现代控制理论导论课件(第二节课).ppt

利用Matlab判定系统可控性可以利用Matlab来进行系统能控性的判断 Matlab提供了各种矩阵运算和矩阵各种指标 如矩阵的秩等 的求解 而可控性的判断实际上就是一些矩阵的运算 Matlab中求矩阵的秩是通过一个函数得到的 这个函数是rank M A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 5 0 B 0 1 0 2 C 1 0 0 0 D 0 Uc B A B A 2 B A 3 B rank Uc ans 4 2 2线性定常连续系统的可观测性 其中A B C D分别为的矩阵 2 1 设系统方程为 定义2 2如果在有限时间间隔内 根据输出值y t 和输入值u t 能够唯一确定系统的初始状态的每一个分量 则称此系统是完全可观测的 简称可观的 如果系统中至少有一个状态变量不可观测 则称系统不可观 例2 1 定理2 4线性定常连续系统状态完全可观测的充分必要条件是可观性矩阵 的秩为n 由于 系统的可观测性矩阵常采用 线性定常连续系统的可观测性判据 证明过程参考 胡寿松 自动控制原理 第三版国防工业出版社 p499 例2 5判断下列系统的可观性 秩等于2 所以系统可观测的 对偶原理 系统1 系统2 上述两个系统的系统矩阵 输入矩阵和输出矩阵之间有确定的关系 称系统1 系统2为对偶系统 对偶系统之间有以下对偶原理 系统1的可控性 可观性 等价于系统2的可观性 可控性 定理2 5 系统矩阵为对角阵的可观性判据 若线性定常系统的系统矩阵有互不相同的特征值 则系统状态可观测的充要条件是经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后 系统的状态空间表达式 矩阵 不包含元素全为零的列 系统可观测 系统矩阵为约当阵的可观性判据 当A为约当形时 系统可观性判别方法用例子来说明 分别记C阵中的第1 3 4 5 8 列 这里c下标中的第一个数字为1 表示每个约当块的第1列 第二个数字表示是第几个特征值 第三个数字表示第几个约当块 按照如上规定可知c121表示第二个特征值的第一个约当块的第一列所对应的C中的列向量 由于上述矩阵分别都是列满秩的 系统可观 定理2 6若线性定常连续系统 系统可观的充分必要条件为下列矩阵的列复数域上线性无关 即 参考 程鹏 王艳东现代控制理论基础P31 则系统状态可观的充要条件是 推论 如果单输入系统的A阵具有约当标准形的形式 例题2 6 判断下列系统的可观测性 利用Matlab判定系统可观性 A 0 1 0 0 3 0 0 2 0 0 0 1 0 2 0 0 B 0 1 0 0 C 1 0 0 0 D 0 Uo C C A C A 2 C A 3 rank Uo ans 3 2 3系统的可控 观 标准形 标准形可以显然 简洁的方式反映系统的可控性 可观测性或其它性质 利用标准形有时会极大简化控制律的设计 为什么研究可控 观 标准形 1 单输入系统的可控标准形 为什么定义为这种形式 根据微分方程或传递函数矩阵的结构特点 容易得出这种标准形式的状态方程 与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵 其主对角线元素均为1 系统是一定可控的 目的是什么 简化控制律设计 输出反馈控制律设计 状态反馈控制律设计 状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数 反馈到控制对象的输入部分 K 状态反馈阵 构成一个状态反馈控制闭环系统 闭环系统状态方程 如果A B为可控标准形 定理2 7如果系统是可控的 那么必存在一非奇异变换使其变换成可控标准形 线性变换矩阵 1 先计算可控性矩阵 2 计算可控性矩阵的逆阵 设一般形式为 等价变换阵P的计算过程 3 取出的最后一行 构成行向量 4 按下列方式构造P阵 为什么这样构造P阵参考 胡寿松 自动控制原理 第三版国防工业出版社 p494 495 例2 7线性定常系统 可控性矩阵 逆矩阵 2 单输入系统的可观标准形 利用对偶原理确定可观标准形的变换矩阵 如果有等价变换 将系统化为可观标准形 构造原系统的对偶系统为 通过 化为下列可控标准形 其中 上式的对偶系统即是原系统的可观标准形 所以 例2 8 写出其对偶系统的系统矩阵和输入阵 按化可控标准形的步骤求P阵 求出M阵 2 4系统按可控性或可观性进行分解 分解的目的 更明显地揭示系统结构特性 传递特性 并且与稳定性分析 反馈校正等密切相关 分解方法 选取一种特殊的线性变换 使原来的状态向量变换成 1系统按可控性分解 设系统的状态空间表达式为 假设系统的可控性矩阵的秩n1 n n为状态向量维数 即系统不完全可控 关于系统的可控性分解 有如下结论 定理2 6存在非奇异矩阵P 对系统进行状态变换 可使系统的状态空间表达式变换成 其中 其中n1维子方程 是可控的 且与原系统有相同的传递函数矩阵 不可控状态不出现在系统的传递函数阵中 这也进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息 它至多可反映可控的部分 结论 关键变换矩阵的构造求法如下 在可控性矩阵中选择n1个线性无关的列向量 将所得列向量作为矩阵的前n1个列 其余列可以在保证为非奇异矩阵的条件下任意选择 说明 至于怎样选择个附加列向量是无关紧要的 只要构成非奇异 并不会改变规范分解的结果 例2 9对下列系统进行可控性分解 可控性矩阵的秩 系统不完全可控 在可控性矩阵中任选两列线性无关的列向量 为计算简单 选取其中的第1列和第2列 易知它们是线性无关的 再选任一列向量 与前两个列向量线性无关 构成 变换矩阵 二维可控子系统 再利用变换 可将原系统的动态方程变换为 2系统可观性分解 设系统的状态空间表达式为 假设系统的可观性矩阵的秩 n为状态向量维数 即系统不完全可观 关于系统的可观性分解 有如下结论 定理2 7存在非奇异矩阵P 对系统进行状态变换 可使系统的状态空间表达式变换成 其中 在变换后的系统中 将前维部分提出来 得到下式 而后维子系统 这部分构成维可观子系统 可观子系统与原系统有相同的传递函数矩阵 为不可观子系统 不可观状态不出现在系统的传递函数阵中 这也进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息 它至多可反映可观的部分 综合前述结果 说明传递函数矩阵不能反映系统中的不可控 不可观的部分 它只反映系统既可控又可观的部分 非奇异矩阵的条件下任意选择 变换矩阵P的构造方法如下 从可观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量 将所求行向量作为前n2个行 其余的行可以在保证P为 例2 10系统同例2 9 进行可观性分解 计算可观性矩阵的秩 任选其中两行线性无关的行向量 再选任一个与之线性无关的行向量 得 状态变换后的系统状态空间表达式 根据定理2 6或定理2 7对系统进行分解时是分别进行的 在作可控性 或可观性 分解时 只将状态分解为可控 可观 和不可控 不可观 两部分 但不能判定可控或不可控 可观或不可观 的部分是否可观 可控 如果要对系统作出四部分 可控可观 可控不可观 不可控可观 不可控不可观 的分解 可以按可控性与可观性进行标准分解 这里省略 已知动态方程 根据 可计算出传递 2 5传递函数的最小阶动态方程实现 函数 如果给出传递函数 如何找出它对应的动态方程 如果又要求所找出的动态方程的A阵维数最低 就称为 传递函数的最小阶实现问题 传递函数可以借助于实验手段获得 例如 对系统加入某些典型信号 然后测量系统输出 可由输入和输出信号的关系求出传递函数 然而利用状态空间方法设计系统的出发点是动态方程 所以将传递函数这种数学模型转化为状态空间模型 是状态空间设计方法中不可缺少的一步 而且为了计算方便 并且仿真时所用的积分器最少 就需要寻找最小阶动态方程实现 目的 对于单变量系统 其动态方程为 对应的传递函数为 原系统可控 可观测的充分必要条件是 无零 极点对消 1 动态方程的可控 可观性与传递函数矩阵的关系 定理2 8 与 例2 11设系统动态方程为 分别计算 和 无非常数公因式 传递函数为 设多变量系统动态方程为 传递函数矩阵 式中称为系统的特征式 传递函数矩阵G s 是一个严格真 正则 有理函数阵 即它的每一元素都是s的有理函数 且分母的阶次严格高于分子的阶次 定义 有理函数矩阵 若是常量矩阵 则称有理函数矩阵G s 是正则有理函数矩阵 若 则称有理函数矩阵为严格正则有理函数矩阵 设有理函数矩阵G s 的每一个元素都是既约的s的有理函数 并设 定义 极点 G s 所有不恒为零各阶子式的首一最小公分母称为G s 的极点多项式 极点多项式的零点称为极点 定义 零点 G s 的所有r阶子式 在其分母取极点多项式时 其分子的首一最大公因式称为G s 的零点多项式 G s 零点多项式的零点称为G s 的零点 例题2 12求下面传递函数阵的极点和零点 解各一阶子式的公分母显然是 s 1 s 1 s 2 s 3 而其三个二阶子式的首一最小公分母为 s 2 2 s 3 s 1 s 1 因而其极点多项式为 s 1 s 1 s 2 2 s 3 故G s 的极点为1 1 2 2 3 G s 的秩为r 2 三个二阶子式在分母取极点多项式时分别为 各分子的首一最大公因式为 s 1 故G s 的零点只有一个为s 1 定义G s 的极点多项式中s的最高次数称为G s 的麦克米伦阶 用记号 G s 表示 对例题2 12 显然 G s 5 定理2 9若传递函数表达式中 A的特征式与之间没有非常数公因式 则原系统是可控 可观的 本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件而不是必要条件 这点与单变量系统不同 显然系统可控且可观 但传递函数阵为 例题2 13设系统方程为 在A的特征式与之间存在公因式 s 1 故定理中的条件不是必要的 定理2 10原系统可控可观测的充分必要条件是G s 的极点多项式等于A的特征多项式 例题2 14设系统动态方程为 其特征多项式为s2 s 1 2 系统的传递函数阵为 G s 相应的极点多项式为s2 s 1 2 可知系统动态方程是可控可观的 由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作 称为实现问题 换言之 若状态空间描述是传递函数的实现 则必有在所有可能的实现中 A维数最小的实现称为最小阶实现 2 传递函数的最小阶动态方程实现 单输入单输出系统的实现问题 单输入单输出系统传递函数的一般形式为当其具有严格真分式有理函数时 其实现形式为 的可控标准形实现 1 分子分母无非常数公因式的情况 的可观标准形实现 的约当标准形实现 例2 15 无零 极点对消 故可知上式中均不为零 令 如果的