高中数学不等式习题及详细答案

第 1 页 共 12 页 第三章第三章 不等式不等式 一 选择题一 选择题 1 已知 x 则 f x 有 2 5 4 2 5 4 2 x xx A 最大值B 最小值C 最大值 1D 最小值 1 4 5 4 5 2 若 x 0 y 0 则 的最小值是 2 2 1 y x 2 2 1 x y A 3B C 4D 2 7 2 9 3 设 a 0 b 0 则下列不等式中不成立的是 A a b 2B a b 4 ab 1 2 a 1 b 1 C a bD 22 ab ab ba ab 2 ab 4 已知奇函数 f x 在 0 上是增函数 且 f 1 0 则不等式 0 x xfxf 的解集为 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 D 1 0 0 1 5 当 0 x 时 函数 f x 的最小值为 2 x xx 2sin sin8 2cos 1 2 A 2 B C 4D 3234 6 若实数 a b 满足 a b 2 则 3a 3b的最小值是 A 18 B 6 C 2 D 23 4 3 7 若不等式组 所表示的平面区域被直线 y kx 分为面积相等的两 4 3 4 3 0 yx yx x 3 4 部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 8 直线 x 2y 3 0 上的点 P 在 x y 1 的上方 且 P 到直线 2x y 6 0 的距离为 第 2 页 共 12 页 3 则点 P 的坐标是 5 A 5 1 B 1 5 C 7 2 D 2 7 9 已知平面区域如图所示 z mx y m 0 在平面 区域内取得最优解 最大值 有无数多个 则 m 的值为 A B 20 7 20 7 C D 不存在 2 1 10 当 x 1 时 不等式 x a 恒成立 则实数 1 1 x a 的取值范围是 A 2 B 2 C 3 D 3 二 填空题二 填空题 11 不等式组 所表示的平面区域的面积是 12 设变量 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax y a 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则 a 的取值范围是 13 若正数 a b 满足 ab a b 3 则 ab 的取值范围是 14 设 a b 均为正的常数且 x 0 y 0 1 则 x y 的最小值为 x a y b 15 函数 y loga x 3 1 a 0 且 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 上 其中 mn 0 则 的最小值为 m 1 n 2 16 某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为 p1 第三年比第二年增长的百分 率为 p2 若 p1 p2为定值 则年平均增长的百分率 p 的最大值为 x y 5 x y 0 0 x 3 x 2y 3 0 x 3y 3 0 y 1 0 第 9 题 第 3 页 共 12 页 三 解答题三 解答题 17 求函数 y x 1 的最小值 1 10 7 2 x xx 18 已知直线 l 经过点 P 3 2 且与 x 轴 y 轴正半轴分别交于 A B 两点 当 AOB 面积最小时 求直线 l 的方程 第 18 题 第 4 页 共 12 页 19 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 销售 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原 料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是多少 20 1 已知 x 求函数 y 4x 1 的最大值 4 5 5 4 1 x 2 已知 x y R 正实数集 且 1 求 x y 的最小值 x 1 y 9 3 已知 a 0 b 0 且 a2 1 求的最大值 2 2 b 2 1ba 第 5 页 共 12 页 参考答案参考答案 1 D 解析 由已知 f x 4 2 5 4 2 x xx 2 2 1 2 2 x x 2 1 2 1 2 x x x x 2 0 2 5 1 2 1 2 1 2 x x 2 1 2 1 2 2 x x 当且仅当 x 2 即 x 3 时取等号 2 1 x 2 C 解析 2 2 1 y x 2 2 1 x y x2 2 2 2 4 1 4 1 xx y y yy x 2 2 4 1 x x 2 2 4 1 y y x y y x x2 2 1 当且仅当 x2 x 时取等号 2 4 1 x 2 2 4 1 x x 2 4 1 x2 2 2 1 当且仅当 y2 y 时取等号 4 1 2 2 y y 2 2 4 1 y y 2 4 1 y2 2 2 2 x 0 y 0 当且仅当 y2 x2时取等号 x y y x x y y x y x x y 1 1 2 4 前三个不等式的等号同时成立 2 2 4 1 x x 2 2 4 1 y y x y y x 时 原式取最小值 故当且仅当 x y 时原式取最小值 4 2 2 3 D 解析 方法一 特值法 如取 a 4 b 1 代入各选项中的不等式 易判断只有 ba ab 2 第 6 页 共 12 页 不成立 ab 方法二 可逐项使用均值不等式判断 A a b 2 2 2 不等式成立 ab 1 ab ab 1 ab ab 1 2 2 B a b 2 0 2 0 相乘得 a b 4 成立 ab a 1 b 1 ab 1 a 1 b 1 C a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2 2 2 2 ba 2 2 ba 又 a b 成立 ab 2 ba ab 1 ba 2 22 ab ab D a b 2 即 ab ba 1 ab2 1 ba ab 2 ab ab 2 2 ab ba ab 2 不成立 ab 4 D 解析 因为 f x 是奇函数 则 f x f x 0 0 xf x 0 满足 x 与 f x 异 x xfxf x xf 2 号的 x 的集合为所求 因为 f x 在 0 上是增函数 且 f 1 0 画出 f x 在 0 的简图如图 再根据 f x 是奇函数的性质得到 f x 在 0 的图象 由 f x 的图象可知 当且仅当 x 1 0 0 1 时 x 与 f x 异号 5 C 解析 由 0 x 有 sinx 0 cosx 0 2 f x x xx 2sin sin8 2cos 1 2 xx xx cossin2 sin8 cos2 22 x x sin cos x x cos sin4 2 4 当且仅当 即 tan x 时 取 x x x x cos sin4 sin cos x x sin cos x x cos sin4 2 1 0 x 存在x使 tan x 这时 f x min 4 2 2 1 O y x 11 第 4 题 第 7 页 共 12 页 6 B 解析 a b 2 故 3a 3b 2 2 6 当且仅当 a b 1 时取等号 ba 33 ba 3 故 3a 3b的最小值是 6 7 A 解析 不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 ABC 由得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 43 43 yx yx4 3 由于直线 y kx 过点 C 0 设它与直线 4 3 4 3 3x y 4 的交点为 D 则由 S BCD S ABC 知 D 为 AB 的中点 即 xD yD 2 1 2 1 2 5 k k 2 5 2 1 3 4 3 7 8 A 解析 设 P 点的坐标为 x0 y0 则 解得 1 5 0 0 y x 点 P 坐标是 5 1 9 B 解析 当直线 mx y z 与直线 AC 平行时 线段 AC 上的每个点都是最优解 kAC 1 5 5 22 3 20 7 m 即 m 20 7 20 7 10 D 解析 由 x x 1 1 1 1 x1 1 x x 1 x 1 0 则有 x 1 1 2 1 3 1 1 x1 1 1 x x 则 a 3 53 5 6 2 0 1 0 3 2 00 00 00 yx yx yx 第 8 页 共 12 页 二 填空题二 填空题 11 24 解析 不等式 x y 5 x y 0 可转化为两个 二元一次不等式组 或 这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求 第一个不等式组所对应的区域如图 而第二个不等式组所对应的区域不存在 图中 A 3 8 B 3 3 C 0 5 阴影部分的面积为 24 2 5 113 12 2 1 aa 解析 若 z ax y a 0 仅在点 3 0 处取得最大 值 则直线 z ax y 的倾斜角一定小于直线 x 2y 3 0 的倾斜角 直线 z ax y 的斜率就一定小 于直线 x 2y 3 0 的斜率 可得 a 即 a 2 1 2 1 13 ab 9 解析 由于 a b 均为正数 等式中含有 ab 和 a b 这个特征 可以设想使用 2 ba 构造一个不等式 ab ab a b 3 3 即 ab 3 当且仅当 a b 时等号成立 ab2ab2 2 3 0 abab2 3 1 0 3 即 ab 9 当且仅当 a b 3 时等号成立 ababab 14 2 ab x y 5 x y 0 0 x 3 x y 5 0 x y 0 0 x 3 x y 5 0 x y 0 0 x 3 第 11 题 第 9 页 共 12 页 解析 由已知 均为正数 x ay y bx x y x y a b a b a b 2 x a y b x ay y bx y bx x ay 2 ab 即 x y 2 当且仅当 即 时取等号 ab 1 y b x a y bx x ay abby abax 15 8 解析 因为 y loga x 的图象恒过定点 1 0 故函数 y loga x 3 1 的图象恒过定 点 A 2 1 把点 A 坐标代入直线方程得 m 2 n 1 1 0 即 2m n 1 而 由 mn 0 知 均为正 m n n m4 2m n 4 4 8 当且仅当 m 1 n 2 m 1 n 2 m n n m4 n m m n4 2 即 时取等号 1 2 4 nm n m m n 2 1 4 1 n m 16 2 21 pp 解析 设该厂第一年的产值为 a 由题意 a 1 p 2 a 1 p1 1 p2 且 1 p1 0 1 p2 0 所以 a 1 p 2 a 1 p1 1 p2 a a 解得 2 21 2 1 1 pp 2 21 2 1 pp p 当且仅当 1 p1 1 p2 即 p1 p2时取等号 所以 p 的最大值 2 21 pp 是 2 21 pp 三 解答题三 解答题 17 解 令 x 1 t 0 则 x t 1 y t 5 5 9 t tt10 1 7 1 2 t tt4 5 2 t 4 t t 4 2 当且仅当 t 即 t 2 x 1 时取等号 故 x 1 时 y 取最小值 9 t 4 第 10 页 共 12 页 第 11 页 共 12 页 18 解 因为直线 l 经过点 P 3 2 且与 x 轴 y 轴都相交 故其斜率必存在且小于 0 设直线 l 的斜率为k 则 l 的方程可写成 y 2 k x 3 其中k 0 令 x 0 则 y 2 3k 令 y 0 则 x 3 k 2 S AOB 2 3k 3 2 1 k 2 12 当且仅当 9k 2 1 k k 4 9 12 k k 4 9 2 12 2 1 k 4 即k 时 S AOB有最小值 12 所求直线方程为 3 2 y 2 x 3 即 2x 3y 12 0 3 2 19 解 设生产甲产品吨 生产乙产品吨 则有关系 xy A 原料用量B 原料用量 甲产品 x 吨3x2x 乙产品 y 吨y3y 则有 目标函数 z 5x 3y 18 32 13 3 0 0 yx yx y x 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 可知 当x 3 y 4 时可获得最大利润为 27 万元 20 解 1 x 4x 5 0 故 5 4x 0 4 5 y 4x 1 5 4x 4 54 1 x x 45 1 5 4x 2 x 45 1 x x 45 1 452 y 2 4 2 当且仅当 5 4x 即 x 1 或 x 舍 时 等号成立 x 45 1 2 3 故当 x 1 时 ymax 2 x OA y P 3 2 B 第 18 题