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振动波动篇 1 振动 Oscillation 2 前言 振动和波动是物理中的重要领域 一 简谐振动 振动 一个物理量随时间作周期性变化 简谐振动是最简单的振动 任何复杂的振动都是简谐振动的线性迭加 定义 物体运动时 离开平衡位置的位移 或角位移 随时间t按余弦 或正弦 规律变化 这类运动称简谐振动 3 速度与加速度也都是周期变化的 二 简谐振动的速度 加速度 4 1 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离 2 周期T 单位 米 m 物体完成一次全振动所用的时间 单位 秒 s 频率v 1秒内物体完成全振动的次数 单位 赫兹 Hz 或曰 物体的运动状态完全重复一次所用的时间 三 谐振动的振幅 周期 频率 和相位 5 3 圆频率 每隔周期T物体的运动状态复原 2 秒内的振动次数 单位 1 S或rad S 6 4 相位与初相 t 是t时刻的相位 t时刻的相位反映t时刻的振动状态 由x Acos t 7 初相 initialphase 是t 0时刻的相位 t 0称时间零点 是开始计时的时刻 不一定是开始运动的时刻 反映t 0时刻的振动状态 x0 0 要熟记典型 值所对应的振动情况和振动曲线 如图 8 弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线 9 5 振幅与初相的确定 初始条件 有 2 2 有 10 五 相位差 相位差 相位之差 对两同频率的简谐振动 相位差等于初相差 t 2 t 1 2 1 1 相位差和初相差 2 同相和反相 当 2k k 0 1 2 两振动步调相同 称同相 11 当 2k 1 k 0 1 2 两振动步调相反 称反相 12 3 领先和落后 若 2 1 0 则x2比x1较早达到正最大 称x2比x1领先 或x1比x2落后 领先 落后以 的相位角 或以 T 2的时间间隔 来判断 思考 在上图中 x1与x2两振动谁领先 13 1 在平衡位置附近来回振动 2 受回复力作用 特点 1 弹簧质量不计 1 符合简谐振动的条件 2 弹簧的振动 2 所有弹力都集中在弹簧上 3 质量集中于物体上 4 不计摩擦 弹簧振子 14 振动位移 从o点指向物体所在位置的矢量 回复力 3 振动位移 建立坐标系 o点选在弹簧平衡位置处 一维振动 15 令 有 简谐振动微分方程 其中A为振幅 为圆频率 为初相位 圆频率 只与弹簧振子性质有关 单位 rad s 解微分方程 16 1 圆频率 2 周期 3 频率 17 均是作简谐振动的物理量 频率相同 振幅的关系 相位差 超前落后 18 6 振动曲线 19 质量集中于小球上 不计悬线质量 取逆时针为 张角正向 以悬点为轴 只有重力产生力矩 表示力矩与 张角方向相反 单摆 20 当 时 21 令 谐振动微分方程 22 周期 频率 与质量无关 圆频率 23 简谐振动的能量 24 简谐振动过程即有动能又有势能 Ek Ep交替变化 一 谐振动的动能 25 26 Ek最大时 Ep最小 Ek Ep交替变化 二 谐振动的势能 27 机械能守恒 谐振过程保守力作功 谐振能量与振幅的平方成正比 三 谐振动的能量 28 旋转矢量 29 将物理模型转变成数学模型 矢量A以角速度 逆时针作匀速圆周运动 研究端点M在x轴上投影点的运动 初相 用匀速圆周运动几何地描述SHV 一 旋转矢量 30 1 M点在x轴上投影点的运动 为简谐振动 2 M点的运动速度 在x轴上投影速度 31 3 M点的加速度 在x轴上投影加速度 M点运动在x轴投影 为谐振动的运动方程 M点速度在x轴投影 为谐振动的速度 M点加速度在x轴投影 为谐振动的加速度 结论 32 A 谐振动 旋转矢量 t T 振幅 初相 相位 圆频率 谐振动周期 半径 初始角坐标 角坐标 角速度 圆周运动周期 二 物理模型与数学模型比较 33 1 初始条件 三 用旋转矢量表示弹簧 单摆运动初相 34 2 初始条件 取 35 3 初始条件 36 4 初始条件 取 37 1 直观地表达振动状态 当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位即表达式中的余弦函数的综量 而旋转矢量图可直观地显示该综量 分析解析式 可知 用图代替了文字的叙述 38 如文字叙述说t时刻弹簧振子质点在正的端点 旋矢与轴夹角为零 质点经二分之一振幅处向负方向运动 意味 意味 39 质点过平衡位置向负方向运动 同样 注意到 40 向正方向运动 或 或 41 由图看出 速度超前位移 加速度超前速度 称两振动同相 2 方便地比较振动步调 位移与加速度 称两振动反相 若 42 3 方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例 质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子t 0时质点过平衡位置且向正方向运动求 物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间 43 解 设t时刻到达末态由已知画出t 0时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为 因为 得 繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得 44 简谐振动的合成 SuperpositionofHarmonicOscillation 45 引 46 质点同时参与两个振动 研究两个同方向同频率的振动合成 振动合成 分振动 合成后仍为谐振动 角速度不变 一 同 振动 方向 同频率有恒定相位差的两个谐振动的合成 47 结论 两个同方向 同频率的谐振动合成后仍为同频率的简谐振动 旋转矢量法求合振动 48 当 时 同相 合振动振幅最大 注意 49 当 时 反相 合振动振幅最小 若 合振动初相随振幅大者 50 适用于 两个分振动等振幅时 分振动 合振动 例 和差化积求合振动 由分振动曲线求合振动 51 例 两同方向 同频率谐振动合成 求 合成谐振动方程 解 合成后 不变 合振动方程 52 1 解析法 先将x1 x2合成 再与x3合成 合成后仍为谐振动 2 矢量合成法 x1 x2 x3 首尾相接 二 多个同方向 同频率谐振动合成 53 三 在垂直方向上的两个谐振动的合成 54 3256图 a b c 为三个不同的简谐振动系统 组成各系统的各弹簧的原长 各弹簧的劲度系数及重物质量均相同 a b c 三个振动系统的w2 w为固有角频率 值之比为 A 2 1 B 1 2 4 C 2 2 1 D 1 1 2 B 55 3557一质点沿x轴作简谐振动 振动范围的中心点为x轴的原点 已知周期为T 振幅为A 1 若t 0时质点过x 0处且朝x轴正方向运动 则振动方程为x 2 若t 0时质点处于处且向x轴负方向运动 则振动方程为x 56 3562图中所画的是两个简谐振动的振动曲线 若这两个简谐振动可叠加 则合成的余弦振动的初相为 B C D 0 B 57 5190一质点同时参与了三个简谐振动 它们的振动方程分别为其合成运动的运动方程为x 0 58 3838一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动 其表达式分别为 SI 则其合成振动的振幅为 初相为 1 10 2m p 6 59 3271一简谐振子的振动曲线如图所示 则以余弦函数表示的振动方程为 60 5311一质点作简谐振动 已知振动周期为T 则其振动动能变化的周期是 A T 4 B T 2 C T D 2T E 4T B 61 3270一简谐振动曲线如图所示 则振动周期是 A 2 62s B 2 40s