2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定限时规范训练 新人教A版必修2

1 2 3 22 3 2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 基础练习 1 设 是三个互不重合的平面 m n是两条不重合的直线 则下列命题中正 确的是 a 若 则 b 若 m m 则m c 若 m 则m d 若m n 则m n 答案 b 解析 a 中 与 可以平行 也可以相交 c 中可能有m d 中m与n可以平行 相交或异面 故选 b 2 在四棱锥p abcd中 已知pa 底面abcd且底面abcd为矩形 则下列结论中错误 的是 a 平面pab 平面pad b 平面pab 平面pbc c 平面pbc 平面pcd d 平面pcd 平面pad 答案 c 解析 由面面垂直的判定定理知平面pab 平面pad 平面pab 平面pbc 平面 pcd 平面pad a b d 正确 选 c 3 如图所示 在三棱锥p abc中 pa 平面abc bac 90 则二面角b pa c 的大小为 a 90 b 60 c 45 d 30 答案 a 2 解析 pa 平面abc ba ca 平面abc ba pa ca pa bac即为二面角 b pa c的平面角 又 bac 90 故选 a 4 如图 ab是圆的直径 pa垂直于圆所在的平面 c是圆上一点 不同于a b 且 pa ac 则二面角p bc a 的大小为 a 60 b 30 c 45 d 15 答案 c 解析 由条件得pa bc ac bc 又pa ac a bc 平面pac pca为二面角 p bc a的平面角 在 rt pac中 由pa ac得 pca 45 故选 c 5 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 答案 1 个或无数个 解析 设平面外的点为a 面内的点为b 过点a作平面 的垂线l 若点b恰为垂 足 则所有过ab的平面均与 垂直 此时有无数个平面与 垂直 若点b不是垂足 则 l与点b确定唯一平面 满足 6 2019 年湖南岳阳期末 若p是 abc所在平面外一点 而 pbc和 abc都是边长为 2 的正三角形 pa 则二面角p bc a的大小为 6 答案 90 解析 如图 取bc的中点o 连接oa op 则 poa为二面角p bc a的平面角 op oa pa 所以 poa为直角三角形 poa 90 36 7 如图所示 四边形abcd是平行四边形 直线sc 平面abcd e是sa的中点 求证 平面edb 平面abcd 证明 连接ac 交bd于点f 连接ef 3 ef是 sac的中位线 ef sc 又sc 平面abcd ef 平面abcd 又ef 平面edb 平面edb 平面abcd 8 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角b a1c1 b1的正切值 解析 取a1c1的中点o 连接b1o bo 由题意知b1o a1c1 又ba1 bc1 o为a1c1的中点 所以bo a1c1 所以 bob1即是二面角b a1c1 b1的平面角 因为bb1 平面a1b1c1d1 ob1 平面a1b1c1d1 所以bb1 ob1 设正方体的棱长为a 则ob1 a 2 2 在 rt bb1o中 tan bob1 bb1 ob1 a 2 2 a 2 所以二面角b a1c1 b1的正切值为 2 能力提升 9 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论中不成立 的是 a bc 平面pdf 4 b df 平面pae c 平面pdf 平面abc d 平面pae 平面abc 答案 c 解析 如图所示 bc df bc 平面pdf a 正确 由bc pe bc ae bc 平面pae df 平面pae b 正确 平面abc 平面pae bc 平面pae d 正确 10 将锐角a为 60 边长为a的菱形沿bd折成 60 的二面角 则折叠后a与c之间 的距离为 a a b a 1 2 c a d a 3 23 答案 c 解析 设折叠后点a到a1的位置 如图 取bd的中点e 连接a1e ce 则 bd ce bd a1e 即 a1ec为二面角a1 bd c的平面角 故 a1ec 60 a1e ce a1ec是等边三角形 a1c a1e ce a 3 2 11 2019 年福建龙岩模拟 如图 在四面体p abc中 ab ac pb pc d e f分 别是棱ab bc ca的中点 给出下列结论 bc 平面pdf df 平面pae 平面pdf 平面pae 平面pdf 平面abc 5 其中正确的有 填序号 答案 解析 因为d f分别为ab ac的中点 则df为 abc的中位线 则bc df 依据 线面平行的判定定理可知bc 平面pdf 成立 又e为bc的中点 且pb pc ab ac 则bc pe bc ae 依据线面垂直的判定定理可知bc 平面pae 因为bc df 所以df 平面pae 成立 又df 平面pdf 则平面pdf 平面pae 成立 要使平面pdf 平面 abc 已知ae df 则必须有ae pd或ae pf 由条件知此垂直关系不一定成立 不一 定正确 综上所述 正确 12 2018 年宁夏银川模拟 如图 ab是圆的直径 pa垂直圆所在的平面 c是圆上的 点 1 求证 平面pac 平面pbc 2 若ab 2 ac 1 pa 1 求二面角c pb a的余弦值 解析 1 证明 ab是圆的直径 ac bc pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又pa ac a pa 平面pac ac 平面pac bc 平面pac bc 平面pbc 平面pbc 平面pac 2 过c作cm ab于m pa 平面abc cm 平面abc pa cm 又ab pa a cm 平面pab 如图 过m作mn pb于n 连接nc 则cn pb cnm为二面角c pb a的平面角 在 rt abc中 由ab 2 ac 1 得bc cm