二次曲线的不变量ppt课件.ppt

3用系数判别二次曲线类型 3 1二次曲线的不变量 半不变量 3 2用不变量法判别二次曲线的类型 转轴和移轴的方法只能在右手直角坐标系中判断二次方程表示的曲线类型 对于在一般仿射坐标系中的方程F x y 0表示的二次曲线 必须先确定它在某个右手直角坐标系中的方程F x y 0 然后按转轴和移轴进行判别 而F x y 0是由F x y 0经过从原仿射坐标系到新右手直角坐标系的仿射坐标变换得到的 如果不了解原来仿射坐标系的度量参数 就不能确定仿射坐标变换公式 也就得不到F x y 0 3用系数判别二次曲线类型 本节介绍一种直接用方程的系数 坐标系不限 来判别二次曲线类型的方法 它用到的方程系数确定的函数I1 I2 I3等 称为不变量 这种方法也称为不变量法 3用系数判别二次曲线类型 定义 曲线方程系数的一个确定的函数 如果在任意一个直角坐标变换下它的函数值不变 就称这个函数是这条曲线的一个正交不变量 简称不变量 不变量既然与直角坐标系的选择无关 于是它就反映了曲线本身的几何性质 因此找出曲线的不变量是解析几何研究中的一个重要课题 3 1二次曲线的 半 不变量 设在平面仿射坐标系中二次曲线的方程是 a11x2 2a12xy a22y2 2b1x 2b2y c 0 3 5 其中a11 a22 a12不全为零 记F x y 是方程 3 5 的左端的二次多项式 即 F x y a11x2 2a12xy a22y2 2b1x 2b2y c 设 x y 是F x y 的二次项部分 即 x y a11x2 2a12xy a22y2 二次曲线的矩阵表示 3 1二次曲线的 半 不变量 利用矩阵的乘法 将F x y x y 分别写成 其中 3 1二次曲线的 半 不变量 设二次曲线F x y 0 作坐标变换 3 14 得到二次曲线在新坐标系下的方程 F x y 0 其中F x y F c11x c12y d1 c21x c22y d2 坐标变换 3 14 也称为可逆线性变量替换 3 1二次曲线的 半 不变量 可逆线性变量替换 3 14 也可用矩阵表示为 其中 或 3 1二次曲线的 半 不变量 根据上面的记号 可得 F x y 的二次项部分为 显然 CTAC和C0TA0C0都是对称矩阵 因此分别是F x y 和 x y 的矩阵 3 1二次曲线的 半 不变量 设二次曲线F x y 0及其二次项 x y 的矩阵分别为 定义I1 I2 I3如下 I1 a11 a22 I2 A0 a11a22 a122 I3 A 分别称为二次曲线F x y 0的第一 第二 第三不变量 二次曲线的不变量及其性质 3 1二次曲线的 半 不变量 命题3 3设F x y 经过可逆线性变量替换 3 14 变为F x y 以I1 I2 I3 记F x y 0的不变量 则 1 I2和I2 同号 I3和I3 同号 2 如果C0是正交矩阵 则Ii Ii i 1 2 3 证明 1 根据矩阵乘积的性质 有 I2 C0TA0C0 C0 2I2 因为C0可逆 所以 C0 0 从而 C0 2 0 同理可证I3和I3 同号 C0 2 A0 于是I2和I2 同号 C0T A0 C0 3 1二次曲线的 半 不变量 2 当C0是正交矩阵时 C C0 1 根据 1 的证明 可得I2 I2 I3 I3 a12 0时 如果 对于I1 a12 0时只需作移轴 显然有I1 I1 C0TA0C0 3 1二次曲线的 半 不变量 因此 如果 I1 a11 a22 a11 a22 I1 因此 I1 a11 a22 a11 a22 I1 C0TA0C0 3 1二次曲线的 半 不变量 注 1 命题3 2 2 说明经过直角坐标变换 I1 I2 I3保持不变 因此它们的确是不变量 2 在仿射坐标变换下 I1 I2 I3并不是不变的 命题3 2 1 说明I2 I3保持正负性不变 而I1的正负性不一定保持不变 例如 设F x y 2x2 y2 此时I1 1 作仿射坐标变换得 F x y 2x 2 4y 2 此时I1 2 3 1二次曲线的 半 不变量 引理若F x y 0的I2 0 则对任何实数s t 有 I1 s t 0 其中 x y 是F x y 的二次项 证明 设 x y 的矩阵为 则a11a22 a122 I2 0 于是 3 1二次曲线的 半 不变量 a112s2 2a11a12st a11a22t2 a11a22s2 2a12a22st a222t2 a112s2 2a11a12st a122t2 a122s2 2a12a22st a222t2 a11s a12t 2 a12s a22t 2 0 I1 s t a11 a22 a11s2 2a12st a222t2 3 1二次曲线的 半 不变量 命题3 4如果二次曲线F x y 0的I2 0 则I1 0 且作可逆线性变量替换 3 14 后所得的F x y 的I1 与I1同号 证明 因为I2 0 所以a11a22 a122 0 说明a11 a22同号且不全为零 再根据A0 C0TA0C0与矩阵乘法的定义 有 于是I1 a11 a22 0 另外 根据命题3 3 I2 0 同理说明I1 0 3 1二次曲线的 半 不变量 I1I1 I1 c11 c21 I1 c12 c22 0 又因为I1 I1 都不为零 所以I1I1 0 即I1 I1 同号 于是由引理 3 1二次曲线的 半 不变量 注 命题3 4说明 二次曲线的不变量I1在I2 0的情况下 其正负性在作可逆线性变量替换时也不会变 I1 I2 I3在作可逆线性变量替换时的变化规律 1 I1 I2 I3的值在任一直角坐标变换下不变 2 I2 I3的符号在任一仿射坐标变换下不变 3 当I2 0时 I1的符号在任一仿射坐标变换下不变 3 1二次曲线的 半 不变量 下面再看乘非零常数 时的变化规律 当 0时 I1 I2 I3的符号不变 当 0时 I2的符号不变 I1 I3变号 但I1I3符号不变 乘非零常数 时 有Ii iIi i 1 2 3 于是 综合起来有 乘任一非零常数 时 I2的符号不变 I1I3符号不变 3 1二次曲线的 半 不变量 在I中方程 F x y 0 在I 中方程 F x y 0 二次曲线 仿射坐标变换 乘非零常数 标准方程 G x y 0 I2 I3符号不变 I2 0时 I1符号不变 I2 I1I3符号不变 3 1二次曲线的 半 不变量 二次曲线的标准方程中 半 不变量的正负性 3 1二次曲线的 半 不变量 3 1二次曲线的 半 不变量 3 1二次曲线的 半 不变量 定义设二次曲线F x y 0的矩阵为 规定K1 a11c b12 a22c b22 称为二次曲线F x y 0的半不变量 二次曲线的半不变量及其性质 3 1二次曲线的 半 不变量 引理当I2 I3 0时 K1 0 r A 1 证明 因为I2 0 即a11a22 a122 则可设a12 ta11 所以a11 a22不异号 且不都为零 从而有a22 t2a11 于是 a11 b2 tb1 2 不妨设a11 0 3 1二次曲线的 半 不变量 又I3 0 a11 0 所以b2 tb1 从而 这样 当I2 I3 0时 A的9个二阶子式中不含c的5个都为0 剩下的4个二阶子式为 即矩阵A的第1 2行 第1 2列 元素对应成比例 3 1二次曲线的 半 不变量 其中 因此 当I2 I3 0时 K1 0 r A 1 于是 3 1二次曲线的 半 不变量 命题3 5设二次曲线F x y 0满足I2 I3 0 对其作可逆线性变量替换 3 14 后得到F x y 0 设K1 为F x y 0的半不变量 则 1 如果坐标变换 3 14 的系数矩阵C0是正交矩阵 则K1 K1 证明 1 作多项式 G x y 0的不变量 3 1二次曲线的 半 不变量 由引理的证明可知 它的半不变量 根据引理 G x y 0的矩阵的秩为1 设对G x y 作可逆线性变量替换 3 14 后得到G x y 则G x y 的矩阵的秩为1 从而半不变量 0 3 1二次曲线的 半 不变量 另一方面 由可得 于是类似于上面的计算 有 从而 即 2 由 1 与命题3 3 2 易得 3 1二次曲线的 半 不变量 注 1 因为I2 0时 I1 0 且在作可逆线性变量替换时它的正负性不变 所以当I2 I3 0时 可逆线性变量替换不改变半不变量的符号 2 如果F x y 乘非零常数 则半不变量要乘 2 从而符号不变 综合命题3 3 3 4 3 5的结论 并观察二次曲线的标准方程中不变量I1 I2 I3以及半不变量K1的符号的变化规律 我们就可以直接利用二次方程的系数判别二次曲线的类型 3 1二次曲线的 半 不变量 二次曲线的标准方程中 半 不变量的正负性 3 2用不变量判断曲线类型 3 2用不变量判断曲线类型 3 2用不变量判断曲线类型 注 表格说明 二次曲线的不变量I1 I2 I3以及半不变量K1的符号对判断二次曲线的类型起决定性作用 I2的符号决定了二次曲线的型别 I1I3的符号决定了椭圆型二次曲线的类别 I3的符号决定了双曲型二次曲线的类别 I3 K1的符号决定了抛物型二次曲线的类别 3 2用不变量判断曲线类型 用 半 不变量判别二次曲线的类型 3 2用不变量判断曲线类型 3 2用不变量判断曲线类型 3 2用不变量判断曲线类型 例1按照t的值讨论下面二次曲线的类型 tx2 2xy ty2 2x 2y 5 0 解 二次曲线的矩阵 不变量 I1 2t I2 t2 1 I3 5t2 2t 3 5t 3 t 1 3 2用不变量判断曲线类型 1 当 t 1时 I2 0 曲线为椭圆型 如果t 1 则I1I3 0 图像是空集 如果t 1 则I1I3 0 图像是椭圆 2 当 t 1时 I2 0 曲线为双曲型 如果t 3 5 则I3 0 曲线为双曲线 如果t 3 5 则I3 0 图像是两条相交直线 3 当 t 1时 I2 0 曲线为抛物型 如果t 1 则I3 0 曲线为抛物线 如果t 1 则I3 0 K1 8 0 图像是空集 3 2用不变量判断曲线类型 用 半 不变量求二次曲线的最简方程 1 二次曲线为椭圆型或双曲型 则最简方程为 设二次曲线的方程 3 5 经过直角坐标变换 化成了最简形式 由于I1 I2都是不变量 所以有 3 2用不变量判断曲线类型 这表明a11 a22 是下面一元二次方程的根 2 I1 I2 0 称方程 为二次曲线 3 5 的特征方程 它的两个实根称为二次曲线 3 5 的特征根 记为 1 2 由于方程 的判别式 I12 4I2 0 所以方程 一定有两个实根 3 2用不变量判断曲线类型 又因为I3是不变量 所以 从而得 这样椭圆型或双曲型二次曲线的最简方程可写成 3 2用不变量判断曲线类型 2 二次曲线为抛物线 则最简方程为 由于I1 I2 I3都是不变量 所以有 3 2用不变量判断曲线类型 由此得 这样抛物线的最简方程可写成 3 二次曲线为抛物型 且I3 0 则最简方程为 于是I1 a11 I2 I3 0 且 3 2用不变量判断曲线类型 因此 这样退化的抛物型曲线的最简方程可写成 3 2用不变量判断曲线类型 例2设在直角坐标系下二次曲线有下列方程 判断其类型 并求其标准方程 1 x2 3xy y2 10 x 10y 21 0 2 x2 4xy 4y2 20 x 10y 50 0 解 1 I1 1 1 2 3 2用不变量判断曲线类型 因为I2 0 所以这是双曲型曲线 因为I3 0 所以这是双曲线