2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积限时规范训练 新人教A版必修2

1 1 3 21 3 2 球的体积和表面积球的体积和表面积 基础练习 1 设正方体的表面积为 24 那么其外接球的体积是 a b 4 3 8 3 c 4 d 32 33 答案 c 解析 由题意可知 6a2 24 a 2 设正方体外接球的半径为r 则a 2r r 3 v球 r3 4 3 4 33 2 已知底面边长为 1 高为 2 的正六棱柱的顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 a 4 b 8 c d 8 2 3 4 2 3 答案 b 解析 正六棱柱的底面边长为 1 高为 2 正六棱柱体对角线的长为 2 22 22 又正六棱柱的顶点在同一球面上 正六棱柱体对角线恰好是球的直径 得球半径 2 r 则球的表面积为s 4 r2 8 故选 b 2 3 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 a 8 b 8 4 3 2 3 c 4 d 4 4 3 2 3 答案 b 解析 由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱与半球的组合体 故体积 v 1 2 4 8 故选 b 1 2 4 3 2 3 4 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 2 a 1 b 1 3 3 c 1 3 d 1 9 3 答案 c 解析 设正方体的棱长为a 则它的内切球的半径为a 它的外接球的半径为a 1 2 3 2 故所求的比为 1 3 3 5 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积为 则正方体的棱长为 9 2 答案 3 解析 设正方体棱长为a 球半径为r 则 r3 r a 3 a 4 3 9 2 3 233 6 2019 年贵州贵阳适应性考试 某零件的正 主 视图与侧 左 视图均是如图所示的图 形 实线组成半径为 2 cm 的半圆 虚线是等腰三角形的两腰 俯视图是一个半径为 2 cm 的 圆 包括圆心 则该零件的体积是 cm3 答案 4 解析 零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体 其体积为 23 22 1 4 cm3 1 2 4 3 1 3 7 盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm 两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于 水中 若取出这两个小球 则水面将下降多少 解析 设取出小球后 容器中水面下降h cm 两个小球的体积为v球 2 cm3 4 3 5 2 3 125 3 此体积即等于它们在容器中排开水的体积v 52 h 所以 52 h 解得h 125 3 5 3 即若取出这两个小球 则水面将下降 cm 5 3 8 在球面上有四个点p a b c 如果pa pb pc两两垂直且pa pb pc a 求这 个球的体积 解析 设这个球的半径为r pa pb pc两两垂直 pa pb pc a 以pa pb pc为相邻三条棱可以构造正方体 3 又p a b c四点是球面上四点 球是正方体的外接球 正方体的体对角线是球的直径 2r a r a 3 3 2 所求体积为 r3 3 a3 4 3 4 3 3 2 a 3 2 能力提升 9 在四面体abcd中 共顶点a的三条棱两两相互垂直 且其长分别为 2 3 4 若四面体 abcd的四个顶点在同一个球面上 则这个球的表面积为 a 23 b 25 c 27 d 29 答案 d 解析 依题意知原几何体是一个三棱锥 这个几何体可以看作是长 宽 高分别为 4 2 3 的长方体的一部分 则其外接球的半径为r 故这个球的表面积 1 2 42 22 32 29 2 为s 4 r2 4 2 29 29 2 10 一块石材表示的几何体的三视图如图所示 将该石材切削 打磨 加工成球 则能 得到的最大球的半径等于 a 1 b 2 c 3 d 4 答案 b 解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱 如图所示 由题意知 当打磨成的球 的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时 该球的半径最大 故其半径 r 6 8 10 2 故选 b 1 2 4 11 2019 年浙江嘉兴模拟 若圆锥的内切球与外接球的球心重合 且内切球的半径为 1 则圆锥的体积为 答案 3 解析 过圆锥的高作轴截面 得截面 abc及其内切圆 o1和外接圆 o2 且两圆同 圆心 即 abc的内心与外心重合 易得 abc为正三角形 由题意知 o1的半径为 r 1 abc的 边长为 2 圆锥的底面半径为 高为 3 v 3 3 3 33 1 3 12 如图所示 半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴 旋转一周得到 一几何体 求该几何体的表面积 其中 bac 30 解析 如图所示 过c作co1 ab于o1 在半圆中可得 bca 90 bac 30 ab 2r ac r bc r co1 r 3 3 2 s球 4 r2 s圆锥ao1侧 r r r2 3 23