换元法(高中数学思想方法)

换元法 解数学题时 把某个式子看成一个整体 用一个变量去代替它 从而使问题得到简化 这叫换元法 换元的实质是转化 关键是构造元和设元 理论依据是等量代换 目的是变 换研究对象 将问题移至新对象的知识背景中去研究 从而使非标准型问题标准化 复杂 问题简单化 变得容易处理 换元法又称辅助元素法 变量代换法 通过引进新的变量 可以把分散的条件联系起 来 隐含的条件显露出来 或者把条件与结论联系起来 或者变为熟悉的形式 把复杂的 计算和推证简化 它可以化高次为低次 化分式为整式 化无理式为有理式 化超越式为代数式 在研 究方程 不等式 函数 数列 三角等问题中有广泛的应用 换元的方法有 局部换元 三角换元 均值换元等 局部换元又称整体换元 是在已 知或者未知中 某个代数式几次出现 而用一个字母来代替它从而简化问题 当然有时候 要通过变形才能发现 例如解不等式 4 2 2 0 先变形为设 2 t t 0 而变 xxx 为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题 三角换元 应用于去根号 或者变换为三角形式易求时 主要利用已知代数式中与三 角知识中有某点联系进行换元 如求函数 y 的值域时 易发现 x 0 1 x1 x 设 x sin 0 问题变成了熟悉的求三角函数值域 为什么会想到如此设 2 2 其中主要应该是发现值域的联系 又有去根号的需要 如变量 x y 适合条件 x y r r 0 时 则可作三角代换 x rcos y rsin 化为三角问题 222 均值换元 如遇到 x y S 形式时 设 x t y t 等等 S 2 S 2 我们使用换元法时 要遵循有利于运算 有利于标准化的原则 换元后要注重新变量 范围的选取 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围 不能缩小也不能扩大 如上 几例中的 t 0 和 0 2 再现性题组 再现性题组 1 y sinx cosx sinx cosx 的最大值是 2 设 f x 1 log 4 x a 1 则 f x 的值域是 2 a 4 3 已知数列 a 中 a 1 a a a a 则数列通项 n1n 1nn 1n a n 4 设实数 x y 满足 x 2xy 1 0 则 x y 的取值范围是 2 5 方程 3 的解是 13 13 x x 6 不等式 log 2 1 log 2 2 2 的解集是 2 x 2 x 1 简解 1 小题 设 sinx cosx t 则 y t 对称轴22 t 2 2 1 2 t 1 当 t y 2 max 1 2 2 2 小题 设 x 1 t t 1 则 f t log t 1 4 所以值域为 2 a 2 log 4 a 3 小题 已知变形为 1 设 b 则 b 1 b 1 n 1 1 1 1 an 1 an n 1 an 1n n 所以 a n 1 n 4 小题 设 x y k 则 x 2kx 1 0 4k 4 0 所以 k 1 或 k 1 22 5 小题 设 3 y 则 3y 2y 1 0 解得 y 所以 x 1 x2 1 3 6 小题 设 log 2 1 y 则 y y 1 2 解得 2 y0 求 f x 2a sinx cosx sinx cosx 2a 的最大值和最小值 2 解 设 sinx cosx t 则 t 由22 sinx cosx 1 2sinx cosx 得 sinx cosx 2 t 2 1 2 f x g t t 2a a 0 t 1 2 2 1 2 22 t 时 取最小值 2a 2a 2 2 2 1 2 当 2a 时 t 取最大值 2a 2a 22 2 2 1 2 当 00 2 2 41 a a 2 2 1 a a 2 a a 1 4 2 2 恒成立 求 a 的取值范围 87 年全国理 y x22 分析 不等式中 log log log三项有何联系 进行 2 41 a a 2 2 1 a a 2 a a 1 4 2 2 对数式的有关变形后不难发现 再实施换元法 解 设 log t 则 2 2 1 a a log log 3 log 3 log 3 t log 2 41 a a 2 81 2 a a 2 a a 1 2 2 2 1 a a 2 a a 1 4 2 2 2log 2t 2 a a 1 2 代入后原不等式简化为 3 t x 2tx 2t 0 它对一切实数 x 恒成立 所以 2 解得 t 0 即 log 0 30 48 30 2 t ttt t tt 3 06或 2 2 1 a a 0 1 解得 0 a0 恒成立 求 k 的范围 x 1 9 2 y 1 16 2 分析 由已知条件 1 可以发现它与 a b 1 有相似之处 x 1 9 2 y 1 16 2 22 于是实施三角换元 解 由 1 设 cos sin x 1 9 2 y 1 16 2 x 1 3 y 1 4 即 代入不等式 x y k 0 得 x y 13 14 cos sin 3cos 4sin k 0 即 k 3cos 4sin 5sin 所以 k0 a 0 所表示的区域为直线 ax by c 0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向 的一部分 此题不等式恒成立问题化为图形问题 椭 圆上的点始终位于平面上 x y k 0 的区域 即当直 线 x y k 0 在与椭圆下部相切的切线之下时 当 直线与椭圆相切时 方程组 y x x y k 0 k 平面区域 有相等的一组实数解 消元后由 0 可求得 k 3 所以 16191144 0 22 xy xyk k0 则 f 4 的值为 3 A 2lg2 B lg2 C lg2 D lg4 1 3 2 3 2 3 2 函数 y x 1 2 的单调增区间是 4 A 2 B 1 D C 1 3 设等差数列 a 的公差 d 且 S 145 则 a a a a的值为 n 1 2 10013599 A 85 B 72 5 C 60 D 52 5 4 已知 x 4y 4x 则 x y 的范围是 22 5 已知 a 0 b 0 a b 1 则 的范围是 a 1 2 b 1 2 6 不等式 ax 的解集是 4 b 则 a b x 3 2 7 函数 y 2x 的值域是 x 1 8 在等比数列 a 中 a a a 2 a a a 1