1、函数、极限、连续压缩打印版(2014).doc

函数 极限 连续压缩打印版函数 极限 连续压缩打印版 典型例题典型例题 题型一题型一 复合函数复合函数 例例 1 1 设 试求 0 1 0 0 x x xf 2 2 1 2 1 xx g x xx xfgxgf 例例 2 2 求 求 23 min 32 xxx 例例 4 4 设和互为反函数 则的反函数为 B xf xg 3 2 1 xgf A B C D 3 2 1 xfg 2 3 1 xgf 3 2 x fg 3 1 2xfg 解 解 则 即 于是 即 1 3 2 yfgx 1 3 2 gxg y 3 2 gxg y 3 2 xfg y 1 2 3 xfg y 故的反函数为 1 3 2 yfgx 1 3 2 yfgx 题型二题型二 函数性态函数性态 例例 1 1 定义于上的下列函数为奇函数的是 C R A B C D x1 2 xx ee 1ln 2 xx 2011 tan cos2011 xx x 例例 2 2 当时 变量是 D 注意函数的局部性质 xxxcos A 无穷小 B 无穷大 C 有界量 D 无界量 例例 3 3 设 下列结论成立的是 C Axf xx lim 0 A 存在 当时 B 存在 当时 0 xUx f xA 0 xUx f xA C 若 则存在 当时 0 A 0 xUx 0 xf D 若当时 那么 0 xUx 0f x 0A 注注 1 1 若 则对 存在 当时 总有 局部有界 Axf xx lim 0 0 0 xUx Af xA 注注 2 2 若 当时 那么 局部保号 Axf xx lim 0 0 xUx 0f x 0A 例例 4 4 在下列区间中有界的是 A 2 1 1 x y x A B C D 1 1 1 1 注注 若在内连续 且 则在内有界 xf a b f aA f bB xf a b 题型三题型三 未定式计算未定式计算 限于 另三种 以后讲 0 0 0 1 00 0 例例 1 1 求极限 求极限 1 1 2 2 3 3 10 864 2 5 1 12 lim x xxxxx x0 sintan lim 31 11 x x xx x 0 sintan lim 312 x x xx x 4 4 5 5 6 6 7 7 22 1 3 23 0 1 1 lim 32 x xx x x 2 cot3 lim cot5 x x x 18 lim 3332 xxx x 2 csc 0 lim cos x x x 注 注 当时 0 x 2 ln 1 1 1 1 xxx a abxxxxxx b 注 注 ln 11 lim ln lim 1 lim u xu x v xu xv x u x v x u xeea 题型四题型四 极限存在题型极限存在题型 例例 1 1 判断下列极限存在吗 判断下列极限存在吗 1 2 3 4 2 lim 1 x xx arctan lim 1 1 x x x a a 12 1 1 1 lim 1 x x x e x 24 3 0 1 sinsin lim tan x xx x x 5 6 7 0 1 cos lim x x x 2 21 lim 26 2 6 2 6 nn n nnnn n n n x x 2 1 1 lim 注注 1 1 时 的极限不存在 先研究x xx x aarctan xarccot x xx 时 的极限不存在 只需注意其为有界量 也可考虑有界量性质x sin xcosxarctan xarccot x 注注 2 2 一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散 对函数有类似结论 注注 3 3 注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理 注注 4 4 当有限和难以表达时 对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则 注注 5 5 极限函数的求法 要注意对取值范围的讨论 如等 lim n f xF x n x arctan nnx xanx 例例 2 2 求其中 lim 21 n n m nn n aaa 2 1 0miai 提示 提示 令 则 本题的结论是一个常用结论 aai mi 1 maxammaaaaaa nnn n n m nnnn 21 例例 3 3 设 且 C nnn xzy lim 0 lim nnn nn yxz 则 A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 不一定存在 D 一定不存在 例例 4 4 设 则数列有界是数列收敛的 B 1 0 n nnk k anZSa n a n S A 充分必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 即非充分地非必要条件 例例 5 5 设 证明 数列极限存在并求此极限 2 1 3 30 11 nxxxx nnn n x 证 证 由 知 30 1 x 3 1nnn xxx 30 n x 从而有 则上有界 22 1 13 3 3 22 nnnnn xxxxx n x 而 则单调增 或者由知递增 1nn xx 0 3 23 nnn nn xxx xx n x 1 311 n n n x x x n x 由单调有界准则 知存在 不妨设 n n x limaxn n lim 将两端取极限得 由此解得或 舍去 则 3 1nnn xxx 3 aaa 2 3 a0 a 2 3 lim n n x 注 注 对数列 若有递推表达式 则一般使用单调有界准则证明数列的收敛性 n x n x 题型五题型五 极限应用题型极限应用题型 先讲无穷小比较 渐近线确定 间断点类型 以后再研究可导性判断 先讲无穷小比较 渐近线确定 间断点类型 以后再研究可导性判断 例例 1 1 当当时 用时 用表示比表示比高阶的无穷小 则下列式子中错误的是 高阶的无穷小 则下列式子中错误的是 D 0 x xox A B C D 32 xoxox 32 xoxoxo 222 xoxoxo 22 xoxoxo 例例 2 2 已知当时 与是等价无穷小 求的值 1 x2 2 x x 2 1 1 xbxaba 例例 3 3 求曲线的渐近线方程 1 1 2 x x y 注 注 记忆各类渐近线的确定方法 若 称为一条水平渐近线 一个函数至多有两条不同的 xxx或或yb by xfy 水平渐近线 若 称为的一条铅直渐近线 axaxax或或y ax xfy 若 称为的一条斜渐近线 lim0 x x x y k x lim x x x ykxb bkxy xfy 例例 4 4 试确定的间断点 并判断其类型 x x y tan 解 解 其间断点为 因 则为其可去间断点 2 xkk zk 0lim 2 y kx 2 kx 又 此时 为其第二类间断点 y kx lim0 k kx 0 k 而 为其跳跃间断点 1lim 1lim 00 yy xx 0 x 例例 6 6 求证 设在间断 在连续 则在间断 并举例说明 f x 0 xx g x 0 xx f xg x 0 xx 在可能连续 2 f xg xfxf x 0 xx 提示 提示 设 则在间断 在连续 在 00 10 x f x x sing xx f x0 x g x0 x sin0f xg xf xx 连续 若设 在间断 但在均连续 0 x 10 10 x f x x f x0 x 2 1fxf x 0 x 注 注 在点连续 是 在点连续 的充分不必要条件 f x 0 x f x 0 x 课后练习课后练习 1 A 则 1 3 xxfxxgf xg 2 A 当时 02x max sin cos xx 3 B 2 min 32 2 x xx 4 A 与相同的函数为 xxfsgn A B C D 2 sgn x sgn sgn xxsgn sgn x 5 A 已知则 0 1 0 0 x x xH 1 H xH x 6 A 设 则 0 0 2 2 x x x x xg 0 0 2 x x x x xf g f x 7 A 设 又 则的定义域为 x exf arcsin 1 xxgf xg 8 A 设 均为非负数列 且 则必有 n a n b n c0lim n n a1lim n n b n n clim A 对任意成立 B 对任意成立 C 不存在 D 不存在 nn ba n nn cb n n lim n a n c n lim n b n c 9 B 设 nn xay 且 lim 0 nnnn n yxxy 则与 A 都收敛于 B 都收敛 但不一定收敛于 C 可能收敛 也可能发散 D 都发散aa 10 A 当时 是 0 x 21 sinxx A 无穷小 B 无穷大 C 有界但非无穷小 D 无界但非无穷大 11 B 设数列与满足 则下列断言正确的是 n x n y0lim nn n yx A 若发散 则必发散 B 若无界 则必有界 n x n y n x n y C 若有界 则必为无穷小 D 若为无穷小 则必为无穷小 n x n y1 n x n y 12 A 在下列哪个区间内有界 2 2 1 2sin xxx xx xf A B C D 0 1 1 0 2 1 3 2 13 A 当时 而 则正整数 0 x 2 1 cos ln 1 sin n xxo xx 2 sin 1 nx xxo e n 14 A 对函数 点是 1 1 21 21 x x f x 0 x A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点 15 A 的无穷间断点的个数为函数 22 2 1 1 1 xx xx xf 16 B 函数函数的可去间断点的个数为的可去间断点的个数为 xxx x xf x ln 1 1 17 A 设 则该函数图象具有 B 1 x x f x e A 一条水平渐近线 一个可去间断点 B 一条水平渐近线 一个跳跃间断点 C 一条铅直渐近线 一个可去间断点 D 一条铅直渐近线 一个跳跃间断点 18 A 曲线渐近线的条数为 2 2 1 xx y x 19 B 曲线渐近线的条数为 1ln 1 x yxe 20 B 设在内连续 且 则 bx ea x xf 0 lim xf x A B C D 0 0 ba0 0 ba0 0 ba0 0 ba 21 B 设函数在内单调有界 为数列 下列命题正确的是 xf n x A 若收敛 则收敛 B 若单调 则收敛 n x n xf n x n xf C 若收敛 则收敛 D 若单调 则收敛 n xf n x n xf n x 22 A 求下列极限或判断极限的存在性 1 2 3 arctan lim 1 x x x axx a ax 2 lim 100 x xxx 2 0 3sincos 1 lim 1 cos ln 1 x xxx xx 4 5 6 0 lncos lim lncos x x x 3 0 32 lim 121 xx x x 3 0 1tan1 sin lim sin x xx x 7 8 9 sin lim sin x xx xx 3 limln 12 ln 1 n n n cos1cos 1 1ln lim 4 0 x x x 10 11 12 2 11 lim 1 n n nn 22 lim sincos x x xx 12 0 lim xxnx x x eee nz n 13 14 15 3 0 12cos lim 1 3 x x x x lim 1 11 2 xx aax x 0 a 2 1 2 0 lim sec x x x 16 17 18 2 lim 5 n nnn 1 lim 123 xx x x 222 111 lim 12 n nnnn 23 A 若在上连续 则 2 sin210 0 ax xexx f x ax a 24 A 设 则的间断点为 1 1 lim 2 nx xn xf n xf 25 B 且 证明存在 并求 0 1 x 3 1 3 1 n n n x x x n n x limlim n n x 26 B 设 证明存在 并求 nn xxx 6 30 11 2 1 n n n x limlim n n x 27 A 若 则 1 12 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