北航概率统计07ppt课件.ppt

1 2 5连续型随机变量 定义设X是一随机变量 若存在一个非负可积函数f x 使得 其中F x 是它的分布函数 则称X是连续型随机变量 f x 是它的概率密度函数 p d f 密度函数或概率密度 2 分布函数F x 与密度函数f x 的几何意义 p d f f x 的性质 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数 或求其中的未知参数 在f x 的连续点处 f x 描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率 4 积分 5 注意 对于连续型随机变量X P X a 0 这里a可以是随机变量X的一个可能的取值 命题连续型随机变量取任一常数的概率为零 强调概率为1 零 的事件未必发生 不发生 事实上 6 对于连续型随机变量X 7 8 例1有一批晶体管 已知每只的使用寿命X为连续型随机变量 其概率密度函数为 c为常数 求常数c 2 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管 每只晶体管能否正常工作相互独立 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率 9 解 1 c 1000 2 设事件A表示一只晶体管的寿命小于1500小时 设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为Y 10 1 均匀分布 a b 上的均匀分布 记作 若X的密度函数为 则称X服从区间 其中 X的分布函数为 11 12 即X的取值在 a b 内任何长为d c的小区间的概率与小区间的位置无关 只与其长度成正比 这正是几何概型的情形 在进行大量数值计算时 如果在小数点后第k位进行四舍五入 则产生的误差可以看作服从 应用场合 13 例3秒表的最小刻度差为0 01秒 若计时精度是取最近的刻度值 求使用该秒表计时产生的随机误差X的概率密度 并计算误差的绝对值不超过0 004秒的概率 解由题设知随机误差X等可能地取得区间上的任一值 则 所以 14 2 指数分布 若X的密度函数为 则称X服从参数为 的指数分布 记作 X的分布函数为 0为常数 15 16 对于任意的0 a b 应用场合 用指数分布描述的实例有 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 17 例4假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N t 服从参数为 t的Poisson分布 求相继两次故障的时间间隔T的概率分布 解 1 18 即 19 3 正态分布 若X的密度函数为 则称X服从参数为 2的正态分布 记作X N 2 为常数 20 N 3 1 2 21 f x 的性质 图形关于直线x 对称 f x f x 在x 时 f x 取得最大值 2 曲线y f x 以x轴为渐近线 3 曲线y f x 的图形呈单峰状 22 23 f x 的两个参数 位置参数 即固定 对于不同的 对应的f x 的形状不变化 只是位置不同 形状参数 固定 对于不同的 f x 的形状不同 若 1 2则 附近值的概率更大 前者取 24 Show fn1 fn3 25 应用场合 若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响 而每一个别因素的影响都是微小的 且这些影响可以叠加 则X服从正态分布 各种测量的误差 人的生理特征 工厂产品的尺寸 农作物的收获量 海洋波浪的高度 金属线的抗拉强度 热噪声电流强度 学生们的考试成绩 可用正态变量描述的实例非常之多 26 一种重要的正态分布 N 0 1 标准正态分布 它的分布函数记为 x 其值有专门的表可查 x 是偶函数 其图形关于纵轴对称 标准正态分布性质 27 28 x x 29 对一般的正态分布 X N 2 其分布函数 作变量代换 30 例5设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 31 求P X 0 解一 32 解二图解法 0 2 由图 33 例3 原理 设X N 2 求 解 在一次试验中 X落入区间 3 3 的概率为0 9974 而超出此区间的可能性很小 由3 原理知 当 34 标准正态分布的 分位数z 设X N 0 1 0 1 称满足 的点z 为X的 分位数 z 常用的几个数据 35 例7设测量的误差X N 7 5 100 单位 米 问要进行多少次独立测量 才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0 9 解 设A表示进行n次独立测量至少