2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数复习课学案 新人教A版必修第一册

1 复习课复习课 四四 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 考点一 指数式与对数式的运算 1 分数指数幂 2 对数的运算性质 已知 a 0 b 0 a 1 m 0 n 0 m 0 1 logam logan loga mn 2 logam logan loga m n 3 logambn logab n m 典例 1 1 化简 1 2 3 b a 3 ab 2 计算 2log32 log3 log38 25log53 32 9 2 原式 log34 log3 log38 52log53 32 9 log3 52log53 log39 9 2 9 7 4 9 32 8 指数与对数的运算应遵循的原则 2 1 指数式的运算 注意化简顺序 一般负指数先转化成正指数 根式化为分数指数幂 运算 另外 若出现分式 则要注意对分子 分母因式分解以达到约分的目的 2 对数式的运算 注意公式应用过程中范围的变化 前后要等价 一般本着真数化简 的原则进行 针对训练 1 求值 解 1 原式 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 1 3 2 4 9 4 9 1 2 2 原式 log52 log25 log33 2log22 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 3 4 考点二 指数函数 对数函数的图象 函数的图象以一次函数 反比例函数 二次函数 指数函数 对数函数这些基本初等 函数的图象为基础 通过平移 对称得到较为复杂函数的图象 主要涉及单调性 奇偶性 和特殊点的研究 典例 2 1 已知函数 f x 则 y f x 1 的图象大致 是 3 2 设 a b c 均为正数 且 2a c log2c 则 1 2 a a b cb c b a c c a bd b a c 解析 1 先作出 f x 的大致图象 如右图所示 再把 f x 的图象向左平移 1 个 单位长度 可得到 y f x 1 的图象 2 在同一平面直角坐标系中 画出函数 y 2x y x y log2x y 的图 1 2 象 如右图所示 则 a b c 分别为两个图象交点的横坐标 根据图象可知 a b c 故选 a 答案 1 b 2 a 4 指数函数 对数函数图象的应用要点 1 识别函数的图象从以下几个方面入手 单调性 函数图象的变化趋势 奇偶性 函数图象的对称性 特殊点对应的函数值 2 图象平移遵循 左加右减 上加下减 的原则 是自变量 x 的加减及函数值的加 减 3 已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决 针对训练 2 函数 f x log2 2x 4 的图象为 解析 函数 f x log2 2x 4 的图象可看作将 f x log2 2x 的图象向右平移 2 个单位长度得到的 答案 a 3 如图 函数 f x 的图象为折线 acb 则不等式 f x log2 x 1 的解集是 5 a x 1 x 0 b x 1 x 1 c x 1 x 1 d x 1 x 2 解析 在同一坐标系中作出函数 y f x 与 y log2 x 1 的图象 如图所示 由图可知 不等式的解集为 x 10 且 a 1 且 f 1 2 求 a 的值及 f x 的定义域 6 求 f x 的区间上的最大值 0 3 2 解析 1 f x x x f x 1 2 1 2 f x 是偶函数 x 0 f x x在 0 上是减函数 故选 d 1 2 2 f 1 2 loga 1 1 loga 3 1 loga4 2 解得 a 2 a 0 a 1 由 error 得 x 1 3 函数 f x 的定义域为 1 3 f x log2 1 x log2 3 x log2 1 x 3 x log2 x 1 2 4 当 x 0 1 时 f x 是增函数 当 x 时 f x 是减函数 1 3 2 所以函数 f x 在上的最大值是 f 1 log24 2 0 3 2 答案 1 d 2 2 1 3 2 指数函数 对数函数性质的应用要点 解决此类问题要熟练掌握指数函数 对数函数的图象和性质 方程 不等式的求解可 利用单调性进行转化 对含参数的问题进行分类讨论 同时还要注意变量本身的取值范围 以免出现增根 比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决 针对训练 a a b cb c b a c c a bd b a c 解析 故有 7 a b c 答案 a 5 设函数 f x a a r r 2 2x 1 1 若函数 f x 为奇函数 求实数 a 的值 2 用定义法判断函数 f x 的单调性 3 若当 x 1 5 时 f x 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 若函数 f x 为奇函数 x r r f 0 a 1 0 得 a 1 验证 当 a 1 时 f x 1 显然该函数为奇函数 a 1 2 2x 1 1 2x 1 2x 2 任取 x1 x2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 2 2x1 1 2 2x2 1 2x2 1 2x1 1 2x1 1 2x2 1 由 x1 x2得 x1 1 x2 1 2x1 10 故 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 f x 在 上是减函数 3 当 x 1 5 时 f x 为减函数 fmax x f 1 a 4 3 若 f x 0 恒成立 则满足 fmax x a 0 得 a a 的取值范围为 4 3 4 3 4 3 考点四 函数的零点与方程的解 根据函数零点的定义 函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 的解 判断一个方程是 否有零点 有几个零点 就是判断方程 f x 0 是否有解 有几个解 从图形上说 函数 的零点就是函数 y f x 的图象与 x 轴的交点的横坐标 函数零点 方程的解 函数图象 与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系 利用它们之间的关系 可以解决很多 函数 方程与不等式的问题 典例 4 1 已知函数 f x log2x 在下列区间中 包含 f x 零点的区间是 6 x a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 2 已知函数 f x error 其中 m 0 若存在实数 b 使得关于 x 的方程 f x b 有三个 8 不同的实数解 则 m 的取值范围是 解析 1 由题意知 函数 f x 在 0 上为减函数 又 f 1 6 0 6 0 f 2 3 1 2 0 f 4 log24 2 m 时 f x x2 2mx 4m x m 2 4m m2 其顶点为 m 4m m2 当 x m 时 函数 f x 的图象与直线 x m 的交点为 q m m 当error 即 03 时 函数 f x 的图象如图 2 所示 则存在实数 b 满足 4m m2 b m 使得直线 y b 与函数 f x 的图象有三个不同的交点 符合题意 综上 m 的取值范围为 3 答案 1 c 2 3 确定函数零点的方法 1 求方程 f x 0 的解 2 利用图象找 y f x 的图象与 x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点问题 3 利用 f a f b 与 0 的关系进行判断 针对训练 6 已知 a 是函数 f x 2x 的零点 若 0 x00 9 c f x0 0d f x0 的符号不确定 解析 y 2x与 y 的图象如图所示 显然两个图象的交点的横坐标为 a 于是在 0 a 区间上 y 2x的图象在 y 的图象的下方 从而 2x0 即 f x0 2x0 0 答案 c 7 若关于 x 的方程 x2 mx m 1 0 有一正实根和一负实根 且负实根的绝对值较大 则实数 m 的取值范围是