y z满足的关系式是 答案 x y z 0 解析 e e x y z 1 1 1 x y z 0 om 15 2017 年新课标 已知向量a a b b的夹角为 60 a a 2 b b 1 则 a a 2b2b 答案 2 3 解析 a a 2b b 2 a a 2b b 2 a a 2 2 a a 2b b cos 60 2 b b 2 22 2 2 2 22 4 4 4 12 a a 2b b 2 1 2123 6 16 2019 年吉林长春期末 在三棱锥pabc中 pa 平面abc bac 90 d e f 分别是棱ab bc cp的中点 ab ac 1 pa 2 则直线pa与平面def所成角的正弦值为 答案 5 5 解析 以a为原点 ab ac ap所在直线分别为x轴 y轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由ab ac 1 pa 2 得a 0 0 0 b 1 0 0 c 0 1 0 p 0 0 2 d e f 0 0 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 pa 设平面def的法向量为n n x y z 由error 得error 取 de 0 1 2 0 df 1 2 1 2 1 z 1 则n n 2 0 1 设直线pa与平面def所成的角为 则 sin 直 pa n n pa n n 5 5 线pa与平面def所成角的正弦值为 5 5 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 17 10 分 设向量a a 3 5 4 b b 2 1 8 计算3a3a 2b b a ba b 并确定 的关系 使 a a b b与z轴垂直 解 3a3a 2b b 3 3 5 4 2 2 1 8 9 15 12 4 2 16 5 13 28 a ba b 3 5 4 2 1 8 6 5 32 21 由 a a b b 0 0 1 3 2 5 4 8 0 0 1 4 8 0 得 2 0 当 满足 2 0 时 可使 a a b b与z轴垂直 18 12 分 已知空间三点a 2 0 2 b 1 1 2 c 3 0 4 设a a b b ab ac 1 求a a和b b的夹角的余弦值 2 若向量ka a b b与ka a 2b b互相垂直 求k的值 解 a a 1 2 1 0 2 2 1 1 0 b b 3 2 0 0 4 2 1 0 2 1 cos a a b b a a b b 1 0 0 2 5 10 10 a a和b b的夹角的余弦值为 10 10 2 ka a b b k k 0 1 0 2 k 1 k 2 ka a 2b b k k 0 2 0 4 k 2 k 4 7 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 即 2k2 k 10 0 k 或k 2 5 2 19 12 分 2019 年福建龙岩期末 如图 在多面体abca1b1c1中 四边形a1abb1是正方 形 ab ac bc ab b1c1綊bc 二面角a1abc是直二面角 2 1 2 求证 1 a1b1 平面aa1c 2 ab1 平面a1c1c 证明 1 二面角a1abc是直二面角 四边形a1abb1为正方形 aa1 平面bac 又 ab ac bc ab 2 cab 90 即ca ab ab ac aa1两两互相垂直 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 设ab 2 则a 0 0 0 b1 0 2 2 a1 0 0 2 c 2 0 0 c1 1 1 2 0 2 0 0 0 2 2 0 0 a1b1 a1a ac 设平面aa1c的一个法向量n n x y z 则error 即error 即error 取y 1 则n n 0 1 0 2n n 即 n n a1b1 a1b1 a1b1 平面aa1c 2 易知 0 2 2 1 1 0 2 0 2 ab1 a1c1 a1c 设平面a1c1c的一个法向量m m x1 y1 z1 则error 即error 令x1 1 则y1 1 z1 1 即m m 1 1 1 8 m m 0 1 2 1 2 1 0 m m ab1 ab1 又ab1 平面a1c1c ab1 平面a1c1c 20 12 分 已知 rt abc中 c 90 b 30 ab 4 若沿斜边上的中线cd将 acd折起 使得点a到点b的距离为 求所折起的二面角的大小 13 解 如图 分别过点a b作cd的垂线af和be 点e在cd延长线上 ad ac f 为cd中点 而 所成的角即为所求二面角的平面角 eb fa eb fa ec cb fc ca ec fc ec ca cb fc cb ca c 90 b 30 ad bd 4 ac cd ad 2 bc 2 3 bce 30 ec bc cos 30 2 3 eb bc sin 30 3 3 23 cos bca ac2 bc2 ab2 2ac bc 22 2 3 2 13 2 2 2 2 3 3 8 3 1 3 2 2 1 2 2 eb fa 1 2 3 3 2 3 3 8 3 2 cos eb fa eb fa eb fa 3 2 3 3 1 2 折成的二面角的大小是 120 21 12 分 2019 年广东广州期末 如图 平面abde 平面abc abc是等腰直角三角 形 ac bc 4 四边形abde是直角梯形 bd ae bd ba bd ae 2 o m分别为 1 2 ce ab的中点 1 求异面直线ab与ce所成角的大小 2 求直线cd与平面odm所成角的正弦值 解 1 db ba 平面abde 平面abc 平面abde 平面abc ab db 平面 9 abde db 平面abc bd ae ea 平面abc 如图 以c为坐标原点 分别以ca cb所在直线为x轴 y轴 以过点c且与ea平行 的直线为z轴 建立空间直角坐标系 ac bc 4 bd ae 2 1 2 c 0 0 0 a 4 0 0 b 0 4 0 e 4 0 4 4 4 0 4 0 4 ab ce cos ab ce 16 4 2 4 2 1 2 ab与ce所成角的大小为 3 2 由 1 知o 2 0 2 d 0 4 2 m 2 2 0 0 4 2 2 4 0 cd od 2 2 2 md 设平面odm的法向量为n n x y z 则由error 得error 令x 2 则y 1 z 1 则n n 2 1 1 设直线cd与平面odm所成的角为 则 sin cos n n cd cd n n cd n n 30 10 直线cd与平面odm所成角的正弦值为 30 10 22 12 分 如图所示 已知正三棱柱abca1b1c1中 ab 2 aa1 点d为ac的中点 3 点e在线段aa1上