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金融经济学 第五章风险态度与资产选择 学习目的 掌握投资者的风险态度及其分类理解投资者的效用函数与风险态度的数量化掌握投资者的风险对策以及由此而产生的对资产需求的影响 本章内容概览 一 投资者的风险态度二 投资者的一般风险对策三 投资组合理论四 资产选择行为与资产需求 一 投资者的风险态度 风险态度是指人们对可能的损失和可能的收益所给予的重视程度 对效用的理解 最好吃的东西 兔子和猫争论 世界上什么东西最好吃 兔子说 世界上萝卜最好吃 萝卜又甜又脆又解渴 我一想起萝卜就要流口水 猫不同意 说 世界上最好吃的东西是老鼠 老鼠的肉非常嫩 嚼起来又酥又松 味道美极了 兔子和猫争论不休 相持不下 跑去请猴子评理 猴子听了 不由得大笑起来 瞧你们这两个傻瓜蛋 连这点儿常识都不懂 世界上最好吃的东西是什么 是桃子 桃子不但美味可口 而且长得漂亮 我每天做梦都梦见吃桃子 兔子和猫听了 全都直摇头 那么 世界上到底什么东西最好吃 以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉 不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价 在决策理论中 后果对决策人的实际价值 即决策人对后果的偏好次序是用效用 utility 来描述的 效用就是偏好的量化 是数 实值函数 效用在经济中的决策作用也可用理性来描述经济中的理性 RationalityinEconomics行为假定 BehavioralPostulate 假定消费者总是从他可得到的消费束中选择最偏好的消费束 将消费者偏好模型化 效用 utility 消费者从消费商品中得到的满足程度 在金融经济学中 效用是指某种投资收益能给投资者带来的满足程度 效用完全是消费者的一种主观心理感受 满足程度越高 效用越大 满足程度越低 效用越小 一 期望效用理论 一 期望效用理论 期望效用函数理论 ExpectedUtilityTheory 期望效用函数理论是20世纪50年代 冯 纽曼和摩根斯坦 VonNeumannandMorgenstern 在公理化假设的基础上 运用逻辑和数学工具 建立了不确定条件下对理性人 rationalactor 选择进行分析的框架 不过 该理论是将个体和群体合而为一的 后来 阿罗和德布鲁 ArrowandDebreu 将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中 成为处理不确定性决策问题的分析范式 进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观 金融 计量等在内的宏伟而又优美的理论大厦 1 期望效用函数如果某个随机变量X以概率Pi取值xi i 1 2 n 而某人在确定地得到xi时的效用为u xi 那么 该随机变量给他的效用便是 U X E u X P1u x1 P2u x2 Pnu xn 其中 E u X 表示关于随机变量X的期望效用 因此U X 称为期望效用函数 又叫做冯 诺依曼 摩根斯坦效用函数 VNM函数 另外 要说明的是期望效用函数失去了保序性 不具有序数性 2 期望 效用函数理论的应用 就业期望效用函数的构造从不确定性出发 考虑人们的偏好与效用函数就得引进概率P 概率的效用函数表达式叫期望效用函数 如果把期望效用函数与大学生择业 就业结合就可以较简单地构造出就业期望效用函数探讨大学生就业的现象机制一般来讲是在条件确定时进行的经验或者理性的推导 但是 许多场合 那种以完全确定为前提的分析是不现实的 事实上 我们知道 毕业生在决策时 对于选择的后果是不完全知道的 具有不确定性 要冒一定的风险 毕业生的决策是取决于他 她 关于选择某一个工作岗位的概率分布的主观猜测 如果他主观认为选择某一工作发展前景概率更高 那么 它就会选择 否则另谋出路 这就是我们必须从不确定性出发 考虑消费者的偏好与效用函数就得引进概率P使之变成期望效用函数 如果你选择的工作对象是两家IT公司 收入见下表 表工资收入 结果1结果2可能性 P 收入可能性 P 收入工作A 佣金制 0 620000 41000工作B 固定资金 0 9515000 05500 结果1结果2可能性 P 收入可能性 P 收入工作A 佣金制 0 6 2000 1200工作B 固定资金 0 95 1500 1425期望收入 结果1的概率 结果1的收入 结果2的概率 结果2的收入 工作A 1600 工作B 1450则你应该选择工作A 而期望效用 expectedutility 一般在单独的情况下值为u g pu A 1 P u B 当u g1 u g2 时 则可认为毕业时在g 1与g 2之间更偏好g 1 也就是说 当寻找工作的毕业生有多种未知的情况 而要选择时 他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择 如果选择工作的结果有 n个可能性 即就业期望效用函数的意义在于 当大学生面临不确定性的择业 就业选择时 他可以依靠期望效用的极大化来分析自己的选择是否合理可行 至少可以对目前的状况做较规范的分析 效用函数应用实例假设目前市场上由三份工作可以选择 它们的工资分别为A 3000元 1500元 1000元 括号中的a1 3000 a2 1500 a3 1000 分别表示可能发生的三种结果 这里a1最好 a3最次 如果问自己 当a发生的概率 p 等于多少时使你认为a i 1 2 3 与 p a1 a2 元差异 如果回答是 3000元 1 3000元 0 1000元 1500元 0 6 3000元 0 4 1000元 1000元 0 3000元 1 1000元 那么可以定义 u 3000元 u a1 1u 1500元 u a2 O 6u 1000元 u a3 O现在可以比较不同寻职格局了 由于u S1 u S2 即S1的期望效用大于S2的期望效用 所以你一定会偏好于选择S1 因此就业者可以通过自己对某一行业的了解及心理自测的评价 利用就业期望效益较合理评估自己的想法 寻找更多的机会和更合适的工作岗位 效用函数utilityfunction是对满意程度的量化效用函数分为 序数效用函数 基数效用函数序数效用ordinalutility 效用之间只能排序基数效用cardinalutility 用具体数值表示效用的大小期望效用 有多种结果时效用的数学期望E u 或积分 偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的 偏好关系 preferencerelation 是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序 它可以用一种两维 或二元 关系 binaryrelation 表述出来 1 偏好关系 偏好关系的表述令C为商品 或者消费 集合 C中有M种可供选择的商品 它是M维实数空间中的一个非负子集 它总是被假定为闭集和凸集 x y z 是它的子集 或者称之为商品束 commoditybundle 或者消费束 consumeboundle 1 偏好 假定有任何两个消费束x和y 严格偏好 strictpreference xy如果消费者在y可以得到的情况下总是选择x 则可以说他偏好x 无差异 Indifference x y如果让消费者消费另一个消费束y 他同样感到满足 虽然根据他自己的偏好是要消费x p 弱偏好 weakpreference xy如果消费者偏好于x或者认为和y无差异 则说消费者弱偏好于x 偏好关系是序数关系 是消费者对消费束偏好程度的排序 如果xy且yx 这意味着x y 如果xy且已知不是x y 则可得出结论认为xy p 2 偏好的公理性假设 完备性 Completeness 假设任何两个消费约束都是可比较的 对于消费束x和y 消费者或者认为xy 或者认为yx 或者认为x y 三者必居其一 完备性假定保证了消费者具备选择判断的能力 吃哪堆草好呢 自返性 Reflexivity 假设任何消费束至少与本身是同样好的 xx自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性 传递性 Transitivity 假如xy yz 则xz 传递性保证了消费者在不同商品之间偏好的首尾一贯性 老头子做事总不会错 连续性 continunity 对于任意的X y 集合和是闭集 则和是开集 即如果x是一组至少与y一样好的消费束 而且它趋近于另一消费束z 则z与y至少同样好 这样就可以得到一条连续的无差异曲线 单调性 monotonicity 如果xy单调性说明增加一点商品至少与原来的情况同样好 只要商品是有益的 单调性就必然成立 强单调性说明同样的物品 如果其中有些种类的数量严格多于原来的物品 消费者则必定严格偏好于他们 且xy 则 局部非饱和性 localnon satiation 和 0 总存在使得在技术上 局部非饱和性和单调性保证了无差异曲线具有一个负的斜率 凸性 convexity 严格凸性 strictlyconvexity 凸性可理解为边际替代率递减 3 无差异曲线IndifferenceCurves 弱偏好集 WeaklyPreferredSet 严格偏好集 StrictlyPreferredSet 无差异曲线 IndifferenceCurves 偏好的实例 x2 x1 I x x x WP x 弱偏好于x的消费束的集合 弱偏好集WeaklyPreferredSet 严格偏好集 StrictlyPreferredSet x2 x1 SP x 严格偏好于X的消费束的集合 不包括I x x I x 无差异曲线IndifferenceCurves x2 x1 x x x x x x x2 x1 zxy p p x y z x2 x1 x 所有无差异曲线I1上的消费束都严格优于I2上的消费束 y z I1 I2 I3 所有无差异曲线I2上的消费束都严格优于I3上的消费束 无差异曲线不能相交 x2 x1 x y z I1 I2 单调性假设 假设商品多多益善 即假设未到餍足点且每一种商品都是 好 商品 更精确的表示是 消费束 y1 y2 和 x1 x2 其中y1 x1 y2 x2 则 y1 y2 x1 x2 单调性假设的含义 无差异曲线斜率为负 p 单调性偏好 X1 X2 X2 X1 较好消费束 较差消费束 斜率为负 凸性假设 消费束的组合至少与消费束本身一样受偏爱例如在一条无差异曲线上取两个消费束 x1 x2 和 y1 y2 取这两个消费束的加权平均 令其为zz 则z至少与x或y一样好 x2 y2 x2 y2 2 x1 y1 x1 y1 2 x y z x y 2 严格偏好于x和y x2 y2 x1 y1 x y z tx1 1 t y1 tx2 1 t y2 偏好于x和y 0t1 x2 y2 x1 y1 x y 偏好是严格凸性的 当所有的组合消费束z都严格偏好于x和y 0 t 1 z 严格凸性偏好的无差异曲线没有平坦部分 它是严格圆形的 x y z 偏好是弱凸性的 如果z至少与x或y一样好 x z y 凹性偏好 x2 y2 x1 y1 z 非凸性偏好 x2 y2 x1 y1 z 4 效用函数 第三章 第49页 效用函数和无差异曲线 效用函数和无差异曲线 U1 效用函数和无差异曲线 U1 U2 效用函数和无差异曲线 0 X1 X2 U1 U2 无差异曲线可以看作是效用函数曲面边界在平面上的投影 效用函数和无差异曲线 U1 U2 0 X1 X2 5 投资的期望效用 在一般情况若投资的期末收益R是离散型随机变量 则投资者的期望效用为 若R是连续型随机变量 则其期望效用为 当期望效用大于零时 意味着投资将导致效用净增加 可以考虑进行投资 如果期望效用小于零 则意味投资者效用的净损失 应该放弃 期望效用函数 expectedutilityfunction 期望效用最大化原则 1944年由美国数学家冯 诺依曼和经济学家摩根斯坦在合著的 博弈论与经济行为 一书中提出的期望效用理论是关于不确定性决策的规范理论 核心思想是 当面对多项有风险的投资机会时 理性投资者一定是选择期望效用最大的那项投资机会进行投资 二 投资者的效用函数与风险态度 18世纪著名的数学家DanielBernoulli在研究赌博问题时发现 人们往往对赌博输掉的钱看得比可能赢的钱更重 例如 有一个掷硬币的赌局 假定硬币是完全对称的 正面朝上可以赢2000元 反面朝上1分钱什么也没有 现在入局费为多少 才能使这场赌博为一场公平的赌博 1 公平赌博 公平赌博是指不改变个体当前期望收益的赌局 如一个赌局的随机收益为 其变化均值为E 0的赌局 或者公平赌博是指一个赌博结果的预期只应当和入局费相等的赌博 考虑一个博弈 它以概率p有一个正的回报h1 以概率 1 p 有负收益h2 它称为一个公平的赌博是指ph1 1 p h2 0 如果在某场博弈中 某一局中人所赢钱的数学期望值大于零 那么此人应当先交出等于期望值的钱来 才可以使得这场赌博变得公平 或者说公平赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等 即赌博的结果从概率平均意义上的应该是不输不赢 怎样判别风险厌恶 风险偏好和风险中立 若投资者的初始财富为W0 他不参与一个公平赌博 则其效用值是U W0 若参与 则其财富会起变化 变化的财富的期望效用是以p取 W1 W0 h1 以 1 p 取 W2 W0 h2 比较投资者对二者之间态度 可以判断投资者的风险态度 确定性利益与不确定性利益的效用比较 定义 如果投资者不喜欢参与任何公平的赌博 即u W0 pu W1 1 p u W2 则称投资者是风险厌恶型 此时 效用函数u是一个凹函数 更一般的表示为 u E W E u W 个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博 个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公平的赌博 定理 u的凹性对应着个体风险厌恶 u的严格凹性对应着个体严格风险厌恶 2 风险厌恶 假定条件 投资者在无风险条件下 可以持有的确定的货币财富量等于博弈的期望值 如果投资者认为有 则为风险回避者 投资者的风险态度 风险厌恶者 风险厌恶的效用函数U W U W 定义 如果投资者喜欢参与所有公平的赌博 即u W0 pu W0 h1 1 p u W0 h2 则称投资者是风险爱好型 此时 效用函数u是一个凸函数 更一般的表示为 u E W E u W 3 风险偏好 假定条件 投资者在无风险条件下 可以持有的确定的货币财富量等于博弈的期望值 如果投资者认为有 则为风险偏好者 风险偏好者 风险偏好的效用函数U W U W 这种投资者把风险的 乐趣 考虑在内 使预期收益率上调 因为上调后的公平赌博的效用期望高于一个确定性收入财富 风险爱好者总是加入公平赌博 4 风险中立 定义 如果投资者对是否参与所有公平的赌博没有任何差别 则称投资者是风险中性型 此时 u W0 pu W0 h1 1 p u W0 h2 效用函数u是一个线性函数 更一般的表示为 u E W E u W 假定条件 投资者在无风险条件下 可以持有的确定的货币财富量等于博弈的期望值 如果投资者认为有 则为风险中立者 风险中立者 风险中立的效用函数U W 这时 投资者对风险采取完全无所谓的态度 不对风险资产要求任何风险补偿 投资者只是按照预期收益率来判断风险投资 风险的高低与风险中性投资者无关 这意味着不存在风险妨碍 对这样的投资者来说 资产组合的确定等价报酬率就是预期收益率 71 风险厌恶型投资者的无差异曲线 IndifferenceCurves 1 能否相交2 谁的效用更高3 为何向右下方凸出 从风险厌恶型投资来看 收益带给他正的效用 而风险带给他负的效用 或者理解为一种负效用的商品 根据微观经济学的无差异曲线 若给一个消费者更多的负效用商品 且要保证他的效用不变 则只有增加正效用的商品 根据均方准则 若均值不变 而方差减少 或者方差不变 但均值增加 则投资者获得更高的效用 此即风险厌恶者的无差异曲线 风险偏好 Risklover 投资者的无差异曲线 ExpectedReturn StandardDeviation 风险偏好型的投资者将风险作为正效用的商品看待 当收益降低时候 可以通过风险增加得到效用补偿 风险中立 Riskneutral 投资者的无差异曲线 风险中立型的投资者对风险无所谓 只关心投资收益 ExpectedReturn StandardDeviation 5 个体风险厌恶度量 假定所有投资者是厌恶风险的 然而每个人风险厌恶的程度可能个不相同 因此需要对风险厌恶程度给出一个度量 MarkowitzriskpremiumPratt Arrowriskpremium 确定性等值与Markowitzriskpremium 定义 W0 f W0 H 称为确定性等值 certaintyequivalentwealth 确定性等值 CE 是一个完全确定的量 在此收入水平 被认为这是一个确定性财富 上的效用水平等于不确定条件下财富的期望效用水平 f W0 H 是一个收入额度 当一个完全确定的收入减去该额度后所产生的效用水平等于不确定性条件下财富的期望效用水平 该额度越大表明投资者为了避免赌博愿交的罚金越多 因而就越厌恶风险 f W0 H 是投资者为了避免参与赌博 一个不确定性 愿意放弃的财富或缴纳罚金的最大数量 这个特定的额度称为罚金f W0 H 或Markowitzriskpremium 它们满足下式u W0 f W0 H pu W0 h1 1 p u W0 h2 其含义是一个确定的初始财富减去一个特定的额度后的效用相当于不确定财富的期望效用 或者 Pratt Arrowriskpremium 定义 考察风险很小的博弈 Pratt Arrow风险溢价定义为 6 绝对风险厌恶与相对风险厌恶 绝对的厌恶风险型对于个体效用函数 定义它的绝对风险厌恶系数为 用来判断当个体在风险资产与无风险资产之间进行选择时 是否能像对待正常商品一样对待有风险资产 定义如果RA 是严格递减的函数 即 那么称投资者是递减绝对风险厌恶的 类似的 若 那么称投资者是常绝对风险厌恶的 若 则称投资者是递增绝对风险厌恶的 定理 阿罗 普拉特定理 对于递减绝对风险厌恶者来说 随着个人财富的增长 他对风险资产的投资也就越大 对于递增绝对风险厌恶者 随着个人财富的增加 他对风险资产投资反而减少 视风险资产为劣质品 对于常绝对风险厌恶者 他对风险资产投资与财富无关 显示递减绝对风险厌恶系数的投资者 当财富增加时 他对风险资产的绝对投资量也会增加 但是不能回答 相对于总财富的风险投资比例是增加还是减少 引入相对风险厌恶的概念可以回答这一问题 相对的厌恶风险型对于个体效用函数 定义它的相对风险厌恶系数为 定义 如果RR 是严格递减的函数即 那么称投资者是递减相对风险厌恶的 若那么称投资者是常 不变 相对风险厌恶的 若 则称投资者是递增相对风险厌恶的 对于递增相对风险厌恶者 风险资产需求的财富弹性小于1 即随财富的增加 投资于风险资产相对于财富的比例下降 对于不变相对风险厌恶者 风险资产需求的弹性等于1 对于递减相对风险厌恶者 风险资产需求的财富弹性大于1 即随财富的增加 投资于风险资产相对于财富的比例上升 财富弹性 随着财富的增加 投资于风险资产的比例相对于财富的增加而减少 不变 增加 究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型 普遍接受的看法是 大多数人具有递减绝对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数 这反映了大多数投资者的投资行为 但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数 递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数人投资者的行为 你能承受多大的风险 1 由于一次市场调整 你的投资在购入后一个月就损失了15 假设此时基本面没有任何改变 你会 a 窘迫的坐在家中 等待价格反弹b 立刻卖掉 如果接下来的几日价格继续下跌 便可庆幸自己躲过了几晚痛苦的煎熬c 如果当初就觉得价格不错 现在的价格当然更加诱人 所以在低位更多的买进2 你的投资在购入后一个月飙升 假如此时你无从获得更多的信息 你会 a 立刻出售b 持有 期望更多的获利c 再买一些 它可能会升得更高 3 以下哪一种投资是你乐意为之的 a 投资于一只在 个月内升值有限的激进型成长基金b 投资于一只货币市场基金 但却看到自己关注过的激进型基金在 个月内实现了价值的翻番4 以下哪一种情况会让你感觉比较好 a 你在一次股票投资中大赚了100 b 在市场滑坡时 对货币市场基金的投资使你免遭损失一半的厄运5 以下哪一种情况让你最开心 a 你在一次竞赛中赢了10万元b 你从一位富有的亲戚那里继承了10万元c 你在期权市场上用2000元赚了10万元d 以上皆可 不管钱是怎么进口袋的 只要得到10万元我就开心 6 你住的公寓楼正准备转变为公私共有公寓 你可以花8万元买下你的单元 也可以按 万元的价格将选择权卖给别人 公私共有公寓的市价是12万元 你很清楚 如果买下它 必须持有6个月方可出售 每个月的按揭成本是1200元 而且还得支付8万元按揭首期 假设你不愿意住在那里 你会 a 卖掉选择权 赚得2万元b 买下那个单元 然后再到公开市场上把它卖掉7 你从叔叔那里继承了一套价值10万元的房子 没有贷款需要偿还 虽然房子地段不错 而且估计也能以快于通货膨胀的速度增值 但由于年久失修 外观上破败不堪 如果就以现在的样子出租 每月可以净赚1000元 如果加以修缮后再行出租 则每月可净赚1500元 修理费用可通过财产抵押贷款筹得 你会 a 卖掉房子b 就以现在的样子出租c 进行必要的修缮 然后出租 8 你在一家小型电子公司任职 该公司发展势头强劲 现在 公司希望通过发行职工股来筹集资金 管理层计划在四五年内让公司上市 如果你购入公司股票 则在股票上市交易之前不得卖出 而且在此之前不分红派息 但是 一旦