第五讲----有理数的混合运算

海笔数学 初一讲义 1 第五讲 有理数的混合运算 一 一 有理数的加法有理数的加法 知识点解读知识点解读 知识点一 有理数的加法法则知识点一 有理数的加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减 去较小的绝对值 3 互为相反数的两个数相加得 0 4 一个数同 0 相加仍得这个数 方法技巧 方法技巧 在进行有理数的加法运算时 运算步骤可归纳为 一看 二定 三求和 一 看 即观察两个数的符号是同号还是异号 算式中有没有零 二定 即用哪条法则及和的 符号 三求和 根据法则求出结果 知识点二 有理数加法的运算律知识点二 有理数加法的运算律 1 加法交换律 两个数相加 交换加数的位置 和不变 即 a b b a 2 加法结合律 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 和不 变 即 a b c a b c 方法技巧 方法技巧 1 有些加数相加后可以得到整数时 可以先行相加 2 分母相同或易于通 分的分数 可以先行相加 3 有相反数可以互相消去 0 时 可以先行相加 4 有许多正数 和负数相加时 可以把符号相同的数相加 即正数与正数相加 负数与负数相加 最后再 把一个正数和一个负数相加 例例 1 计算下列各式 1 45 3 9 5 4 7 0 5 2 2 1 17 4 1 28 分析 分析 1 观察四个加数的符号以及它们的小数部分的特点 发现调整加数的顺序 使 可以得到整数的先相加 使运算变得比较简便 2 做带分数加法时 可将整数部分与分数 海笔数学 初一讲义 2 部分分别相加 然后再把结果相加 解题时要注意 分开的整数部分与分数部分必须保 持原带分数的符号 运算符号和数的性质符号要用括号分开 解 解 1 原式 45 3 4 7 9 5 0 5 50 9 50 9 41 2 原式 4 3 10 4 1 11 2 1 4 1 1728 二 二 有理数的减法有理数的减法 知识点解读知识点解读 知识点一 有理数减法法则知识点一 有理数减法法则 1 有理数减法的意义 就是已知两个数的和与其中一个加数求另一个加数的运算 2 有理数减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数 即 a b a b 三 有理数加减运算中的结合技巧三 有理数加减运算中的结合技巧 有理数的加减混合运算是七年级数学的重点 也是同学们难以掌握 常常出错的地方 如能根据题目特征选择适当的方法 则可简化运算过程 提高解题速度与准确度 现举例 如下 供同学们学习参考 把符号相同的加数相结合 把符号相同的加数相结合 例 1 计算 5 6 4 9 7 8 解 原式 5 4 9 6 7 8 18 21 3 把和为零的加数结合 把和为零的加数结合 例 2 计算 15 43 4 15 15 20 4 15 0 23 5 解 原式 15 43 15 20 0 23 4 15 4 15 5 海笔数学 初一讲义 3 0 0 5 5 把和为整数的加数相结合 把和为整数的加数相结合 例 3 计算 6 4 5 1 3 9 2 4 4 9 解 原式 6 4 5 1 3 9 2 4 4 9 6 4 5 1 3 9 2 4 4 9 6 4 2 4 5 1 4 9 3 9 4 10 3 9 2 1 把整数与整数 分数与分数分别相结合 把整数与整数 分数与分数分别相结合 例 4 计算 4 3 6 2 2 3 1 3 1 2 1 4 解 原式 4 3 6 2 2 3 1 3 1 2 1 4 3 1 4 3 3 4 点评 在分拆带分数时 要注意符号 如 4 4 而不是 4 2 3 2 3 2 3 统一形式后再结合 统一形式后再结合 例 5 计算 0 125 0 75 1 3 4 1 8 解 原式 1 1 8 3 4 3 4 1 8 1 1 8 1 8 3 4 3 4 海笔数学 初一讲义 4 0 1 6 4 1 2 点评 当同一个算式中既有分数 又有小数时 一般要先统一形式 具体统一成分数还 是统一成小数要看哪一种计算简便 把分母相同或便于通分的加数相结合 把分母相同或便于通分的加数相结合 例 6 计算 3 3 7 5 13 4 7 15 26 1 7 解 原式 3 3 7 4 7 1 7 5 13 15 26 3 6 7 5 26 737 182 分组后再结合 分组后再结合 例 7 计算 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 解 原式 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 0 0 0 0 巧添辅助数后再结合 巧添辅助数后再结合 例 8 计算 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 解 原式 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 64 1 64 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 32 1 64 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 1 64 海笔数学 初一讲义 5 1 1 2 1 2 1 64 1 64 63 64 先拆项后结合 先拆项后结合 例 9 计算 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 96 97 解 原式 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 96 1 97 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 96 1 96 1 97 1 1 97 96 97 四 有理数的加减在实际问题中的应用举例四 有理数的加减在实际问题中的应用举例 有理数的加减运算在生活中应用非常广泛 现举几例说明如下 供大家参考 一 检验钢材质量一 检验钢材质量 例例 1 有一批钢材标准质量为每捆 1500 千克 现抽取 5 捆样品进行检测 结果如下 单 位 千克 1502 1497 1512 1491 1489 这 5 捆钢材的总质量是多少 与标准质量相比是多还是少 分析 分析 题中给出了 5 捆样品钢材的质量 可直接将它们相加 求出样品的总质量 再 用标准总质量与样品总质量作差 即可得样品质量与标准质量的差别 解 解 1502 1497 1512 1491 1489 7491 千克 7500 千克 749151500 97491 答 这 5 捆钢材的总质量是 7491 千克 比标准质量少 9 千克 说明 说明 本题是有理数加减的简单运用 认真审题 直接按照题意计算即可 二 计算路程和油耗二 计算路程和油耗 海笔数学 初一讲义 6 例例 2 一电路检修小组 在南北路上检修线路 先向北行了 5 千米 又向北行了 2 千米 接着向南行了 4 千米 又向北行了 6 千米 这时他们在出发点什么位置 如果每千米耗油 0 08 升 他们今天耗油多少升 分析分析 向南 和 向北 意义相反 可规定向北为 向南为 则可用正负数表示 每次行驶的路程运 再求出这些数据的和 根据结果可判断出检修小组在出发点什么位置 用检修小组行走的总路程乘以每千米耗油量 可求出总油耗 解解 规定向北为正 向南为负 这几次行驶的路程分别记为 千米 千米 千米 5 2 4 千米 则6 5 2 4 6 4625 千米 413 9 升 36 1 08 0 1708 0 6425 答 检修小组离出发点北 9 千米 他们今天耗油 1 36 升 说明说明 正确理解题意 会用正负数表示题中相反意义的量 是本题解题的关键 三 确定时间三 确定时间 例例 3 下表是几个城市与北京的时差 带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数 城市时差 巴黎7 东京1 纽约14 1 如果现在北京时间是晚上 8 点 那么现在巴黎时间是多少 2 小明现在给在纽约的朋友打电话 你认为合适吗 分析 分析 题目给出了其他城市与北京的时差 直接用北京当时的时间加上两城市的时差 海笔数学 初一讲义 7 即可得到当地的时间 解 解 1 1 7 8 答 当北京时间是晚上 8 点时 巴黎时间是中午 1 点 2 答我认为不合适 理由 也就是说 当北京时间是晚上 8 点时 纽约是早上 6 点 小明纽约的6 14 8 朋友很可能还在睡觉 此时打电话会惊扰他的朋友 说明说明 本题是一道与计算时差题 也可看作是一道跨学科题 体现了数学知识应用的广泛 性 四 股市操盘四 股市操盘 例例 4 一股民在上星期五买进某公司股票 1000 股 每股 27 元 下表为本星期内每日该 股票的涨跌情况 单位 元 星期一二三四五 每股涨跌 4 4 51 5 2 6 1 星期三收盘时 每股多少元 2 本星期内每股最低价多少元 3 本周星期几抛售 获利最大 最大是多少 分析分析 只要将上表中的相关有理数相加 根据结果的正负 来判断股票的涨跌 再加上股票 原来的价格 即得所求的价格 解解 1 27 4 4 5 34 5 元 1 答 星期三收盘时 每股 34 5 元 2 27 4 4 5 26 元 1 5 2 6 海笔数学 初一讲义 8 答 本星期内每股最低价是 26 元 3 因为星期一和星期二股票上升 而星期三股票开始下跌 所以星期三抛售时 股票获 利最大 最大为 4 4 5 元 1 75001000 说明说明 了解与炒股相关的常识 知道表格中正负数表示的意义是解答本题的关键 由以上可知 用有理数的加减法解决简单的实际问题时 掌握一些基本的生活常识 了解 问题涉及的实际背景 正确的将实际问题转化为数学问题 是解答这类问题的关键 从问题中 体会所学知识与现实世界的联系 从而提高分析问题解决问题的能力 五 有理数的乘除混合运算技巧五 有理数的乘除混合运算技巧 进行有理数的乘除混合运算时 一般都是先确定符号 再定积的绝对值 下面介绍一 些有关技巧 望同学们把握好 减少错误 一 先确定积的符号 再把乘除混合运算转化成乘法 例 1 计算 4 3 2 1 2 2 1 分析 三个或三个以上的有理数相乘除时 首先确定积的符号 然后再把乘除混合运算统 一转化成乘法计算求值 解 原式 4 3 2 5 2 1 4 3 5 2 2 1 20 3 524 213 说明 1 要把带分数转化为假分数 2 几个非零有理数相乘 积的符号由负因数的个数来确 定 当负因数的个数为奇数个时 积为负 当负因数的个数为偶数个时 积为正 二 利用运算律进行简便计算 结 结 1 互为倒数的两数结合 海笔数学 初一讲义 9 例 1 3 ww w z z st 5 7 3 1 7 4 解 原式 3 1 3 1 5 7 7 4 5 4 5 4 2 能互相约分的两数结合 例 2 2 3 7 8 4 15 5 2 8 9 15 11 解 原式 2 3 5 2 7 8 8 9 4 15 15 11 2 5 3 7 9 4 11 140 297 140 17 3 能凑成整数 十 百等两数结合 例 3 125 25 5 2 4 8 解 原式 125 8 25 4 5 2 ww w zz st ep co0 0 c b b a 0 0 c b b a 2 若 则 abc a2b2c2 042 ccba 3 已知 a b 互为相反数 c d 互为倒数 x 的绝对值等于 2 那么 x2 a b cdx 4 当 1 则 a 0 若 1 则 a 0 a a a a 5 体验探究题 完成下列计算过程 1 1 2 5 1 3 1 2 1 5 解 原式 1 2 5 4 3 1 2 1 5 1 2 5 1 2 1 5 海笔数学 初一讲义 15 1 52 10 6 1 若 1 a1 则 a 1 a 1 a 3 若 0 a 1 则 a 1 a 7 对 1 2 3 4 可作运算 1 2 3 4 24 现有有理数 3 4 6 10 请 运用加 减 乘 除法则写出三种不同的计算算式 使其结果为 24 1 2 3 8 9 6 3 三个数的和比它们绝对值的和小 9 两个有理数之积是 1 已知一个数是 则另一个数是 7 1 2 10 计算 2 5 0 37 1 25 4 8 的值为 11 一家电脑公司仓库原有电脑 100 台 一个星期调入 调出的电脑记录是 调入 38 台 调出 42 台 调入 27 台 调出 33 台 调出 40 台 则这个仓库现有 电脑 台 12 小刚学学习了有理数运算法则后 编了一个计算程序 当他输入任意一个 有理数时 显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与 1 的和 当他 第一次输入 2 然后又将所得的结果再次输入后 显示屏上出现的结果应是 二二 选择选择 1 甲用 1000 元人民币购买了一手股票 随即他将这手股票转卖给乙 获利 10 而后乙又将这手股票反卖给甲 但乙损失了 10 最后甲按乙卖给甲的价格的九 折将这手股票卖给了乙 在上述股票交易中 A 甲刚好亏盈平衡 B 甲盈利 1 元 海笔数学 初一讲义 16 C 甲盈利 9 元 D 甲亏本 1 1 元 2 若 a b 0 那么下列式子成立的是 A B ab 1 C 1 1 a 1 b a b a b 3 下列各数互为倒数的是 A 0 13 和 B 5和 C 和 11 D 4和 13 100 2 5 27 5 1 11 1 4 4 11 4 a b 互为相反数 c d 互为倒数 m 的绝对值为 2 则 2m2 3cd 值是 4 ab m A 1 B 5 C 11 D 与 a b c d 值无关 5 下列运算正确的个数为 1 4 6 10 2 1 0 3 4 3 4 5 6 1 6 3 0 25 0 75 3 1 4 3 3 4 4 1 3 5 7 9 1 4 A 3 个 B 4 个 C 2 个 D 1 个 6 a b 为有理数 在数轴上的位置如右上图所示 则 A 1 B 1 C 1 D 1 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 11o ba 7 如果 那么的值是 2 10 3 0ab 1 b a A