2.4.1向量的数量积

向量的数量积 向量的数量积 1 1 教学目标教学目标 一 知识与技能 1 掌握向量的数量积及其几何意义 2 掌握向量数量积的重要性质及运算律 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 4 掌握向量垂直的条件 二 过程与方法 从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积 三 情感 态度与价值观 通过师生互动 自主探究 交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流 教学重点难点教学重点难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程教学过程 一 创设情景 一 创设情景 向量的运算有向量的加法 减法 数乘 那么向量与向量能否 相乘 呢 二 新课讲解二 新课讲解 引入 引入 物理学中 物体所做的功的计算方法 cosWFs 其中 是F 与s 的夹角 2 向量数量积的定义 F 图 1 已知两个非零向量a 和b 它们的夹角为 则数量 cosab 叫做a 与b 的 数量积 或内积 记作a b 即 cosa bab 说明 两个向量的数量积是一个数量 这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角 有关 实数与向量的积与向量数量积的本质区别 两个向量的数量积是一个数量 实 数与向量的积是一个向量 规定 零向量与任一向量的数量积是0 3 数量积的性质 设a b 都是非零向量 是a 与b 的夹角 则 cos a b a b 当a 与b 同向时 a ba b 当a 与b 反向时 a ba b 特别地 2 a aa 或 aa a a ba b ab 0a b 若e 是与b 方向相同的单位向量 则 cose aa ea 4 数量积的几何意义 1 投影的概念 如图 OAa 过点B作 1 BB垂直于直线OA 垂足为 1 B 则 1 cosOBb cosb 叫做向量b 在a 方向上的投影 当 为锐角时 它是正值 当 为钝角时 它是一负值 当90 时 它是0 当0 时 它是 b 当180 时 它是 b 2 a b 的几何意义 数量积a b 等于a 的长度 a 与b 在a 的方向上的投影 cosb 的 乘积 三 例题分析 三 例题分析 例 1 判断正误 并简要说明理由 00 a 00 a AB 0 BA ab ba 若0 a 则对任一非零b 有 a0 b ab 0 则a与b至少有一个为0 对任意向量a b c都有 cbacba a与b是两个单位向量 则 2 a 2 b 例 2 已知向量a 与向量b的夹角为 2 a 3 b 1 0 135 2 0 60 3 a b 例 3 已知正ABC 的边长为2 设BCa CAb ABc 求a bb cc a 例 4 已知 3a 3b 2 3c 且0abc 求a bb cc a 四 课时小结 四 课时小结 1 向量数量积的概念 2 向量数量积的几何意义 3 向量数量积的性质 五 反馈练习五 反馈练习 1 已知 且与的夹角为 则 1 1ab a b 60 a b 2 已知 2 且与的夹角为 则 2 a a b a b 60 b 3 已知 0 且 则与的夹角为 a b 0a 0b a