2019届高考数学总复习模块六概率与统计第20讲概率与统计学案理

第第 2020 讲讲 概率与统计概率与统计 1 2018 全国卷 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作 检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都 为p 0 p 1 且各件产品是否为不合格品相互独立 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f p 求f p 的最大值点p0 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的p0作为p的值 已知 每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X 求EX ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 试做 2 2018 全国卷 图 M6 20 1 是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y 单位 亿元 的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额 建立了y与时间变量t的两个线性回归模 型 根据 2000 年至 2016 年的数据 时间变量t的值依次为 1 2 17 建立模型 2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由 试做 3 2017 全国卷 海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比 收获时各 随机抽取了 100 个网箱 测量各箱水产品的产量 单位 kg 其频率分布直方图如图 M6 20 2 所示 图 M6 20 2 1 设两种养殖方法的箱产量相互独立 记A表示事件 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 新养 殖法的箱产量不低于 50 kg 估计A的概率 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有 99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 箱产量0 当p 0 1 1 时 f p 400 故应该对余下的产品作检验 2 解 1 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 故P B 的估计值为 0 62 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 0 068 0 046 0 010 0 008 5 0 66 故P C 的估计值为 0 66 因此 事件A的概率估计值为 0 62 0 66 0 409 2 2 根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量6 635 故有 99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中 箱产量低于 50 kg 的直方图面积为 0 004 0 020 0 044 5 0 340 5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50 52 35 kg 0 5 0 34 0 068 考点考法探究 解答 1 例 1 解 1 由题意 甲 乙 丙三人在 30 分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为 1 4 1 3 1 2 设 甲 乙两人所付费用之和等于丙所付费用 为事件M 则P M 3 4 2 3 1 2 1 4 1 3 1 2 7 24 2 随机变量 的所有可能取值为 2 2 5 3 3 5 4 由题意知P 2 P 2 5 3 4 2 3 1 2 1 4 3 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 5 24 P 3 P 3 5 3 4 2 3 1 2 1 4 1 3 1 2 7 24 3 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 5 24 P 4 1 4 1 3 1 2 1 24 所以甲 乙 丙三人所付费用之和 的分布列为 22 533 54 P 1 4 5 24 7 24 5 24 1 24 所以E 2 2 5 3 3 5 4 1 4 5 24 7 24 5 24 1 24 67 24 自我检测 解 1 由题可知 商品单价 元a0 9a0 85a0 8a0 75a0 7a 频率0 20 30 240 120 10 04 所以估计X的平均值 h a 0 2 0 9a 0 3 0 85a 0 24 0 8a 0 12 0 75a 0 1 0 7a 0 04 0 873a 2 经销商购买单价不高于h的概率为 0 24 0 12 0 1 0 04 高于h的概率为 0 2 0 3 1 2 1 2 Y的可能取值为 5000 10 000 15 000 20 000 则P Y 5000 1 2 3 4 3 8 P Y 10 000 1 2 1 4 1 2 3 4 3 4 13 32 P Y 15 000 1 2 C1 2 1 4 3 4 3 16 P Y 20 000 1 2 1 4 1 4 1 32 所以Y的分布列为 Y500010 00015 00020 000 P 3 8 13 32 3 16 1 32 E Y 5000 10 000 15 000 20 000 9375 3 8 13 32 3 16 1 32 解答 2 例 2 解 1 由题意可知 样本平均值 61 8 x 56 1 58 4 60 12 62 20 64 8 66 5 50 2 由题意得 校园某天出现重度噪音污染的概率为 出现轻度噪音污染的概率为 1 10 1 10 设事件A为 周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪 音污染 则P A C 1 10 3 1 10 000 由题意得X B 3 1 10 则P X k k 0 1 2 3 Ck 3 1 10 k 9 10 3 k 故X的分布列为 X0123 P 1 1000 D X np 1 p 27 100 自我检测 解 1 完整的 2 2 联表如下 文科生理科生总计 获奖53540 不获奖45115160 总计50150200 由表中数据可得K2的观测值k 4 167 3 841 200 5 115 35 45 2 40 160 50 150 25 6 所以有超过 95 的把握认为是否获奖与学生的文理科有关 2 由表中数据可知 抽到获奖学生的概率为 1 5 将频率视为概率 所以X可取 0 1 2 3 且X B 3 1 5 则P X k k 0 1 2 3 Ck 3 1 5 k 1 1 5 3 k 故X的分布列为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 E X np 3 1 5 3 5 解答 3 例 3 解 1 设该班男生人数为x 则女生人数为x 4 由条件可得 x 2x 4 5 11 解得x 20 故该班男生有 20 人 女生有 24 人 2 由条件知在该班随机抽取一名学生 估计该同学持满意态度的概率为 6 11 3 由题意知 的可能取值为 0 1 2 服从超几何分布 则P 0 P 1 P 2 C0 6C 2 5 C2 11 2 11 C1 6C 1 5 C2 11 6 11 C2 6C 0 5 C2 11 3 11 故 的分布列为 012 P 2 11 6 11 3 11 E 0 1 2 2 11 6 11 3 11 12 11 解答 4 例 4 解 1 剩下的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率是 1 4 C2 5 3 5 2 由已知数据得 例 5 解 1 2 2 列联表如下 甲班乙班总计 成绩优良91625 成绩不优良11415 总计202040 根据表中的数据 得K2的观测值k 5 227 5 024 40 9 4 16 11 2 25 15 20 20 在犯错的概率不超过 0 025 的前提下认为 成绩是否优良与教学方式有关 2 由表可知在 8 人中成绩不优良的人数约为 8 3 则X的可能取值为 0 1 2 3 15 40 P X 0 P X 1 C3 5 C3 8 5 28 C1 3C 2 5 C3 8 15 28 P X 2 P X 3 C2 3C 1 5 C3 8 15 56 C3 3 C3 8 1 56 X的分布列为 X0123 P 5 28 15 28 15 56 1 56 E X 0 1 2 3 5 28 15 28 15 56 1 56 9 8 自我检测 解 1 甲班学生数学成绩的中位数为 118 122 114 2 乙班学生数学成绩的中位数为 128 128 128 2 补充完整的乙班学生数学成绩的频率分布直方图如图所示 2 由茎叶图可知 乙班学生数学成绩的平均水平高于甲班学生数学成绩的平均水平 甲班 学生数学成绩的分散程度高于乙班学生数学成绩的分散程度 3 由茎叶图可知 甲 乙两班数学成绩为优秀的人数分别为 10 14 若从中用分层抽样的方 法选出 12 人 则应从甲 乙两班分别选出 5 人 7 人 设 选出的 12 人中恰含有甲 乙两 班所有 140 分以上的学生 为事件A 则P A C2 2C 3 8 C5 10 C3 3C 4 11 C7 14 2 9 5 52 5 234 所以选出的 12 人中恰含有甲 乙两班所有 140 分以上的学生的概率为 5 234 备选理由 所给 3 个例题分别围绕二项分布的期望 超几何分布的期望 统计与概率的综合 等知识展开 旨在强化解题训练 熟悉试题题型与处理方法 例 1 配例 1 使用 2018 北京卷 电影公司随机收集了电影的有关数据 经分类整理得 到下表 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0 40 20 150 250 20 1 好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 1 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 2 从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部 估计恰有 1 部获得好评的概率 3 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等 用 k 1 表示第 k类电影得到人们喜欢 k 0 表示第k类电影没有得到人们喜欢 k 1 2 3 4 5 6 写 出方差D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6的大小关系 解 1 由题意知 样本中电影的总部数是 140 50 300 200 800 510 2000 第四类电影中获得好评的电影部数是 200 0 25 50 故所求概率为 0 025 2 设事件A为 从第四类电影中随机选出的电影获得好评 事件B为 从第五类电影中随机选出的电影获得好评 故所求概率为P A B P A P B B ABA P A 1 P B 1 P A P B 由题意知 P A 估计为 0 25 P B 估计为 0 2 故所求概率估计为 0 25 0 8 0 75 0 2 0 35 3 D 1 D 4 D 2 D 5 D 3 D 6 例 2 配例 3 使用 为发展业务 某公司市场部准备从国内n n N 个人口超过 1000 万的 超大城市和 8 个人口低于 100 万的小城市中随机抽取若干个进行调查统计 若一次抽取 2 个 城市 则全是小城市的概率为 4 15 1 求n的值 2 若一次抽取 4 个城市 假设取出小城市的个数为X 求X的分布列和期望 求取出的 4 个城市是同一类城市且全为超大城市的概率 解 1 从n 8 个城市中取出 2 个城市 共有种情况 其中全是小城市的情况有种 C 2 n 8 C2 8 故全是小城市的概率是 C2 8 C 2 n 8 8 7 n 8 n 7 4 15 n 8 n 7 210 15 14 n 7 14 故n 7 2 X的可能取值为 0 1 2 3 4 则P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 C0 8C 4 7 C4 15 1 39 C1 8C 3 7 C4 15 8 39 C2 8C 2 7 C4 15 28 65 C3 8C 1 7 C4 15 56 195 C4 8C 0 7 C4 15 2 39 故X的分布列为 X01234 P 1 39 8 39 28 65 56 195 2 39 E X 0 1 2 3 4 1 39 8 39 28 65 56 195 2 39 32 15 若 4 个城市全是超大城市 共有 35 种 情况 若 4 个城市全是小城市 共有 70 种 情 C4 7 C4 8 况 故所求概率为 C4